更高更妙的物理：專題26狹義相對論淺涉(共17頁)

1、專題(zhunt)26 狹義(xiy)相對論淺涉一、狹義(xiy)相對論的基本假設(shè) 1、伽利略的相對性原理 為描述物體的機(jī)械運(yùn)動所取的參考系，根據(jù)牛頓運(yùn)動定律是否適用而分別稱作慣性參考系與非慣性參考系；伽利略通過實(shí)驗(yàn)指出：在任何一個慣性系內(nèi)部所做的任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)都無法確定該參考系是靜止的還是在做勻速直線運(yùn)動，一切彼此相對做勻速直線運(yùn)動的慣性參考系，對于描寫運(yùn)動的力學(xué)規(guī)律是完全等價的，并不存在某一個比其他慣性系更為優(yōu)越的慣性系，任何力學(xué)實(shí)驗(yàn)都不可能確定某個慣性系是否“絕對靜止”。 伽利略運(yùn)用相對性原理闡述：設(shè)兩個沿同一方向相對速度為的慣性系，在一段時間內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)對其中一個慣性系運(yùn)動的位移為，對另一個

2、慣性系運(yùn)動的位移為，則；對其中一個慣性系運(yùn)動的速度，對另一個慣性系運(yùn)動的速度；若在時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)對其中一個慣性系運(yùn)動的加速度，則對另一個慣性系運(yùn)動的加速度，這說明在不同的慣性系中，質(zhì)點(diǎn)的加速度是相同的，所以牛頓運(yùn)動定律在所有相互做勻速直線運(yùn)動的慣性系內(nèi)均成立。 伽利略相對性原理是基于這樣的一種時空觀：在兩個參考系里，時間間隔與空間間隔的量度是一樣的，不會因參考系的運(yùn)動而有所變更，并且時空也是相互獨(dú)立的。這種把時間、空間與運(yùn)動完全脫離的絕對時空觀將面臨高速運(yùn)動現(xiàn)實(shí)的挑戰(zhàn)。 2、邁克爾遜的困難 在光本性的探究過程中，以太被認(rèn)為是傳播光的無處不在的介質(zhì)，人們對它除了名稱以外一無所知，它被設(shè)想成具有種種無

3、法協(xié)調(diào)的力學(xué)性質(zhì)及物態(tài)，并且認(rèn)為它是絕對靜止的參考系，相對于以太的絕對運(yùn)動會區(qū)別于相對于其他參考系的運(yùn)動。邁克爾遜實(shí)驗(yàn)就是期望找到在絕對靜止的參考系中發(fā)生的物理現(xiàn)象來證明以太的存在，并得到絕對運(yùn)動的。左圖與左圖是邁克爾遜實(shí)驗(yàn)裝置與實(shí)驗(yàn)原理示意圖，儀器的中心部件是一塊鍍銀的半透明玻璃片，與入射光線成角，可以讓入射光線一半透射一半反射，、是與等距離的兩塊平面鏡，是光源，它射出的光到達(dá)時，分成互相垂直的兩束；光束透過玻璃片向，被反射后到達(dá)，部分被銀膜反射；光束射向平面鏡再返回，部分透過。根據(jù)光干涉原理，兩束光到達(dá)觀察者眼中，將會出現(xiàn)明暗相間的條紋，若兩束光同時到達(dá)則中央亮紋位置居中，若兩束光到達(dá)時間

4、有先后，就會發(fā)生亮紋的偏移，所以這種測量的設(shè)計(jì)是很精巧的。邁克爾遜設(shè)想：以太存在且完全靜止，那么地球相對于以太做絕對運(yùn)動，對于安裝在地面的儀器而言，相當(dāng)于以太以地球運(yùn)動的速率拂過地面，設(shè)“以太風(fēng)”以沿圖中方向吹過，剛才說的兩束相干光到達(dá)觀察者眼中的時間就有了先后：光束先逆“風(fēng)”而上后順“風(fēng)”而下，所用時間，是無“風(fēng)”時的，式中是無“風(fēng)”時的光速，即光在以太中的速度，是平面鏡與鍍銀鏡的距離；而光束是“橫渡”的，所用時間，是無“風(fēng)”時的，可見，光束將比光束推遲到達(dá)處。“以太風(fēng)”的速度（地球運(yùn)動速度）約，光速，兩束光因以太風(fēng)而延遲的時間各為萬分之一與十萬分之五。對應(yīng)地，到達(dá)的兩束光有一相位差，若將儀

