化工數(shù)學：1.3 條件概率

1、 組合：從含有n個元素的集合中隨機抽取k 個，取法共有抽球問題：一般地，設盒中有N個球，其中有M個白球，現(xiàn)從中任抽n個球，則這n個球中恰有k個白球的概率是分球入盒問題：一般地，把n個球隨機地分配到m個盒子中去(nm)，則每盒至多有一球的概率是：分組問題：一般地，把n個球隨機地分成m組(nm),要求第 i 組恰有ni個球（i=1,m)，共有分法： 袋中有十只球，其中九只白球，一只紅球，十人依次從袋中各取一球(不放回)，問第一個人取得紅球的概率是多少？第二 個人取得紅球的概率是多少？?1.3 條件概率若已知第一個人取到的是白球，則第二個人取到紅球的概率是多少？一、條件概率已知事件A發(fā)生的條件下，事

2、件B發(fā)生的概率稱為A條件下B的條件概率，記作P(B|A)若已知第一個人取到的是紅球，則第二個人取到紅球的概率又是多少？例1 設袋中有3個白球，2個紅球，現(xiàn)從袋中任意抽取兩次，每次取一個，取后不放回，（1）已知第一次取到紅球，求第二次也取到紅球的概率; （2）求第二次取到紅球的概率（3）求兩次均取到紅球的概率設A第一次取到紅球,B第二次取到紅球ABA第一次取到紅球,B第二次取到紅球顯然，若事件A、B是古典概型的樣本空間S中的兩個事件，其中A含有nA個樣本點,AB含有nAB個樣本點，則稱為事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率一般地，設A、B是S中的兩個事件，則 二、乘法公式設A、B，P（A）0,

3、則 P(AB)P(A)P(B|A)上式就稱為事件A、B的概率法公乘式。上式還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般地，有下列公式： P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)引例：市場上有華泰、金星、榮光三家化工廠生產(chǎn)的同一品牌的化工產(chǎn)品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/2和1/4，且三家工廠的次品率分別為2、1、3%。試求：（1） 若任買一化工產(chǎn)品，問買到的是合格品的概率是多少？（2） 若查出某一產(chǎn)品不合格，問該產(chǎn)品最有可能是何廠家的？三、全概率公式與貝葉斯公式市場上有甲、乙、丙三家工廠生產(chǎn)的同一品牌產(chǎn)品，已知三家

4、工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為 2、1、3，試求市場上該品牌產(chǎn)品的次品率。B定義 事件組A1，A2，An (n可為)，稱為樣本空間的一個劃分，若滿足：A1A2AnB定理1.2（1） 設A1，, An是的一個劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對任何事件B 有 式(1.7)就稱為全概率公式。例1.17 有甲乙兩個袋子，甲袋中有兩個白球，1個紅球，乙袋中有兩個紅球，一個白球這六個球手感上不可區(qū)別今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再從乙袋中任取一球，問此球是紅球的概率？解：設A1從甲袋放入乙袋的是白球；A2從甲袋放入乙袋的是紅球；B從乙袋中任取一球是紅球；甲

5、乙定理1.2（2）設A1，, An是的一個劃分,且P(Ai) 0，(i1，n)，則對任何事件B ,有 式(1.8)就稱為貝葉斯公式。思考：上例中，若已知取到一個紅球，則從甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:例1.18 商店論箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，1，2只次品的概率分別為0.8, 0.1, 0.1，某顧客選中一箱，從中任選4只檢查，結(jié)果都是好的，便買下了這一箱.問這一箱含有一個次品的概率是多少？解:設A:從一箱中任取4只檢查,結(jié)果都是好的. B0, B1, B2分別表示事件每箱含0，1，2只次品已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1由Bayes公

6、式:例1.19數(shù)字通訊過程中，信源發(fā)射0、1兩種狀態(tài)信號，其中發(fā)0的概率為0.55，發(fā)1的概率為0.45。由于信道中存在干擾，在發(fā)0的時候，接收端分別以概率0.9、0.05和0.05接收為0、1和“不清”。在發(fā)1的時候，接收端分別以概率0.85、0.05和0.1接收為1、0和“不清”?，F(xiàn)接收端接收到一個“1”的信號。問發(fā)端發(fā)的是0的概率是多少?)BA (P)A(P)AB(P)A(P)AB(P)A(P)AB(P+0.067解：設A-發(fā)射端發(fā)射0， B- 接收端接收到一個“1”的信號0 (0.55)0 1 不清(0.9)(0.05)(0.05)1 (0.45)1 0 不清(0.85)(0.05)(

