離散時間信號處理：第5章 離散傅立葉變換與快速算法1(DFT2)

1、兩條結(jié)論時域周期頻域離散；時域離散頻域周期兩個定理DFS是主值區(qū)間序列的DTFT的頻域采樣任意序列的頻域采樣所重構(gòu)的時域序列是原序列的周期延拓25.1.3 離散傅立葉變換(DFT)周期序列和有限長序列相互對應(yīng)DFS對應(yīng)主值區(qū)間有限長序列的DTFT的頻域采樣，恰好滿足信號頻譜分析的需要DFS及IDFS求和是只限定在主值區(qū)間進(jìn)行，完全適用有限長序列變換。3一、離散傅里葉變換（DFT）1、DFT隱含有周期性2、有限長序列DFT是其本身的DTFT(等長)頻域采樣4例題：矩形脈沖的DFT5二、DFT性質(zhì)DFT隱含有周期性以下討論的序列都是N點(diǎn)有限長序列6DFT的對偶性781、線性若兩個有限長序列的點(diǎn)數(shù)不

2、等，則需要將短序列補(bǔ)零后作N點(diǎn)DFT再進(jìn)行相加,其中：N=max(N1,N2)9圓周移位：是指有限長序列以它的長度N為周期，將其延拓成周期序列，將周期序列加以移位，然后再取主值區(qū)間0，N-1上的序列值。圓周移位特性：2、圓周（循環(huán)）移位101112通過上面得證明過程也看到了離散傅立葉級數(shù)(DFS)的移位性質(zhì)：該性質(zhì)表明：有限長序列的圓周移位僅在離散頻域中引入一個和頻率成正比的線性相位 ，不影響頻譜的幅度特性。13同樣，利用頻域與時域的對偶關(guān)系，可以證明：頻域圓周移位導(dǎo)致時間序列的調(diào)制特性，也就是說時域序列的調(diào)制等效于頻域的圓周移位。由此式可以得到：頻域圓周移位14153、共軛對稱性任一序列都可

3、表示成共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和。在討論有限長序列的離散傅立葉變換時，不能直接采用其定義.因?yàn)閷τ贜點(diǎn)的序列，按定義給出的共軛對稱分對稱分量與共軛反對稱分量都是（2N-1）點(diǎn)。從周期序列的共軛對稱定義入手，導(dǎo)出有限長序列的圓周共軛16有限長序列的圓周共軛對稱分量和圓周共軛反對稱分量分別定義為其周期延拓序列相應(yīng)共軛分量的主值區(qū)間17相應(yīng)于上面的概念，若 為共軛對稱序列，則 稱為圓周共軛對稱序列，此時：同理，若 為共軛反對稱序列，則 稱為圓周共軛反對稱序列，此時滿足：注共軛對稱是以零點(diǎn)為中心考察對稱的性質(zhì)，圓周共軛由于是針對0，N-1上的有限長序列引入的，其對稱中心變?yōu)?。 18（始終假設(shè)

4、）：（1） 證明：DFT對稱特性19（2） 證明： 同理可得：20（3） 證明： 同理可得：復(fù)序列實(shí)部的DFT對應(yīng)于序列DFT的圓周共軛對稱分量；序列虛部乘以j的DFT對應(yīng)于序列DFT的圓周共軛反對稱分量。實(shí)序列的DFT只有圓周共軛對稱分量，純虛序列的DFT只有圓周共軛反對稱分量。2122對于實(shí)序列，其DFT圓周共軛對稱，模偶對稱、輻角奇對稱（或?qū)嵅颗紝ΨQ、虛部奇對稱），即：23 對于純虛序列，其DFT圓周共軛反對稱，即： 24奇、偶、虛、實(shí)關(guān)系如表所示，利用這些關(guān)系，可以減少計(jì)算DFT的運(yùn)算量。偶對稱奇對稱實(shí)數(shù)虛數(shù)實(shí)數(shù)偶對稱實(shí)數(shù)奇對稱虛數(shù)偶對稱虛數(shù)奇對稱偶對稱奇對稱實(shí)部為偶對稱，虛部為奇對稱