5、器轉(zhuǎn)過，兩光束相對于以太風(fēng)的速度會改變，到達(dá)的相位差就會引起改變，干涉條紋的中央亮紋位置應(yīng)明顯偏移，觀測者使用該裝置應(yīng)當(dāng)容易觀測到在絕對參考系下發(fā)生的這種干涉條紋移動的現(xiàn)象。但是，邁克爾遜在各種條件下一次又一次地精心實(shí)驗(yàn)，卻始終未能觀察到干涉條紋有絲毫的移動，在驚愕之余，事實(shí)不容置辯地指出，以太是不存在的，絕對靜止的參考系也是不存在的，真空中的光速對任何參考系都是一個恒量。 3、愛固斯坦的假設(shè)(jish) “無論光在以太中怎樣傳播，以太風(fēng)對光速都沒有(mi yu)影響”，這是愛因斯坦在年依據(jù)邁克爾遜光干涉實(shí)驗(yàn)中，預(yù)期的干涉條紋的移動始終(shzhng)未能出現(xiàn)這令人驚訝的事實(shí)而提出的，愛因斯坦

6、揚(yáng)棄了宇宙中存在以太介質(zhì)的假說及絕對參考系的想法，大膽總結(jié)出解釋邁克爾遜實(shí)驗(yàn)的兩條狹義相對論基本原理：狹義相對論的相對性原理：在不同的慣性參考系中，一切物理規(guī)律都是相同的。光速不變原理：在彼此相對做勻速直線運(yùn)動的任一慣性參考系中，所測得的光速都是相等的。第條原理說明運(yùn)動的描述只有相對的意義，絕對靜止的參考系是不存在的，找不到任何一個參考系可以通過實(shí)驗(yàn)測出該參考系中物體的絕對運(yùn)動。第條原理則使人類擺脫日常經(jīng)驗(yàn)的束縛，導(dǎo)致了對時間與空間的全新的概念。 4、洛倫茲坐標(biāo)變換如圖所示的兩個對應(yīng)軸互相平行的坐標(biāo)系和，相對于的速度是，方向沿軸正方向，從與重合的時刻作為計(jì)算時間的起點(diǎn)。設(shè)（、）表示在時刻發(fā)生在

7、系中（、）處的事件，而同一事件在系中是在時刻出現(xiàn)在（、）處。則表示同一事件的兩坐標(biāo)系中的時、空坐標(biāo)之間的關(guān)系為 和 這里(zhl)，我們又遇見了這個(zh ge)因子，該因子也常被寫作（全文(qun wn)都適用），最初它出現(xiàn)在分析邁克耳遜實(shí)驗(yàn)時，在相對論里，它像一個精靈時隱時現(xiàn)。 洛倫茲變換式是愛因斯坦兩條基本原理的直接結(jié)果，相對論要求，自然界中物體高速運(yùn)動的規(guī)律對洛倫茲變換應(yīng)該是不變的。麥克斯韋方程對于洛倫茲變換是不變的，故適用于高速運(yùn)動問題，而牛頓運(yùn)動定律的方程對于洛倫茲變換是改變的，所以只適用于研究低速運(yùn)動的物體。二、狹義相對論的時空觀 邁克耳遜實(shí)驗(yàn)結(jié)果導(dǎo)致愛因斯坦的狹義相對論，為人們

