06§22指數(shù)函數(shù)——教案（4課時）

1、蘇教版必修1系列教案 江蘇省興化中學(xué) PAGE PAGE 21王明山，江蘇興化中學(xué)023信箱 郵編225752 電子信箱第一課時根式及分?jǐn)?shù)指數(shù)冪教學(xué)目的： 1. 掌握根式的概念和性質(zhì)，并能熟練應(yīng)用于相關(guān)計算中2. 理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì).3.會對根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化.4培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系觀點看問題.教學(xué)重點：1.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念.2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì).教學(xué)難點：對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念的理解.授課類型：新授課教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1整數(shù)指數(shù)冪的概念 2運算性質(zhì)： 3注意 可看作 = 可看作 =二、講解新課： 1根式：計算（可用計算器）= 9 ，則3是9的平方根 ；=125

2、 ，則5是125的立方根 ；若=1296 ，則6是1296 的 4次方根 ；=693.43957 ，則3.7是693.43957的5次方根 .定義：一般地，若 則x叫做a的n次方根叫做根式，n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)例如，27的3次方根表示為，-32的5次方根表示為，的3次方根表示為；16的4次方根表示為，即16的4次方根有兩個，一個是，另一個是-，它們絕對值相等而符號相反.性質(zhì)：當(dāng)n為奇數(shù)時：正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根為負(fù)數(shù)記作： 當(dāng)n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個（互為相反數(shù)）記作： 負(fù)數(shù)沒有偶次方根， 0的任何次方根為0注：當(dāng)a0時，0，表示算術(shù)根，所以類似=2的寫法是錯誤的

3、.常用公式根據(jù)n次方根的定義，易得到以下三組常用公式：當(dāng)n為任意正整數(shù)時，()=a.例如，()=27，()=-32.當(dāng)n為奇數(shù)時，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時，=|a|=.例如，=-2，=2；=3，=|-3|=3.根式的基本性質(zhì)：，（a0）.注意，中的a0十分重要，無此條件則公式不成立. 例如.用語言敘述上面三個公式：非負(fù)實數(shù)a的n次方根的n次冪是它本身. n為奇數(shù)時，實數(shù)a的n次冪的n次方根是a本身；n為偶數(shù)時，實數(shù)a的n次冪的n次方根是a的絕對值.若一個根式(算術(shù)根)的被開方數(shù)是一個非負(fù)實數(shù)的冪，那么這個根式的根指數(shù)和被開方數(shù)的指數(shù)都乘以或者除以同一個正整數(shù)，根式的值不變.三、講解例題：例1求值=

4、-8 ；= |-10| = 10 ；= | = ；= |a- b| = a- b .去掉ab結(jié)果如何？練習(xí)求值：分析：（1）題需把各項被開方數(shù)變?yōu)橥耆椒叫问?，然后再利用根式運算性質(zhì)；解：引例：當(dāng)a0時上述推導(dǎo)過程主要利用了根式的運算性質(zhì)，例子、用到了推廣的整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)(2).因此，我們可以得出正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義.正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義 (a0,m,nN*,且n1) 要注意兩點：一是分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式；二是根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以進(jìn)行互化.另外，我們還要對正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪作如下規(guī)定.2.規(guī)定：(1) (a0，m,nN*,且n1) (2)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0

5、.(3)0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無意義.規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)推廣到有理數(shù)指數(shù).當(dāng)a0時，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于有理指數(shù)冪也同樣適用.即對于任意有理數(shù)r,s,均有下面的運算性質(zhì).3.有理指數(shù)冪的運算性質(zhì):說明：若a0，P是一個無理數(shù)，則表示一個確定的實數(shù)，上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用，有關(guān)概念和證明在本書從略.三、講解例題：例2求值：.解：練習(xí)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式： (式中a0) 解：例3計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）分析：（1）題可以仿照單項式乘除法進(jìn)行，首先是系數(shù)相乘除，然后是同底數(shù)冪相乘除，并且要注意符號（2）題按積的乘方計算，而按冪的

6、乘方計算，等熟練后可簡化計算步驟解 練習(xí)：計算下列各式： 分析：（1）題把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，再計算（2）題先把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的最簡形式，然后計算解：五、小結(jié) 本節(jié)課學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1根式的概念；2根式的運算性質(zhì)：當(dāng)n為任意正整數(shù)時，()=a.當(dāng)n為奇數(shù)時，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時，=|a|=.根式的基本性質(zhì)：，（a0）.3分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化，有理指數(shù)冪的運算性質(zhì).六、課后作業(yè)： P47P48練習(xí)14七、板書設(shè)計（略） 第二課時分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的應(yīng)用教學(xué)目的： 鞏固根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念和性質(zhì)，并能熟練應(yīng)用于有理指數(shù)冪的概念及運算法則進(jìn)行相關(guān)計算教學(xué)重點：根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的