7、0.1)例1.20 在肝癌診斷中有一種血清甲胎蛋白法，該方法能夠檢查出95%的真實患者，但也可能將10%的正常人誤判。根據(jù)以往紀錄，每一萬人中約有4人患肝癌?，F(xiàn)在有一人被該檢驗法診斷為患有肝癌，試求此人確實是肝癌患者的概率。解:設事件A=“用該方法判斷被檢驗者患有肝癌”， 事件B=“被檢驗者確有肝癌”，由Bayes公式:全概率公式和貝葉斯公式 在全概率公式中，事件A1，, An是導致試驗結(jié)果的原因，P（Ai)稱為先驗概率；而貝葉斯公式是在某一事件B已發(fā)生之后再來判斷事件Ai發(fā)生的概率，P（Ai|B)稱為后驗概率。 由貝葉斯公式作出的后驗概率判斷結(jié)果，稱為貝葉斯決策。這種決策方法在工程技術、風險

8、管理、投資決策中大量應用。條件概率 小 結(jié)縮減樣本空間 定義式 乘法公式 全概率公式（先驗概率） 貝葉斯公式（后驗概率）1.4 事件的獨立性一、事件的獨立性定義1.6 設A、B是兩事件，P(A) 0,若 P(B)P(B|A) 則稱事件A與B相互獨立。上式等價于： P(AB)P(A)P(B)從一付52張的撲克牌中任意抽取一張，以A表示抽出一張A，以B表示抽出一張黑桃，問A與B是否獨立？定理1.3、以下四件事等價：(1)事件A、B相互獨立；(2)事件A、B相互獨立；(3)事件A、B相互獨立；(4)事件A、B相互獨立。例1.21 設有甲、乙兩個射手,他們每次命中目標的概率分別是0.8和0.7,現(xiàn)兩人

9、同時向一目標射擊一次,試求:(1)目標被擊中的概率;(2)若已知目標被擊中,則它是被甲擊中的概率是多少?解 設A,B分別表示甲、乙命中目標,C表示目標被擊中,顯然A與B相互獨立且P(A)=0.8,P(B)=0.7,故(1) 由于C=AB, 則目標被擊中的概率 P(C)=P(AB)= P (A)+ P (B)P (AB)= P (A)+ P (B)P (A) P (B)=0.8+0.70.80.7=0.94,(2) 已知目標被擊中,則它是被甲擊中的概率為定義1.7、若三個事件A、B、C滿足：(1) P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), (

10、1.9)則稱事件A、B、C兩兩相互獨立；若在此基礎上還滿足：(2) P(ABC)P(A)P(B)P(C), (1.10)則稱事件A、B、C相互獨立。注意:三個事件的獨立性除了類似于兩個事件的情形需滿足(1.10)式外,還需要滿足(1.9)式的三個條件, 滿足(1.9)式三個條件的事件稱作是兩兩獨立的.由此可見,若A,B,C相互獨立,則A,B,C一定兩兩獨立.但A,B,C兩兩獨立不能保證A,B,C相互獨立,即從(1.9)式不能導出(1.10)式.這是把兩個事件的獨立性推廣到多個事件時一個很主要的差別,例如下面的例子.例1.22 設一個口袋里裝有4張形狀相同的卡片.在這4張卡片上依次標有數(shù)字:11

11、0,101,011,000.從袋中任取一張卡片,用Ai表示事件“取到的卡片第i位上的數(shù)字為1”(i=1,2,3).證明:A1,A2,A3三個事件并不相互獨立,但A1,A2,A3是兩兩獨立的.證明 容易求出:從而但是 由此可見,對這三個事件,雖然(1.9)式成立,但(1.10)式卻不成立.即這三個事件是兩兩獨立的,但并不是相互獨立的.一般地，設A1，A2，An是n個事件，如果對任意k (1kn), 任意的1i1i2 ik n，具有等式 P(A i1 A i2 A ik)P(A i1)P(A i2)P(A ik) 則稱n個事件A1，A2，An相互獨立。思考：1.設事件A、B、C、D相互獨立，則2.

12、一顆骰子擲4次至少得一個六點與兩顆骰子擲24次至少得一個雙六，這兩件事，哪一個有更多的機會遇到？答:0.518, 0.496事件獨立性的應用1、加法公式的簡化：若事件A1，A2，An相互獨立, 則 2、在可靠性理論上的應用如圖，1、2、3、4、5表示繼電器觸點,假設每個觸點閉合的概率為p,且各繼電器接點閉合與否相互獨立，求L至R是通路的概率。設A-L至R為通路,Ai-第i個繼電器通,i=1,2,5由全概率公式可靠性問題：元件能正常工作的概率稱為該元件的可靠性。由多個元件構(gòu)成的系統(tǒng)能正常工作的概率稱為該系統(tǒng)的可靠性。二、伯努利(Bernoulli)概型 一般地,把只有兩個對立結(jié)果A和 的隨機試驗