8、提出了不同于符合經(jīng)驗(yàn)的古典力學(xué)的全新的時空觀。古典力學(xué)認(rèn)為時空的量度是絕對的，不因參照系的選擇而改變，牛頓所代表的經(jīng)典物理學(xué)認(rèn)為“絕對的、真正的和數(shù)學(xué)的時間自己流逝著，并由于它的本性而均勻地、與任一外界對象無關(guān)地流逝著”、“絕對空間，就其本質(zhì)而言，與外界任何事物無關(guān)，而永遠(yuǎn)是相同的和不動的”，這種脫離物質(zhì)與運(yùn)動的絕對時空觀是從日常的低速范圍的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中總結(jié)出來的，很容易為我們接受與采納；當(dāng)我們接觸到高速運(yùn)動，就會發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的觀念與事實(shí)不符，就會遇到如邁克爾遜的困難，我們需要更新觀念，才能正確認(rèn)識自然現(xiàn)象，相對論的時空觀指出在不同運(yùn)動的參考系中會有不同的時間與空間的測量，視時空與運(yùn)動物質(zhì)不可分割，

9、隨物質(zhì)運(yùn)動形式和運(yùn)動狀態(tài)的改變而改變，日常經(jīng)驗(yàn)帶給人們的絕對不變的時空觀隨著人類實(shí)踐領(lǐng)域日漸走進(jìn)高速運(yùn)動領(lǐng)域，已經(jīng)被否定。 1、同時性問題同時的相對性相對論認(rèn)為，在系中不同地點(diǎn)同時發(fā)生的兩個事件，在系中的觀察者卻測得這兩個事件發(fā)生在不同的時刻：設(shè)在系中兩事件的時空坐標(biāo)為（、）和（、），則利用洛倫茲變換式，系的觀察者測得這兩個事件的發(fā)生時刻為，故在系的觀察者看來(kn li)，兩事件是相隔了時間先后(xinhu)發(fā)生的?！巴瑫r(tngsh)”的概念是相對的，是隨著參考系的選擇而改變的，不是絕對的。沒有絕對的、“與外界對象無關(guān)”的時間，這是愛因斯坦相對論兩個假設(shè)的直接推論，與日常經(jīng)驗(yàn)帶給人們的絕對

10、不變的時空觀是大相徑庭的。 2、長度縮短問題長度的相對性 從對于物體有相對速度的坐標(biāo)系中所測得的沿速度方向的物體的長度，總是比與物體相對靜止的坐標(biāo)系中測得的長度短：。至于垂直于相對速度方向的長度則不變。這里，長度的縮短純粹是一種相對論效應(yīng)，當(dāng)大到可與光速相比時，這種“尺縮效應(yīng)”是顯著的、是普適的，誠如愛因斯坦所言，我們這里所碰到的是空間本身的收縮。一切物體在以相同速度運(yùn)動時都收縮同樣的程度，其原因完全在于它們都被限制在同一個收縮的空間內(nèi)。而在低速情況下，這種收縮微乎其微，所以“尺縮效應(yīng)”常人是少有體驗(yàn)的。 3、時間延長問題時間間隔的相對性 從對于發(fā)生事件的地點(diǎn)做相對運(yùn)動的坐標(biāo)系中所測得的時間要

11、比從相對靜止的坐標(biāo)系中所測得的時間長：若在系中某處發(fā)生的事件經(jīng)歷的時間為，則從相對系勻速運(yùn)動的系中測得該事件經(jīng)歷的時間，這通常被稱為“鐘慢效應(yīng)”，與“尺縮效應(yīng)”一樣，只有當(dāng)運(yùn)動速度接近光速時“鐘慢效應(yīng)”才變得較為明顯。三、狹義相對論下的動力學(xué)方程 1、速度變換法則如果在系中有質(zhì)點(diǎn)沿正方向以速度勻速運(yùn)動，則該質(zhì)點(diǎn)對于系的速度為。類似地，若質(zhì)點(diǎn)在系中有沿正方向速度和沿軸正方向的速度，則對系的速度，。 2、質(zhì)量 狹義相對論內(nèi)，物體的質(zhì)量是隨著速度而改變的，兩者的關(guān)系是，式中是物體在相對靜止的慣性參照系中的質(zhì)量，叫靜止質(zhì)量，則稱為相對論質(zhì)量。 沒有物體能以光速或超光速運(yùn)動，這是一條基本的自然規(guī)律，因?yàn)?/p>

