國家級：一節(jié)課一道題一個“老師”一場變革

1、一節(jié)課，一道題，一個“老師”，一場變革數(shù)學思想方法專題復習陳敏 吳健 吳寶瑩 （江蘇省錫山高級中學）問題的提出中學數(shù)學教學參考（2013，12上旬）刊發(fā)了水菊芳、黃安成老師的文章我們不是課堂神話的締造者將課堂交給學生之我見，文章認為“將課堂交給學生是一個不可以實現(xiàn)的神話”，后來，楊志文老師在該刊（2014，8上旬）發(fā)表文章認為“把課堂交給學生并非是一個不可實現(xiàn)的神話”，一時間引起了中學數(shù)學老師的一番熱議.事實上，新課程的核心理念就是以生為本，課堂是教學的主陣地，當然要把課堂交給學生，問題是什么樣的課適宜教給學生？交給多少？又怎樣交給學生？教給學生的同時，教師要做什么？怎樣做？這是值得研究的.把

2、課堂交給學生“把課堂交給學生”首先要注意漸進性，從高一開始就要逐步培養(yǎng)學生積極主動參與教學活動的習慣與能力，慢慢地在教師的引導下“把課堂交給學生”；其次，要特別注意針對性，不同學生、不同課型、不同內(nèi)容、不同年級“把課堂交給學生”的“交法”應該是不一樣的.基本情況介紹三年來，筆者從高一開始就有意識地培養(yǎng)學生課堂參與的意識，“只要你有想法，就給你機會，只要你有能力，就給你舞臺！”這是筆者三年來一直秉持的信條.下面是高三二輪數(shù)學思想方法專題復習課：一節(jié)課，一道題，一個“老師”，一場變革！基本情況：本班是物化班，全班共有48人，學生具有一定的提出問題、分析問題、解決問題的能力.具體做法：把48人分成8

3、個學習小組，每個小組共6人，學生輪流做組長，學習小組輪流主講.學案提前一天發(fā)給主講小組研討，課前提前10分鐘發(fā)給其余同學.一節(jié)課，一道題，一個“老師”，一場變革典型例題： 設(shè)函數(shù)若有兩個極值點（1）求的取值范圍（2）求的取值范圍（3）證明生1：，令當時，有兩個實根此為的兩個極值點，所以，的取值范圍是學生老師：就是所求的取值范圍嗎？此時的兩個根能保證都在定義域內(nèi)嗎？“哦，還要考慮定義域”，這番話引起學生的疑慮，著手考慮定義域要求生：令，又，故學生老師：這是“以數(shù)解數(shù)”，直接令，我們可不可以從“形”，上考慮？生：可以，函數(shù)的圖像可由的圖像向上或向下平移個單位得到如右圖所示，要使平移后的拋物線與x軸

4、有兩個交點且兩個交點均在-1的右側(cè)，必須向上平移且平移的單位小于，即學生老師：很好，注意到了圖像之間的關(guān)系，這是“以形助數(shù)”.生4：定義域的要求實際上就是要求方程的兩個根均分布在-1的右側(cè)，利用根的分布知識可以解決！（很自信地）生5：注意到拋物線的對稱軸是確定的只需學生老師：利用根的分布解決問題屬于“以數(shù)解形”，在此基礎(chǔ)上生5充分挖掘了題目蘊含的條件，注意到此拋物線的特殊性（對稱軸已經(jīng)確定），這點很好！生6：老師我有一個疑問：只能說明在的定義域內(nèi)有兩個零點，但這兩個零點未必是的極值點！如，是其導數(shù)的零點，但不是其極值點，要說明在的零點左右導數(shù)異號才行！事實上，當時，在的定義域內(nèi)有兩個零點，當時

5、，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減，所以是的極大值點.同理可以說明是的極小值點.學生老師：生6給我一個啟示：本題是已知函數(shù)有兩個極值點，求的取值范圍，能否反過來，判斷函數(shù)極值點的個數(shù)？或討論函數(shù)的單調(diào)性？ 學生平時都是做老師出的題目，學生在既定的情境下自編題目，一石激起千層浪，同學們對這個學生自產(chǎn)的問題頗感興趣，很快熱烈地討論起來：（1） 當時，在上單調(diào)遞增，無極值點；（2）當時，有兩個實根 （）當，即時，在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減，此時有兩個極值點.（）當，即時，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，此時有一個極值點.老師：同學們的探究很漂亮，學生老師的點評也很精彩，如果說生2的“以數(shù)解數(shù)”、生3的“