7、概念和性質(zhì)教學(xué)難點：準(zhǔn)確應(yīng)用計算.授課類型：鞏固課課時安排：1課時教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1根式的運算性質(zhì)：當(dāng)n為任意正整數(shù)時，()=a.當(dāng)n為奇數(shù)時，=a；當(dāng)n為偶數(shù)時，=|a|=.根式的基本性質(zhì)：，（a0）.2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)： 二、講解范例：例1.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列分式(其中各式字母均為正數(shù))(1) （） （） （） （） （6）解：（）(2) (3) （）（）（）例2(課本第77頁 例4)計算下列各式（式中字母都是正數(shù)）： ； .解：原式=2(-6)(-3)；原式=說明：該例是運用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義和運算性質(zhì)進(jìn)行計算的題，第小題是仿照單項式乘除法進(jìn)行的，首先將系數(shù)相乘除，然后將同底

8、數(shù)的冪相乘除；第小題是先按積的乘方計算，再按冪的乘方計算，在計算過程中要特別注意符號. 同學(xué)們在下面做題中，剛開始時，要嚴(yán)格按照象例題一樣的解題步驟進(jìn)行，待熟練以后再簡化計算步驟.例3(課本第77頁 例5) 計算下列各式： ； (a0).解：原式=；原式=.說明：本例是利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪來進(jìn)行根式計算，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再根據(jù)冪的運算性質(zhì)進(jìn)行計算；對于計算結(jié)果，若沒有特別要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示，若有特殊要求，可根據(jù)要求給出結(jié)果，但結(jié)果不能同時含有根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)例4化簡：解：評述：此題注重了分子、分母指數(shù)間的聯(lián)系，即，由此聯(lián)想到平方差公式的特點，進(jìn)而

9、使問題得到解決例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值：分析：（1）題若平方則可出現(xiàn)已知形式，但開方時應(yīng)注意正負(fù)的討論；（2）題若立方則可出現(xiàn)（1）題形式與已知條件，需將已知條件與（1）題結(jié)論綜合；或者，可仿照（1）題作平方處理，進(jìn)而利用立方和公式展開解：評述：（1）題注重了已知條件與所求之間的內(nèi)在聯(lián)系，但開方時正負(fù)的取舍容易被學(xué)生所忽視，應(yīng)強調(diào)以引起學(xué)生注意（2）題解法一注意了（1）題結(jié)論的應(yīng)用，顯得頗為簡捷，解法二注重的是與已知條件的聯(lián)系，體現(xiàn)了對立方和公式、平方和公式的靈活運用，耐用具有一定層次，需看透問題實質(zhì)方可解決得徹底，否則可能關(guān)途而廢另外，（2）題也體現(xiàn)了一題多解四、小結(jié) 本節(jié)課

10、學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：熟練進(jìn)行有關(guān)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是計算，熟練掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義和運算性質(zhì)五、課后作業(yè)：課本第48頁 習(xí)題2.2：.解：6. =；7. ，而(由知)，； ，； . 第三課時指數(shù)函數(shù)教學(xué)目的： 1.理解指數(shù)函數(shù)的概念，并能正確作出其圖象，掌握指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.培養(yǎng)學(xué)生實際應(yīng)用函數(shù)的能力教學(xué)重點：指數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)教學(xué)難點：指數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)與底數(shù)a的關(guān)系.授課類型：新授課課時安排：1課時教材分析：指數(shù)函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，應(yīng)用非常廣泛它是在本章學(xué)習(xí)完函數(shù)概念和兩個基本性質(zhì)之后較為系統(tǒng)地研究的第一個初等函數(shù)前面已將指數(shù)概念擴充到了有理指數(shù)冪，并給出了有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的概念從

11、實際問題引入，這樣既說明指數(shù)函數(shù)的概念來源于客觀實際，也便于學(xué)生接受和培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識函數(shù)圖象是研究函數(shù)性質(zhì)的直觀圖形指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是利用圖象總結(jié)出來的，這樣便于學(xué)生記憶其性質(zhì)和研究變化規(guī)律本節(jié)安排的圖象的平行移動的例題，一是為了與初中講二次函數(shù)圖象的變化相呼應(yīng)，二是為以后各章學(xué)習(xí)函數(shù)或向量的平移做些準(zhǔn)備教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：引例1（P57）：某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，. 1個這樣的細(xì)胞分裂 x 次后，得到的細(xì)胞個數(shù) y 與 x 的函數(shù)關(guān)系是什么？分裂次數(shù)：1，2，3，4，x細(xì)胞個數(shù)：2，4，8，16，y由上面的對應(yīng)關(guān)系可知，函數(shù)關(guān)系是.引例2：某種商品的價格從今

12、年起每年降低15%，設(shè)原來的價格為1，x年后的價格為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 在,中指數(shù)x是自變量，底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量.我們把這種自變量在指數(shù)位置上而底數(shù)是一個大于0且不等于1的常量的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù).二、新授內(nèi)容：1指數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)定義域是R探究1：為什么要規(guī)定a0,且a1呢？若a=0，則當(dāng)x0時，=0；當(dāng)x0時，無意義. 若a0且a1在規(guī)定以后，對于任何xR，都有意義，且0. 因此指數(shù)函數(shù)的定義域是R，值域是(0,+).探究2：函數(shù)是指數(shù)函數(shù)嗎？指數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)=中，的系數(shù)是1.有些函數(shù)貌似指數(shù)函數(shù)，實際上卻不是，如y=+k (a0且