12、，當(dāng)物體運(yùn)動速度越接近光速，反抗自身進(jìn)一步加速的慣性質(zhì)量越大，慣性質(zhì)量將無限增加，這時無論對物體施加多大的外力都不能征服最后一位小數(shù)，使其速度正好等于光速，光速是宇宙中物體運(yùn)動速度的上限！ 3、動量(dngling) 在狹義(xiy)相對論中，動量的表達(dá)式是。這樣，牛頓運(yùn)動方程(fngchng)應(yīng)修正為的形式，其中。當(dāng)比光速小得多時，趨于，可見牛頓運(yùn)動定律只適用于低速情況。 4、質(zhì)能關(guān)系 動能 相對論中，物體的靜止能量；運(yùn)動時能量；而動能的表達(dá)式為。 5、動量與能量 相對論下物體的動量與能量的關(guān)系為。該式應(yīng)用于光子，則有光子能量與動量關(guān)系為。四、廣義相對論簡介 這里簡單介紹廣義相對論的等效原理

13、和相對性原理以及廣義相對論下的時間與空間。 1、等效原理 一個均勻的引力場與一個加速度不變的參考系，描述物體的運(yùn)動是等效的。例如：在愛因斯坦電梯里面，不論電梯靜止（勻速）在均勻不變的地球引力場，或是電梯遠(yuǎn)離地球但以加速度向上運(yùn)動，觀察者看到的都是所有物體以落向電梯地板。又比如，不論電梯是在引力場中或是遠(yuǎn)離引力場而勻加速運(yùn)動，對于電梯中的觀察者總看到光束是彎曲的。 2、廣義相對性原理 任何參考系中（慣性系與非慣性系）物理規(guī)律都是相同的。 廣義相對論把狹義相對論作了推廣，使我們用一切參考系來描述觀察到的物理現(xiàn)象具有相同形式的規(guī)律，物理現(xiàn)象在慣性系（處于均勻恒定引力場）的描述與在非慣性系（不受引力場

14、影響但以恒定加速度運(yùn)動）的描述是完全相同的。這種推廣是基于引入慣性力，而慣性力等效于引力。 3、廣義相對論的驗(yàn)證 從廣義相對論出發(fā)，可推知光在引力場中是彎曲的；引力場中不同位置的時間進(jìn)程是不均勻的；由于物質(zhì)的存在，引力場分布不均勻，實(shí)際空間是彎曲的。這些理論已經(jīng)有了重要的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，可了解下述三大驗(yàn)證： 愛因斯坦預(yù)言(yyn)，恒星發(fā)出的光束從太陽旁通過時要發(fā)生偏離，角度偏移約。這個(zh ge)預(yù)言被證實(shí)了：年日全食時刻拍攝了星空的照片，與沒有太陽時同一部分星空照片比較，發(fā)現(xiàn)星的位置(wi zhi)移動了，測得恒星的角偏移量為左右，這是由于太陽引力作用，使星光在經(jīng)過太陽附近時彎曲所致。圖夸張地