5、實(shí)部為奇對稱，虛部為偶對稱實(shí)數(shù)偶對稱虛數(shù)奇對稱虛數(shù)偶對稱實(shí)數(shù)奇對稱25對于實(shí)序列和純虛序列兩種情況，只要知道一半數(shù)目就可以利用對稱性求得另外一半，從而可以節(jié)約運(yùn)算，提高效率。利用共軛對稱性，可以用一次DFT運(yùn)算來計(jì)算兩個實(shí)數(shù)序列的DFT，因而可以減少計(jì)算量。利用對稱性減少運(yùn)算量26設(shè) 和 都是N點(diǎn)實(shí)數(shù)序列，將其構(gòu)成復(fù)序列 ：X1(k),X2(k)怎樣獲得？27另外，利用共軛對稱性還可以用N點(diǎn)DFT，再加上一些附帶的運(yùn)算來計(jì)算一個2N點(diǎn)的序列的DFT（FFT的核心）。28設(shè) 和 都是點(diǎn)數(shù)為N的有限長序列。 若： 則有：四、圓周卷積和29 證明：30 上面的證明過程中，對證明結(jié)果引申了一步 ，主要

6、目的是為了看清這個結(jié)果的物理含義： 相當(dāng)于周期序列 和 作周期卷積和后再取主值序列。 這種特殊的卷積和稱為圓周卷積和31同理不難證明：3233利用時域與頻域的對偶性，可以證明： 若： ， 皆為N點(diǎn)有限長序列，并且y(n)為其相乘序列： 則有： 34時域離散信號的圓周卷積和在頻域上相當(dāng)于兩序列的DFT的相乘，因而可以采用DFT的快速算法（FFT）來實(shí)現(xiàn)。與序列的線性卷積和相比，計(jì)算速度可以大大加快。但是，一般實(shí)際問題（例如信號通過線性移不變系統(tǒng)）都是線性卷積運(yùn)算，并且作卷積和的兩個序列一般情況下長度不等。如果輸入信號以及系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)都是有限長序列，那么是否能用圓周卷積運(yùn)算來代替線性卷積運(yùn)算

7、呢？下面來加以討論。 35 設(shè) 是 點(diǎn)的有限長序列（0 ）, 是 點(diǎn)的有限長序列（0 ）。 我們先看 與 的線性卷積： 的非零區(qū)間為0m ， 的非零區(qū)間為0nm ，將兩個不等式相加，得到其卷積和 的非零區(qū)間: 0n ，所以 是 點(diǎn)有限長序列。 36 其次，我們來看 與 L點(diǎn)的圓周卷積和，因此需要將 和 都補(bǔ)零成為L點(diǎn)的序列，故令： 則L點(diǎn)圓周卷積和為：L點(diǎn)圓周卷積是圓周卷積以L為周期的周期延拓序列的主值序列。圓周卷積無失真代表圓周卷積的條件是延拓周期L必須滿足： 373839線性相關(guān)定義為：相關(guān)與卷積和類似缺少 “翻褶”過程；與卷積和不同的是相關(guān)不滿足交換律。自相關(guān)函數(shù)：五、圓周相關(guān)40相關(guān)函數(shù)的頻譜41上述推導(dǎo)說明：互相關(guān)函數(shù)的頻譜只包含兩個信號共有頻率成分。自相關(guān)函數(shù)的傅里葉變換是信號的功率譜，是信號譜分析建模的基礎(chǔ)。與圓周卷積和類似，由于DFT隱含的周期性，存在圓周相關(guān)的概念，它不同于線性相關(guān)。42借助線性相關(guān)性質(zhì)假設(shè)：可以證明：由此，引出圓周相關(guān)的定義為：4344實(shí)