13、稱為伯努利試驗. 把伯努利試驗在相同條件下重復進行n次,如果每次試驗相互獨立,則稱這樣的試驗為n重伯努利試驗,或稱為伯努利概型.稱獨立重復進行的可列次伯努利試驗為一個伯努利獨立試驗序列.定理1.4 在伯努利試驗中,若事件A發(fā)生的概率P(A)=p(0p0,則 P(AB)P(A)P(B|A)上式就稱為事件A、B的概率乘法公式。上式還可推廣到三個事件的情形： P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB) 一般地，有下列公式： P(A1A2An)(A1)P(A2|A1).P(An|A1An1)設A1，, An是的一個劃分，且P(Ai)0，(i1，n)，則對任何事件B 有 （3）全概率公式：（4）貝葉

14、斯公式：設A1，, An是的一個劃分,且P(Ai) 0，(i1,n)，則對任何事件B ,有 概型（古典概型、伯努利(Bernoulli)概型）設事件A中所含樣本點個數(shù)為nA,以n記樣本空間中樣本點總數(shù)，則有（1）古典概型中的概率概型（古典概型、伯努利(Bernoulli)概型）（2）伯努利概型中的概率在伯努利試驗中,若事件A發(fā)生的概率P(A)=p(0p1)，則在n重伯努利試驗中,事件A恰好發(fā)生k次的概率為 其中q=1p,k=0,1,2,n. 上式也稱為伯努利公式.第二章 隨機變量 隨機變量的概念 離散型隨機變量及其分布分布函數(shù)連續(xù)型隨機變量及其分布 隨機變量函數(shù)的分布隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化隨機變

15、量數(shù)學方法概率問題隨機試驗結(jié)果的概率研究問題隨機變量的概率分布問題隨機變量引入的意義 關于隨機變量(及向量)的研究，是概率論的中心內(nèi)容這是因為，對于一個隨機試驗，我們所關心的往往是與所研究的特定問題有關的某個或某些量，而這些量就是隨機變量也可以說：隨機事件是從靜態(tài)的觀點來研究隨機現(xiàn)象，而隨機變量則是一種動態(tài)的觀點，一如數(shù)學分析中的常量與變量的區(qū)分那樣變量概念是高等數(shù)學有別于初等數(shù)學的基礎概念同樣，概率論能從計算一些孤立事件的概念發(fā)展為一個更高的理論體系，其基礎概念是隨機變量隨機試驗的結(jié)果數(shù)量化 定義. 設=是試驗的樣本空間，如果量X是定義在上的一個單值實函數(shù)，即對于每一個 ，有一實數(shù)X=X()

16、與之對應，則稱 X=X()為隨機變量。隨機變量常用X、Y、Z 等表示。（變異性和隨機性）隨機變量的特點: 1. X的全部可能取值是互斥且完備的2 .X的部分可能取值描述隨機事件?請舉幾個實際中隨機變量的例子EX例2.1例2.5借助于隨機變量可以方便地表述隨機事件隨機變量的分類：隨機變量離散型隨機變量(P43)定義 若隨機變量X取值x1, x2, , xn, 且取這些值的概率依次為p1, p2, , pn, , 則稱X為離散型隨機變量，而稱PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 為X的分布律或概率分布?？杀頌?X PX=xk=pk, (k=1, 2, )，或 Xx1 x2xKPkp1p2pk(

17、1) pk 0, k1, 2, ;(2) 例1 設袋中有5只球，其中有2只白3只黑?，F(xiàn)從中任取3只球(不放回)，求抽得的白球數(shù)X為k的概率。解 k可取值0，1，2分布律的性質(zhì)例2.某射手對目標獨立射擊5次，每次命中目標的概率為p，以X表示命中目標的次數(shù)，求X的分布律。解：設Ai第i次射擊時命中目標，i=1,2,3,4,5 則A1,A2,A5,相互獨立且 P(Ai)=p,i=1,2,5. X=0,1,2,3,4,5,(1-p)5 幾個常用的離散型隨機變量1. 兩點分布 XB（1，p） 若以X表示進行一次試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從兩點分布(01)分布) X PX kpk(1p)1k, (0p

18、1) k0，1或兩點分布來自于伯努利試驗，所以兩點分布又稱為伯努利分布，它是最簡單的離散型分布。 若以X表示n重伯努利試驗事件A發(fā)生的次數(shù)，則稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布。記作XB（n,p) ,其分布律為： 2.二項分布 二項分布是概率統(tǒng)計中重要的離散型分布之一，它涉及的是n重伯努利試驗。也就是說各次試驗是獨立的，且各次試驗條件是穩(wěn)定的?，F(xiàn)實生活中的許多現(xiàn)象程度不同地符合這個條件。如產(chǎn)品的質(zhì)量檢驗，從N個產(chǎn)品中有放回地取出n個，其中所含的次品數(shù)X就服從二項分布。例3.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數(shù),求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率.解:(1)由題意,XB(