15、表示了這一效應(yīng)。 根據(jù)廣義相對論，時間進(jìn)程快慢與它所在位置的引力場場強(qiáng)（等效的非慣性系的加速度大?。┯嘘P(guān)，引力場場強(qiáng)越大或引力勢越低，時間進(jìn)程越慢。同種原子發(fā)光產(chǎn)生的光子，在引力場強(qiáng)度不同位置時頻率應(yīng)該不同，離地球很遠(yuǎn)引力場比地球引力場更強(qiáng)或引力勢更低的星體上原子發(fā)光產(chǎn)生的光子頻率會比地球上的小，譜線向紅光區(qū)域偏移，即產(chǎn)生引力紅移。引力紅移效應(yīng)在天文學(xué)的尺度內(nèi)已被觀測到，與理論值非常接近。 根據(jù)廣義相對論，空間不均勻，由 于物質(zhì)存在，使空間發(fā)生彎曲，空間兩點(diǎn)間的直線距離縮短。對水星軌道的進(jìn)動水星軌道最接近太陽的點(diǎn)位置變化觀察值是相對于恒星每百年改變，而經(jīng)典理論把已知的其他星體對水星的影響考慮進(jìn)

16、去后，預(yù)言為，比實(shí)際觀測少了。廣義相對論解釋了每世紀(jì)的差值要考慮太陽的巨大質(zhì)量使周圍空間發(fā)生彎曲?！締栴}l】已知：質(zhì)量為的物體在距其處的引力勢為，處在該處的質(zhì)量具有引力勢能。當(dāng)光子從太陽飛到地球時，它的頻率相對改變了多少？【分析與解】光子能量，光子在太陽引力場時的引力勢能為，光子在地球引力場的勢能為，則，而，則有，代入數(shù)據(jù)即可得到光子頻率相對變化量的理論值?！締栴}2】試解釋光子從建筑物頂上射向地面時它的顏色向藍(lán)色方向偏移.【分析與解】光子能量，在離地面較高處位置，重力勢較高，到達(dá)地面時，光子重力勢能減少，能量，可見，即光的顏色朝光譜中藍(lán)色區(qū)域移動。五、例析相對論效應(yīng)【例1】一輛車輪(ch ln

17、)半徑為的“汽車(qch)”以接近光速的恒定(hngdng)速度相對于地面沿直線運(yùn)動。一個相對于地面靜止的觀察者所看到的“汽車”車輪形狀是什么樣的？并加以證明?！痉治雠c解】根據(jù)相對論效應(yīng)，車輪沿方向的水平直徑將縮短而豎直直徑不變，故在地面觀察者看來，車輪形狀為橢圓?，F(xiàn)證明如下： 取汽車為坐標(biāo)系，在該參照系下車輪圓周的方程為，取地面為坐標(biāo)系，在地面觀察者看來，則，即，這是一個橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，短半軸小于，長半軸等于。 本題向我們描繪了一幅相對論下“尺縮效應(yīng)”的景象。曾經(jīng)有人作詩趣說“長度縮短”：斐克小伙劍術(shù)精， 出劍迅捷如流星，由于空間收縮性， 長劍變成小鐵釘。 當(dāng)然，要出現(xiàn)這種景象，這位小伙出劍必

18、須有閃電的速度才行。【例2】愛因斯坦在他年創(chuàng)立狹義相對論的論文中說：“一個在地球赤道上的鐘，比起放在兩極的一個性能上完全相同的鐘來，在別的條件相同的情況下，它要走得慢些”。地球從形成到現(xiàn)在約億年，假定地球形成時就有愛因斯坦說的那樣兩個鐘，兩鐘記錄下的兩極與赤道的年齡之差是多少？地球半徑只取?！痉治雠c解】相對于兩極，赤道以每日的速度勻速運(yùn)動，如果赤道那個鐘測得時間過了億年，則兩極上的鐘指示的歲月流逝，那么，在兩個有相對運(yùn)動的不同參考系中測量地球年齡的結(jié)果就會存在差異：。式中地球赤道自轉(zhuǎn)速度，代入后可算得兩處測量地球年齡的差異天。 愛因斯坦說地球赤道鐘比極地鐘走得慢些，是站在極地參考系來說的：相對