13、a1，kZ)；有些函數(shù)看起來不像指數(shù)函數(shù)，實際上卻是，如y= (a0,且a1)，因為它可以化為y=，其中0，且12.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)：在同一坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)y=，y=，y=，y=的圖象.列表如下：x-3-2-1-0.500.5123y=0.130.250.50.7111.4248y=8421.410.710.50.250.13x-1.5-1-0.5-0.2500.250.511.5y=0.030.10.320.5611.783.161031.62y=31.62103.161.7810.560.320.10.03我們觀察y=，y=，y=，y=的圖象特征，就可以得到的圖象和性質(zhì)a10a1，

14、所以函數(shù)y=在R是增函數(shù)，而2.53，所以，；與的底數(shù)是0.8，它們可以看成函數(shù) y=，當(dāng)x=-0.1和-0.2時的函數(shù)值；因為00.8-0.2，所以，1；小結(jié)：對同底數(shù)冪大小的比較用的是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，必須要明確所給的兩個值是哪個指數(shù)函數(shù)的兩個函數(shù)值；對不同底數(shù)是冪的大小的比較可以與中間值進(jìn)行比較.例3，求下列函數(shù)的定義域、值域： 分析：此題要利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象注意向?qū)W生指出函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量x的取值范圍解（1）由x-10得x1 所以，所求函數(shù)定義域為x|x1由 ，得y1所以，所求函數(shù)值域為y|y0且y1說明：對于值域的求解，在向?qū)W生解

15、釋時，可以令，考察指數(shù)函數(shù)y=,并結(jié)合圖象直觀地得到，以下兩題可作類似處理（2）由5x-10得所以，所求函數(shù)定義域為x|由 0得y1所以，所求函數(shù)值域為y|y1（3）所求函數(shù)定義域為R由0可得+11所以，所求函數(shù)值域為y|y1通過此例題的訓(xùn)練，學(xué)會利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域去求解指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域，還應(yīng)注意書寫步驟與格式的規(guī)范性練習(xí)：求下列函數(shù)的定義域和值域： 解：要使函數(shù)有意義，必須 , 當(dāng)時 ； 當(dāng)時 值域為 要使函數(shù)有意義，必須 即 又 值域為 例4比較大?。?,已知下列不等式，試比較m、n的大小：m n；m 10a1圖象性質(zhì)(1)定義域：R（2）值域：（0，+）（3）過點

16、（0，1），即x=0時，y=1（4）在 R上是增函數(shù)（4）在R上是減函數(shù)二、講授范例：例1 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并證明解：設(shè) 則 當(dāng)時， 這時 即 ，函數(shù)單調(diào)遞增 當(dāng)時， 這時 即 ，函數(shù)單調(diào)遞減 函數(shù)y在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減解法二、（用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）：設(shè)： 則：對任意的，有，又是減函數(shù) 在是減函數(shù)對任意的，有，又是減函數(shù) 在是增函數(shù)引申：求函數(shù)的值域 （）例2設(shè)a是實數(shù)，試證明對于任意a,為增函數(shù)；分析：此題雖形式較為復(fù)雜，但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行證明還應(yīng)要求學(xué)生注意不同題型的解答方法（1）證明：設(shè)R,且則由于指數(shù)函數(shù) y=在R上是增函數(shù),且,所以即0得+10, +10所以

17、0時，將指數(shù)函數(shù)y=的圖象向右平行移動m個單位長度，就得到函數(shù)y=的圖象；當(dāng)m1）的圖像在直線x=1右側(cè)的部分翻折到直線x=1左側(cè)得到的圖像，是關(guān)于直線x=1對稱推廣：對于有些復(fù)合函數(shù)的圖象，則常用基本函數(shù)圖象+變換方法作出：基本函數(shù)圖象+變換：即把我們熟知的基本函數(shù)圖象，通過平移、作其對稱圖等方法，得到我們所要求作的復(fù)合函數(shù)的圖象，如上例，這種方法我們遇到的有以下幾種形式：函 數(shù)y=f(x)y=f(x+a)a0時，向左平移a個單位；a0時，向上平移a個單位；a0時，向下平移|a|個單位.y=f(-x)y=f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.y=-f(x)y=-f(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱.y=-f(-x)y=-f(-x)與y=f(x)的圖象關(guān)于原點軸對稱.y=f(|x|)y=f(|x|)的圖象關(guān)于y軸對稱，x0時函數(shù)即y=f(x)，所以x0時的圖象與x0時y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱.y=|f(x)|，y=|f(x)|的圖象是y=f(x)0與y=f(x)0圖象的組合.yy=與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.以上是在高一階段我