抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性(共6頁(yè))

1、PAGE PAGE 7抽象(chuxing)函數(shù)的周期性與對(duì)稱性一、從幾道錯(cuò)題說(shuō)起(shu q)：與抽象函數(shù)有關(guān)(yugun)的題目在各種試卷上時(shí)有出現(xiàn)，但由于抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性之間的關(guān)系比較復(fù)雜，也經(jīng)常出現(xiàn)各種錯(cuò)誤。例如：錯(cuò)題1（2006年南京市高三第一次模擬考試第14題）設(shè)周期為4的奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，且當(dāng)，則的值為 。 分析：本題錯(cuò)誤比較明顯。 eq oac(,1)又 eq oac(,2) eq oac(,1)與 eq oac(,2)矛盾。錯(cuò)題2（2006年高中三年級(jí)總復(fù)習(xí)試卷 數(shù)學(xué)A卷（江蘇卷）第11題）已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x)+f(x+2)=1，若當(dāng)時(shí)，f(

2、x)=2-x則f(7.5)= ( ) A0.5 B -0.5 C 1.5 D -1.5學(xué)生主要有下列兩種解法：解法一： 由題意，得： 選C解法二：由法一知T=4，故 在中令則有 選A兩種解法均步步有據(jù)，問(wèn)題出在哪里呢？原因在于題目條件之間有沖突！ 分析： eq oac(,1) eq oac(,2) eq oac(,1)與 eq oac(,2)矛盾(modn)。事實(shí)上，由及這兩個(gè)條件即能完全(wnqun)確定函數(shù)，這時(shí)“f(x)是偶函數(shù)”要么(yo me)重復(fù)，要么有矛盾。注：命題錯(cuò)誤原因在于對(duì)所蘊(yùn)含的信息認(rèn)識(shí)不足?？梢杂孟率龇椒ǜ?）去掉“偶函數(shù)”這個(gè)條件 2）將“”改為“”，等等。錯(cuò)題3

3、（2005年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（福建卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）第12題）是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且，則方程在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（ ）A2B3C4D5 所給標(biāo)準(zhǔn)答案是D。事實(shí)上，這條題目設(shè)計(jì)有問(wèn)題，解答也是錯(cuò)誤的。錯(cuò)解：是定義在R上的奇函數(shù)， 又是以3為周期的函數(shù)， ， 由T=3可知，對(duì) 方程在區(qū)間(0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是5。錯(cuò)因：未能根據(jù)題目條件，挖掘出其中隱藏的函數(shù)性質(zhì)。事實(shí)上，定義在R上以3為周期的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）對(duì)稱，則它必關(guān)于點(diǎn)（對(duì)稱，且對(duì)稱中心必在函數(shù)的圖象上。正解： 取則， 再結(jié)合上述錯(cuò)解部分的內(nèi)容可知(k zh)，方程在區(qū)間(q ji

4、n)（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)至少(zhsho)有7個(gè)。評(píng)注：抽象函數(shù)的研究是中學(xué)數(shù)學(xué)的一大難點(diǎn)，往往難以入手或顧此失彼。理解并掌握一些與函數(shù)圖象的對(duì)稱性、周期性有關(guān)的重要結(jié)論，在推導(dǎo)結(jié)論的過(guò)程中能培養(yǎng)、提高學(xué)生的抽象思維能力，同時(shí)能使學(xué)生在分析問(wèn)題時(shí)高屋建瓴，對(duì)解題是很有好處的。二、與函數(shù)的周期性及圖象對(duì)稱性有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論： 設(shè)函數(shù)定義域是，則有以下結(jié)論：（1）對(duì)都有關(guān)于直線對(duì)稱。（2）對(duì)都有關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（3）對(duì)都有關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。（4）對(duì)都有 即：若圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對(duì)稱，則是的周期函數(shù)。 (5) 對(duì)都有即：若周期為T(mén)的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。也就是說(shuō)，周期

5、為T(mén)的函數(shù)圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則圖象在一個(gè)周期內(nèi)有兩條不同的對(duì)稱軸，且相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是。（6）對(duì)都有 即：若圖象(t xin)關(guān)于點(diǎn)（a,0）,(b,0)(ab)對(duì)稱(duchn)，則是的周期函數(shù)(zhu q hn sh)。 (7) 對(duì)都有 即：若周期為T(mén)的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)(a,o)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。由此可知, 若周期為T(mén)的函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)（a,0）對(duì)稱，則圖象在一個(gè)周期內(nèi)有兩個(gè)對(duì)稱中心，且相鄰兩個(gè)對(duì)稱中心間的距離為。（8）對(duì)都有 即：若圖象關(guān)于直線x=a及點(diǎn)（b,0）(ab)對(duì)稱，則是的周期函數(shù)。注：（5）是（4）的偏逆命題，二者都真；（7）是（6）的偏逆命題，二者都真。但命

6、題（8）的偏逆命題是假命題，例如：函數(shù)f(x)=tanx是周期函數(shù)，且有對(duì)稱中心，但該函數(shù)沒(méi)有對(duì)稱軸。三、應(yīng)用舉例：例1： 設(shè)是R 上的奇函數(shù), , 當(dāng)時(shí), ,試畫(huà)出函數(shù)(hnsh)f(x)的簡(jiǎn)圖.解: , ,是以4 為周期(zhuq)的周期函數(shù) 又, 的圖象關(guān)于(guny)直線x=1對(duì)稱. 根據(jù)當(dāng)時(shí), 以及上述性質(zhì),可畫(huà)出f(x)的簡(jiǎn)圖如下：xy10例2 已知偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線x = 1對(duì)稱,且, 則 14,15時(shí),求的解析式為.分析：由函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=0及x = 1對(duì)稱可知，是以2 為周期的周期函數(shù)，且直線x=n是其圖象的對(duì)稱軸，于是只要知在長(zhǎng)度為1的任一區(qū)間上的解析式可確定在R上的解析式。解:由 得是以2 為周期的周期函數(shù)當(dāng)又為偶函數(shù), ，即當(dāng)x14,15時(shí), x-184,3，的周期為2， x14,15 時(shí), 例3：已知對(duì)一切(yqi)xR 都有, ,且x =0 是方程(fngchng) = 0的一個(gè)(y )根,問(wèn)方程= 0 在區(qū)間1000,1000 上至少有幾個(gè)根?解:在區(qū)間(0,10 上,方程f (x) = 0 至少有兩個(gè)根,又由函數(shù)的對(duì)稱性及周期的關(guān)系知是以10為周期的周期函數(shù),且在每個(gè)周期上至少有兩個(gè)根, 方程 = 0 在區(qū)間1000,1000 上至少有401 個(gè)根內(nèi)容總結(jié)（1）抽象函數(shù)的周期性與對(duì)稱性一、從幾道錯(cuò)題