19、于赤道，極地是運(yùn)動的，極地“時間膨脹”；從極地看，赤道是運(yùn)動的，赤道“時鐘變慢”。【例3】一艘宇宙飛船以的速度于中午飛經(jīng)地球，此時飛船上和地球上的觀察者都把自己的時鐘調(diào)到。按飛船上的時鐘于午后飛經(jīng)一星際宇航站，該站相對于地球固定，其時鐘指示的是地球時間。試問按宇航站的時鐘飛船何時到達(dá)該站？試問按地球上的坐標(biāo)測量，宇航站離地球多遠(yuǎn)？于飛船時間午后從飛船向地球發(fā)送無線電信號，試問地球上的觀測者何時（按地球時間）接到信號？若地球上的觀測者在接收到信號后立即發(fā)出回答信號，試問飛船何時（按飛船時間）接收到回答信號？【分析(fnx)與解】首先我們來約定兩個(lin )參照系：地球參照系，飛船(fi chu

20、n)參照系，兩參照系有的相對速度，兩參照系均以為初始時刻。此后，不論在哪個參照系里觀察，總會發(fā)現(xiàn)對方參照系里的時間與“本地時間”是不一樣的。由題給條件，相對于系靜止的時鐘即飛船上的時鐘指示時間間隔，則系中時鐘是相對于系以速度運(yùn)動的，其時間“膨脹”，即。 故宇航站時鐘指示飛船到達(dá)該站的時刻是。在系觀察，飛船速度，飛行時間，則飛行距離為。對地球參照系，信號速度不變?yōu)椋盘枏娘w船到達(dá)地球歷時。則從初始時刻起共經(jīng)過，故地球上觀測者收到信號時，地球鐘指示下午。 解答本小題時，要理清思路。首先，注意到在信號從飛船向地球傳送期間，飛船又遠(yuǎn)離地球，在系中，這個距離為；信號立即從地球返回，相對于飛船，返回速度為

21、，要到達(dá)飛船需完成的距離是，故歷時；從初始時刻起事件共經(jīng)歷了地球時間，而對飛船所在系，則經(jīng)歷了，那么，飛船接到地球返回的信號時，其時鐘鐘面指示下午。 本題所涉時間延長的效應(yīng)，有子衰變的事實(shí)依據(jù)。子可帶正電也可帶負(fù)電，質(zhì)量比電子大倍，半衰期約，在宇宙射線作用下，在離地球表面的高空大氣層形成，設(shè)子形成后以運(yùn)動，按相對論以前的觀點(diǎn)，一個半衰期，子的平均路程為，則能夠抵達(dá)地球表面的子數(shù)只有，然而實(shí)際在地表觀察到的子數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了按半衰期計(jì)算的數(shù)目。事實(shí)上，我們地球觀測者看來，子從形成到衰變之間的時間間隔要長得多。 狹義相對論的時間延長的-結(jié)論還引發(fā)出一個著名的“孿生子佯謬”：一對雙胞胎，同時出生于地球上

22、，如果一個乘高速宇宙飛船出去旅行而另一個則留在地球，幾十年過去了，旅行者回來時，在地球上的兄弟看來，他比自己年輕得多，因?yàn)榈厍蛏系膸资?，相?dāng)于飛船上的幾年高速運(yùn)動的飛船上時鐘變慢、細(xì)胞分裂變慢、人的成長也變慢了；不過在游子看來，卻是留在地球上的兄弟更年輕，因?yàn)樵谒磥?，飛船靜止而地球是高速運(yùn)動的，地球上的時間比飛船上慢，他兄弟的生長過程慢。同樣運(yùn)用狹義相對論推理卻得出了互相矛盾的結(jié)果，問題出在哪里呢?這個悖論是因?yàn)楹雎粤孙w船并不是一個完整的慣性參照系：飛船與地球相互做勻速運(yùn)動時，他們是等價的，但是為了返回地球，飛船必須經(jīng)歷減速、反向加速的過程，這時它已不再是慣性參照系了，地球與飛船不是等價的

