1.5.2 綜合法和分析法1

1、人教B版高中數(shù)學選修4-5 不等式選講第一章 第五節(jié)1.5.綜合法和分析證明不等式1.5.2綜合法教案凌源市實驗中學 許加靜教學過程設計學習目標1.掌握用綜合法證明不等式的基步驟. 2.理解這種證明方法的數(shù)學思想3.會靈活運用這種方法來證明有關(guān)不等式.重點難點1.綜合法解決問題的思路及步驟 （重點）2.運用綜合法解決復雜的數(shù)學問題（難點）新課引入1.（師：）引言：不等式問題是數(shù)學中最重要的組成部分，也是高考中不可或缺的，對于不等式的證明是不等式問題的精髓(難點).掌握不等式的證明，有利于提高學生的綜合運用知識的能力和分析解決問題的能力.關(guān)于不等式的證明，之前我們已經(jīng)研究了證明不等式的一種方法“

2、比較法”，那么我們還要繼續(xù)研究不等式的其他證明方法綜合法 （通過教師的新課引入，從而引出課題）師：1.5.2綜合法（板書課題）（教師給學生準備了課前復習，通過課前復習，讓學生認識基本不等式在不等式問題中的重要性.）2.課前復習：常用基本不等式（1）（2）師 ：基本不等式師研究不等式問題的基礎，接下來我們共同來看下面的這道例題）（教師引導學生，請學生將自己的想法說出來）師：觀察不等式能不能用之前研究的“比較法”來證明不等式成立？生：不太容易師：的確難度較大，想想能不能用以前學過的基本不等式來加以證明呢？師：兩個正式的和想到了什么？生：想到了基本不等式師：非常好，不妨你來試著證一下這道題.（教師板

3、書，學生證明） （教師總結(jié)，給出綜合法定義）師：我們從頭再來看一遍這道題的證明過程，從已知條件出發(fā)，利用所學的不等式知識，經(jīng)過一系列的推導，證得不等式成立，我們將這種證明方法叫做綜合法.(大屏幕，給出綜合法定義)一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種方法叫做綜合法(syntheticdmethod) 綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Ч?師生互動師：總結(jié)，概括為四個字（由因到果）為了加深對定義的理解，教師讓同學齊聲朗讀定義.生：齊讀定義師：給大家30秒記憶，找同學復述定義.師：為了運用好綜合法，接下來請同學看下面的鞏固練習用綜合法證明:師生

4、互動師：對于這道證明，我們從條件出發(fā)，想到了什么呢？（教師找學生板演）生：基本不等式師：這個定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)生：一邊是和的形式，另一邊是積的形式我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和師：雖然語言欠準確，但其含意是對的不妨你來證明一下.生：（板書證明）師：請你講解一下你證明的思路和你的證明過程.生：我用的是基本不等式，兩個整數(shù)的和乘積成為定值.師：大家對她的證明給予掌聲鼓勵.師：利用綜合法證明不等式的題型比較多，請大家看大屏幕（下面的例題）.例2：師：觀察這個不等式特點，兩個正數(shù)的立方和，你們想到了哪些已學過的基本公式？生：立方和公式師：誰起來證明這個第一小問呢

5、？生：（證明，大屏幕給出證明過程）師：我們能否根據(jù)（1）式結(jié)論，來證得（2）成立呢？你們有什么好的思路嗎？生：我覺得聯(lián)想（1）結(jié)論，可以將不等式變形成生師：想得好，它有條件嗎？生：有同樣是a，b，cR+師：這個命題大家能證明出來嗎？一時不能完全證出來也沒關(guān)系，想出多少說多少生甲：我覺得它能拆成a3abc，b3abc，c3abc，由條件只要證出a2bc，b2ac，c2ab即可生乙：這三個分著不可能證出來，不過合起來的2a22b22c22bc2ac2ab很容易證出師：很好，第一名同學的思路顯然有誤 第二名同學思路是否正確呢？師：接下來我們大家不妨在下面試著證明一下，誰先做完可以到前面利用投影儀展示

6、你的答案.（學生證明，教師巡視，并交易指導）生：舉手示意師：大家都很積極踴躍，誰先來呢？生?。何胰プC明（學生展示）師：證得漂亮，你是怎么想出來的？生?。何矣X得證這個題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論證題時我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗，在利用（1）的結(jié)論證得的.師：好，非常好，大家給予掌聲鼓勵師：接下來我們共同看第三小問.使式子看起來較為復雜，能否做適當變形使之簡化呢？師：如何證明呢？生：師：接下來以小組的形式進行討論（教師巡視各個小組，并參與到討論中，并進行指導）師：好了，哪個小組派代表來說一說你的證明過程.（學生說大屏幕展示）師：非常棒，給小組加10分師;接下來，我們哪位同學給例二加以總結(jié)一下呢？

7、生甲：我來師：大屏幕顯示學生總結(jié)過程總結(jié)：對于例2不等式的證明，都是由已知一步一步推得結(jié)論成立師：數(shù)學中很多時候也是需要試一試、拼拼湊湊的其實，這就是綜合法同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件師：這個定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的它的證明方法遠不只上述這些，推論也可直接證得，同學們不妨課下試一試.師：接下來我們看課堂鞏固.師：誰能來黑板證明？生丙：舉手示意（學生板書）師：你是怎么想到的？給大家分享一下你的思路生丙：我是有已知條件出發(fā)，通過基本不等式，證得原式成立的.師：非常好，大家給以掌聲鼓勵接下來我們看例3觀察：不等式加上已知條件后，如何證得這個不等式成立的呢？師

8、：不妨我們在下面試著再去證一證？生：（全體證明）（教師巡視學生證明過程）師：誰能展示一下你的證明過程？生乙：我來證明.師：同學掌握的非常好，給掌聲鼓勵.師：誰能來總結(jié)例3？生：搶答(大屏幕顯示總結(jié))總結(jié)：例3中用了題中特別條件和基本不等式.師：很好，我們共同來看，這節(jié)課我們主要研究了綜合法，從已知出發(fā)，利用已知的條件，逐步推得原不等式成立.師：我們共同來看本節(jié)課小結(jié)部分（三）小結(jié)（引導學生歸納總結(jié)）1.定義：從已知出發(fā)，經(jīng)過逐步推理，最后達到特征結(jié)論2.邏輯關(guān)系：（P表示已知條件，Q表示證明結(jié)論）3.思維特點：從“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，即“由因?qū)Ч?課堂練習1.已知a，b，cR

9、，abc1，求證：(2a)(2b)(2c)27.2.已知a，b，cR，且abc1.求證：abbcaceq f(1,3).布置作業(yè)作業(yè)：1.5.2習題1，2課堂教學設計說明這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法綜合法，而且還要介紹兩個基本而又重要的不等式定理及推論在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎，而證明得到它們時又可采用綜合法因此，我們在課前設計了兩個練習題，尤其是稍放開一點的第2題，如果學生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒正式講過的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會很自然，即使生沒有想到，教師點撥起來也并不困難而后順著學生用綜合法的需要，介紹了4個基本不等式，在它們的證明過程中，使用綜合法，幫助學生掌握如何用綜合法證明不等式從教學設計上，我們力圖從學生的需要出發(fā)，適時地設計一系列問題，幫助學生抓住知識的內(nèi)在聯(lián)系，使學到的公式、方法能用、會用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式表面上看，本節(jié)練習不夠，但實際上，定理2及推論的證明正是最好的練習構(gòu)思這個證明，起點要高、思維跨度要大這正是鍛煉學生思維，培養(yǎng)學生推理論證能力的絕對機會我們認為