離散時(shí)間信號處理：第3章 信號的采樣與重構(gòu)(1-2)

1、第三章 信號的采樣與重構(gòu)雖然自然界中存在離散時(shí)間信號，但是最常見的還是連續(xù)時(shí)間信號。采樣連續(xù)時(shí)間信號的處理分析往往經(jīng)由對之采樣后的離散時(shí)間序列處理完成的。計(jì)算機(jī)利用離散處理后的結(jié)果往往需要在連續(xù)域表達(dá)出來，便于接收和理解重構(gòu)采樣后信號是否包含了連續(xù)信號的所有信息？如何無失真恢復(fù)原始信號？時(shí)域采樣導(dǎo)致了信號頻域發(fā)生了何種變化？采樣的信號是否包含冗余信息？是否可以進(jìn)行速率的變化？離散處理如何用于實(shí)際連續(xù)信號的處理應(yīng)用？如何提高信號處理的性能？本章要解決的問題3.1 采樣和重構(gòu)3.2 連續(xù)信號的離散處理 3.3 變速率處理（抽取和內(nèi)插）3.4 連續(xù)信號離散化處理的若干問題3.5 過采樣和噪聲成形技術(shù)

2、3.1.1 理想周期采樣典型的周期采樣為沖激脈沖采樣，亦稱理想采樣，形式如下：物理模型 數(shù)學(xué)模型 C/DA/D器件是理想CD轉(zhuǎn)換器的工程近似。調(diào)制器+序列的轉(zhuǎn)換xc(nT)是連續(xù)沖激串的沖激面積，它除了在整倍數(shù)T時(shí)刻以外都為零，包含有物理時(shí)間的概念；x(n)是以整數(shù)變量n給出的，引入了時(shí)間歸一化，x(n)沒有任何采樣率的信息。沖激串到時(shí)間序列的轉(zhuǎn)換 一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號兩種采樣采樣的不確定性采樣一般是不可逆的為保證采樣不丟失信息，該做何約束？3.1.2、采樣的頻域表示 傅里葉變換是由 的傅里葉變換按整數(shù)倍的采樣頻率移位，然后疊加起來得到，即周期性延拓。北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國梁x(n)頻

3、譜與x(t)頻譜的關(guān)系北京航空航天大學(xué)204教研室 孫國梁113.1.3 信號重構(gòu)采樣的第二步和重構(gòu)的第一步湮滅了序列到?jīng)_激串轉(zhuǎn)換 調(diào)制逆過程采樣周期T沖激串到離散時(shí)間序列的轉(zhuǎn)換 理想重構(gòu)序列到?jīng)_激串轉(zhuǎn)換 理想重構(gòu)濾波器采樣周期T信號的重構(gòu)系統(tǒng)物理和數(shù)學(xué)模型D/C理想重構(gòu)濾波器的增益為T(用以補(bǔ)償采樣損耗)，截止頻率為 截止頻率通常選取 。理想重構(gòu)濾波器的頻率響應(yīng)為：理想重構(gòu)信號在各采樣點(diǎn)上與原連續(xù)信號有相同的數(shù)值，并且與采樣速率無關(guān)。如果原始信號的采樣沒有發(fā)生頻譜混疊，則采樣重構(gòu)后的信號在采樣點(diǎn)以外無失真；若發(fā)生混疊，則采樣點(diǎn)之間的信號將發(fā)生失真。注：奈氏低通采樣定理假設(shè)有一個(gè)（實(shí)）帶限信號

4、 ，其正頻帶限制在（0， ）內(nèi)，B= ，如果以不小于 的采樣速率對信號進(jìn)行等間隔采樣，則得到離散時(shí)間采樣信號 可以不失真的完全恢復(fù)原始信號。 3.1.3 采樣定理奈氏帶通采樣定理奈氏低通采樣定理只討論了頻譜分布在(0， )上的基帶信號的采樣問題如果信號的頻率分布在某一有限的頻帶( ， )上時(shí)，那么該如何對這樣的帶限信號進(jìn)行采樣呢?當(dāng) 時(shí)，信號的最高頻率遠(yuǎn)大于帶寬，如果仍然按奈氏低通采樣率進(jìn)行采樣，則：采樣頻率很高，現(xiàn)實(shí)中很難實(shí)現(xiàn)；后處理的速度也滿足不了要求；有用信號僅處于有限頻段，資源浪費(fèi)能否采用比奈氏低通采樣率更低的速率來采樣呢? 存在的問題1、當(dāng) 時(shí)f0fLfHBfs討論：信號頻譜必然混疊

5、，無法恢復(fù)原始信號f0fLfHBfs2、當(dāng) 時(shí)1、不一定能夠由采樣后的信號恢復(fù)原始信號2、實(shí)信號頻譜區(qū)間是正負(fù)對稱的，從而其搬移之后的頻譜亦是正負(fù)對稱的，要使其頻譜不發(fā)生混疊，只能符合以下的兩種情況a) b) f0fLfHBkfsfsfs/4 f0fLfHBkfsfs-fs/4當(dāng) 時(shí)，若采樣率滿足 （n=0,1,2）則可以無失真的從采樣信號中恢復(fù)原始信號當(dāng) 時(shí)，取n=0， 即為奈氏低通采樣速率。奈氏帶通采樣定理（欠采樣）由帶通采樣定理可知，若要用最低采樣速率即兩倍帶寬對信號進(jìn)行采樣，其信號中心頻率必須滿足： 信號最高(或最低)頻率是帶寬整數(shù)倍。推論：任何一個(gè)中心頻率為 (n=0，1，2，3，)

6、,帶寬為B的帶通信號均可以用同樣的采樣頻率 對信號進(jìn)行采樣，這些采樣均能準(zhǔn)確地表示或者重新恢復(fù)出位于不同頻段(中心頻率不同)的原信號。前提：只允許在其中的一個(gè)頻帶上存在信號，而不允許在不同的頻帶上同時(shí)存在信號。跟蹤濾波器采樣當(dāng)需要對某一個(gè)中心頻率的帶通信號進(jìn)行采樣時(shí)，就先把跟蹤濾波器調(diào)到與之對應(yīng)的中心頻率上，濾出所感興趣的帶通信號，然后再進(jìn)行采樣，以防止信號混疊，亦稱之為抗混疊濾波器。如果濾波器理想的話，采用同一采樣速率就能實(shí)現(xiàn)對全頻域信號進(jìn)行數(shù)字化，然后用軟件方法進(jìn)行解調(diào)分析，這正是軟件無線電的根本出發(fā)點(diǎn)。帶通采樣把位于不同頻帶的信號都用位于(0，B)上相同的基帶信號來表示，但是：奇數(shù)通帶上的高頻分量對應(yīng)基帶上的低頻分量，奇數(shù)通帶上的低頻分量對應(yīng)基帶上的高頻。偶數(shù)頻帶與采樣后的數(shù)字基帶譜是高、低頻率分量一一對應(yīng)的。3.2 離散與連續(xù)LTI系統(tǒng)的等效關(guān)系由信號重構(gòu)的討論可知29假設(shè)離散時(shí)間系統(tǒng)是LTI輸入是帶限的，采樣率滿足奈奎斯特定理在C/D中即使有混疊發(fā)生，只要H(ejw)不通過這些混疊的分量，結(jié)論仍正確1、帶限輸入，并且滿足采樣定理整個(gè)系統(tǒng)將表現(xiàn)為一個(gè)線性時(shí)不變連