23、慣性系，則兩兄弟計(jì)算時間的方法應(yīng)當(dāng)不同。按廣義相對論來看，在飛船加速和減速過程中，飛船中出現(xiàn)的慣性力使得時鐘變慢，因此飛船上的那位會年輕些?！纠?】設(shè)有一介子，在靜止下來(xi li)后，衰變成子和中微子，三者的靜止質(zhì)量(zhling)分別為，和。求子和中微子的動能(dngnng)?！痉治雠c解】靜止的介子衰變成子和中微子的過程，動量和能量均守恒，這里，動量與能量均為相對論意義的量，且，。由上述兩守恒式解得。則子運(yùn)動時能量為，子的動能。同理，中微子的動能?！纠?】如圖所示，有一均勻帶正電的正方形絕緣線框，每邊邊長為，線框上串有許多帶電小球（看成質(zhì)點(diǎn)），每個小球的帶電量為，每邊的總帶電量為零（即線

24、框的帶電量和各小球的帶電量互相抵消）。現(xiàn)使各小球相對線框以速率沿絕緣線做勻速運(yùn)動，在線框參考系中測得相鄰兩小球的間距為（），線框又沿邊以速率在自身平面內(nèi)相對系做勻速運(yùn)動。在線框范圍內(nèi)存在一均勻電場，其方向與線框平面的傾角為?？紤]相對論效應(yīng)，試在系中計(jì)算以下各量。 線框各邊上相鄰兩小球的間距、； 線框各邊的凈電量、； 線框和小球系統(tǒng)所受的電力矩大??； 線框和小球系統(tǒng)的電勢能?！痉治雠c解】這里，先建立參考系：地面參考系，這是進(jìn)行觀測的參考系；線框參考系，線框靜止在，以及小球靜止的參考系。先計(jì)算。在系中觀察邊上兩球間距離為，設(shè)在中相鄰兩球間距離為，由于相對運(yùn)動速度為，由“尺縮公式”可得。又由速度變換

25、(binhun)法則，將小球?qū)Γň€框）的速度(sd)變換(binhun)為對系的速度，為。那么，在系中觀察相鄰兩球間距離為。 邊兩小球間距只須考慮到與方向相反，則；至于邊與邊由于與方向垂直，不產(chǎn)生收縮，故。 計(jì)算各邊凈電量時注意每個小球帶電量不因坐標(biāo)而改變，但邊長及小球間距與坐標(biāo)有關(guān)。在系中，各邊小球個數(shù)有個，由于每邊總帶電量為零，每邊線框上帶負(fù)電，電量為，這個電量不變。在系中，邊小球個數(shù)為，邊凈電量為小球帶正電量與線框邊帶負(fù)電量之和。 同理可得邊凈電量為，而另兩邊凈電量均為零。線框的邊與邊凈電荷受電場力而形成力矩。如圖所示為線框的右視圖，由圖可知兩邊所受電力矩為。設(shè)邊為零電勢面，則有。【例6

26、】太空火箭（包括燃料）的初始質(zhì)量為，從靜止起飛，向后噴出的氣體相對火箭的速度為常量。任意時刻火箭速度（相對地球）為時火箭的靜止質(zhì)量為。忽略引力影響，試求比值與速度之間的關(guān)系?！痉治雠c解】本題以地球?yàn)閰⒄障?，取火箭噴氣的元過程，得到火箭靜質(zhì)量的變化與速度變化的關(guān)系式，然后運(yùn)用微元法求得與速度之間的關(guān)系。 設(shè)某時刻火箭(hujin)的對地速度為，質(zhì)量(zhling)，靜質(zhì)量(zhling)，在的瞬時噴出氣體質(zhì)量為，靜質(zhì)量相應(yīng)記作，火箭速度增加。由動量守恒關(guān)系得。 上式中氣體對地速度由速度變換法則確定。整理式并忽略高階無窮小量后得。 而噴出的氣體質(zhì)量為， 式中因子則將其代入式有。 式等號兩邊消去因子