6、以形助數(shù)”、生4生5的 “以數(shù)解形”上體現(xiàn)了數(shù)學思維的靈活性，那么，生6的提醒體現(xiàn)了數(shù)學思維的嚴謹性與批判性.最為可貴之處是同學們可以根據(jù)問題探究的情況水到渠成自編題目，這標志著大家的數(shù)學思維水平有了一定的提高大家趁熱打鐵，研究一下第（2）問的取值范圍生： 化簡到這里，我感覺到太繁了，沒有勇氣做下去了.生8：我來幫你，因為有根號，嘗試換元.令，因為，故，而且，則，令，則，顯然，在上單調(diào)遞減，故，從而在上單調(diào)遞增，所以，即的取值范圍是.生9：，而，若把直接代入，尤其是計算比較復雜，我想到的來歷的零點，即，這樣就可以把降次為，把代入，得，令，其中，因為，所以，在上單調(diào)遞減，故，即的取值范圍是. 生

7、8、生9的答案不同， 孰對孰錯？頓時教室里一片嘩然. 學生老師：生8用換元法，雖然很繁，但沒有科學性錯誤，生9答案中的取值范圍比生8的取值范圍大，在生9的解法中，但是與都不是定值，它們本身又有各自的范圍，所以，的取值范圍變大了，但是注意的來歷的零點，這個想法很好，我以前遇到過類似的問題，就是這樣解決的：例題（無錫市20132014學年度秋學期期末考試高三數(shù)學試題第20題變題）關(guān)于的不等式對于任意的恒成立，求c的取值范圍. 解析：對于任意的恒成立可等價轉(zhuǎn)化為，令，所以只要.，由，因為取，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，但是試圖想求出很困難（即便是再求導），注意到的由來的零點，問題便豁然開朗

8、！因為則，顯然在上是單調(diào)遞減的，從而. 生10：一方面，生9“注意的來歷為的零點”給我很好的啟發(fā)；另一方面，通過，雖然達到了降次的目的，但是沒有減元，目標函數(shù)中的參數(shù)也是變化的，最終導致了所求范圍的擴大.可以這樣改進：由，得到，代入，其中，令，由于，所以，從而在上單調(diào)遞增，故，即的取值范圍是.老師：生7、生8思路自然，但是計算較繁，同時也體現(xiàn)了生8的敢于探索的勇氣、較強的思維韌性以及扎實的數(shù)學基本功，學生老師分析的很到位，生9、生10解題的核心思想在于識破了的“身份”的零點，而且基本方向都是降次減元，這些都是很好的數(shù)學思想方法，只不過本題生9降次后的目標函數(shù)中的參數(shù)也是變化的，最終導致了所求范

9、圍的擴大.下面我們研究最后一問：證明.生11：由于目標函數(shù)中有三個變元，根據(jù)剛才老師所講的減元的思想，要減少為一個變元，根據(jù)以上研究，顯然要把變元統(tǒng)一成. 具體做法是：由題知，為的兩個根，所以，代入 ，其中，令，則，再令，因為，且在上連續(xù)不斷，所以使得，當單調(diào)遞減；當 單調(diào)遞增，而，所以當時，即，從而在上單調(diào)遞減，則，即.老師總結(jié)：“數(shù)學是一門理性思維的科學”，(懷特威廉語)可以說，數(shù)學的核心是思維.同學們在思維過程中能從不同的方面、不同的角度以及從不同的方向來思考問題，能用不同的方法來解決問題，這就是從不同的方面來理解數(shù)學概念，用不同方法來解答數(shù)學問題，很好地體現(xiàn)了思維的靈活性，另外，在探究

10、過程中，也體現(xiàn)了思維的深刻性、創(chuàng)造性與批判性，這些都是良好的數(shù)學思維品質(zhì).大家在研究過程中，運用了數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸、函數(shù)與方程等數(shù)學思想，涉及到換元法、構(gòu)造法、降次減元法等具體解題方法.同學們表現(xiàn)出較強的邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合的意識.5 結(jié)束語思維是人腦對客觀事物能動的、間接的和概括的反映，是人腦的基本活動形式，是人的一種高級的心理活動形式，它包括邏輯思維和形象思維. “數(shù)學是思維的體操”，數(shù)學思維就是數(shù)學地思考問題和解決問題的思維活動形式，而邏輯推理和數(shù)形結(jié)合是數(shù)學思維的主要形式.數(shù)學教學就是數(shù)學思維的教學，其主要任務(wù)是培養(yǎng)學生的數(shù)學思維品質(zhì)，提高數(shù)學思維能力.一節(jié)課，一道題，似乎少了，但這道題承