27、，并舍去高階無窮小量，整理可得，即，將此式等價變形為現(xiàn)令，則有，當(dāng)時，故有，；，注意(zh y)到初時，則有，；同理可得，。由所設(shè)得，于是本題要求(yoqi)的物理規(guī)律為，。本題應(yīng)用相對論的動力學(xué)規(guī)律求解，在數(shù)學(xué)處理上，作者設(shè)計(jì)(shj)了將高等數(shù)學(xué)中求導(dǎo)與解微分方程“降解”的方法，如，對無限小量作適當(dāng)處理，對噴出氣體的質(zhì)量這樣一個原本屬于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的問題賦予物理意義，最后利用常用極限，僅在初等數(shù)學(xué)范圍解決解為指數(shù)函數(shù)的微分方程問題，有創(chuàng)意。筆者認(rèn)為，全國中學(xué)生物理競賽不要求用微積分，是一件好事，它可以使參賽選手有機(jī)會自己闖進(jìn)微積分的天地，而不只是現(xiàn)成地接受那些已有的結(jié)論。1、按例3中同樣道

28、理，一個在地球上的鐘，要比一個性能完全相同、所處條件也完全相同的設(shè)想放在太陽上的鐘略為快些還是慢些？設(shè)太陽年齡為億年，地球公轉(zhuǎn)的平均速率為，則地球年齡與太陽相差多少年？2、一個(y )“光鐘”由一個(y )處于平面(pngmin)的點(diǎn)光源和與面平行、相距為的平面鏡組成。與這個光鐘相對靜止的參考系中，一個“滴答”的時間即閃光從到達(dá)再反射回的時間是。假如這光鐘安裝在一個以快速運(yùn)動的車上，地面觀察者看到閃光從沿垂直于方向到達(dá)再反射回，如圖甲所示，車上觀測者則看到閃光從沿斜線到達(dá)再反射到平面上的，如圖乙所示，求車上觀察者測出閃光一個“滴答”的時間；若方向改變安裝光鐘，如圖丙所示，這時地面觀測者測得與平

29、面鏡的距離是多少？一個“滴答”的時間是多少？3、某人測得一靜止棒長，質(zhì)量為，求得棒的線密度為。假定此棒以速度沿棒長方向上運(yùn)動，此人測出棒的線密度是多少？若棒沿垂直于棒長方向運(yùn)動，則此棒線密度的測量值又是多少？4、介子(jiz)是一不穩(wěn)定粒子，平均壽命是（在它自己(zj)的參考系中測得）。求：如果此粒子(lz)相對于實(shí)驗(yàn)室以的速度運(yùn)動，則介子壽命的實(shí)驗(yàn)室測得值是多長？介子在衰變前運(yùn)動了多長距離？5、假設(shè)一個火箭飛船的靜質(zhì)量為，從地球飛向金星的速度為，如果不考慮相對論效應(yīng)，則對它動能的計(jì)算少了多少？6、已知隧道的長度為，火車的靜長為，。如圖所示，設(shè)火車以勻速率駛進(jìn)隧道，使得地面系中的觀測者發(fā)現(xiàn)與相遇時，與也相遇。試求值；引入隨火車一起運(yùn)動的慣性系，在系中的觀測者必定認(rèn)為與先相遇，而后與相遇。試求其間的時間間隔。7、一矩形平行板電容器充電后與電源(dinyun)斷開，沿矩形的一邊相對于地面以恒定速度（接近(jijn)光速）運(yùn)動(yndng)。確定相對于地面靜止的觀測者而言，電容器兩極板間的電場是多少？已知電容器在地面上靜止時兩極板間的電場為。8、如圖所示，在其恒星參照系中，飛船和飛船以相同速率（為真空中光速）做勻速直線運(yùn)動。飛船的運(yùn)動方向與方向一致，而飛船的運(yùn)動方向與方向一致，兩飛船軌跡之間的垂直距離為。當(dāng)和靠得最近時，從向發(fā)出一細(xì)束無線電