舊版課程相關(guān)供參考微積分iii課件沒啥用

1、1第二型曲面積分定義定義5.5.1 設(shè) S 是一張逐片光滑的有向曲面, vr( x, y, z) X ( x, y, z)i Y ( x, y, z) rj Z ( x, y, z)k是定義在 S 上的連續(xù)向量場.vrrinin( x, y, z) 是 S 的 法向量場.f ( x, y, z) : v n是在曲面 S 上有定義的函數(shù) .如果 f 在 S 上的曲面積分 S f dS 存在，則稱這個(gè)積分為 向量場 vr 在有向曲面 S 上的積分.也稱為第二型曲面積分.記 f ( x, y, z) ) .根據(jù)函數(shù)的曲面積分的定義，上述極限恰好是函數(shù)f ( x, y, z) 在 S 上的積分.于是流

2、體自A 側(cè)穿過曲面 S 流向 B 側(cè)的總量等于S f ( x, y, z)dS S v ( x, y, z) n( x, y, z)dS .vrnriiBPiAlim Si .ivr nriinr 表示 S 在點(diǎn) P 指向 B 側(cè)的法向量.ii時(shí)間中穿過 Si 流向 B 側(cè)的流量近似地等于Qi vi ni Si .穿過曲面 S 流向 B 側(cè)的總量近似地等于Q v n S .viniiiiiiiB P當(dāng)曲面S 的分割越來越細(xì)時(shí),i即各小片曲面的最大直徑趨向于零時(shí)， A如果這個(gè)近似值存在極限lim vi ni Si .i該極限就是穿過曲面 S 流向 B 側(cè)的流量.一.引例設(shè)在空間某區(qū)域中充滿質(zhì)量均

3、勻的流體.在每一點(diǎn) M ( x, y, z) .在區(qū)域 中有一張曲面S .vinr求時(shí)間中流體從 S 的 A側(cè)BiPi穿過 S 流向 B 側(cè)的流量.A問題分析：將曲面 S 分成若干小片曲面 S1, S2 ,L, Sn .又在每一個(gè) Si 上任取一點(diǎn) Pi , 記 vr vr(P ) .ii5.5.1向量場在曲面上的積分概念5.5第二型曲面積分向量場在曲面上的積分概念向量場的曲面積分的計(jì)算向量場的曲面積分的兩種形式25.5.3 向量場曲面積分的坐標(biāo)形式 D v (zx ,zy ,1)dxdy .vr xzi yzj z2k , ( xz, yz, z2 ) (zx ,zy ,1)dxdy .Dz

4、 R2 x2 y2 .z x, z y.xyR2 x2 y2R2 x2 y2 ( xz, yz, z2 ) (zx ,zy ,1)dxdy .Dy ( x2 y 2 z2 )dxdy DD R2dxdy 1 R4 . ROxD2例1 計(jì)算 S vr nrdS .z其中vr xzi yzj z2k ,S : z R2 x2 y 2 ( x 0) ,上側(cè).解 r(zx ,zy ,1)On .1 (zx )2 (zy )2xydS 1 (zx )2 (zy )2 dxdy . nrdS (zx ,zy ,1)dxdy .yS v ndS S v (zx ,zy ,1)dxdy .D v (z ,z

5、,1)dxdy ROxDxy.第二型曲面積分公式vr( x, y, z) X ( x, y, z)ir Y ( x, y, z) rj Z ( x, y, z) rk有向曲面 S .法向量 nr .函數(shù) f vr nr 在 S 上的第一型曲面積分S v ndS .稱為向量場vr 在有向曲面S 上的曲面積分.計(jì)算第二型曲面積分可以直接計(jì)算第一型曲面積分.第一型曲面積分公式1. S : z z( x, y) ,( x, y) D . f ( x, y, z)dS f ( x, y, z( x, y) 1 zx2 zy2 dxdySD2. S : x x(u, v), y y(u, v), z z(

6、u, v) ,(u, v) D .S f ( x, y, z)dS f ( x(u, v), y(u, v), z(u, v) A2 B2 C 2 dudvD5.5.2 向量場的曲面積分的計(jì)算3例3 計(jì)算積分 I S x( y z)dy dz ( x y)dx dy .其中S : x2 y2 1 , 0 z 2 外側(cè)解 將積分改寫成 S v ndS .其中 vr x( y z)i ( x y)k , nr xi yj .n vr nrdS x2 ( y z)dSSS曲面的參數(shù)方程:x cos , y sin , z z (0 2 ,0 z 2) .dS d dz . x2 ( y z)dS c

7、os2 (sin z)ddz 2 .S0 20 z2nr dS 1 ( x, y, z)dxdy .zznvr xzi yzj z2k ，vr nrdS ( x2 y 2 z2 ) .y xzdydz yzdzdx z2dxdy .xS vr nr dS ( x2 y 2 z2 )dxdy Sx2 y 2 R2 R2dxdy R4 .x2 y 2 R2S : z R2 x2 y 2 ( x2 y2 R2 ) .例2計(jì)算曲面積分z xzdydz yzdzdx z2dxdy .nSS : z R2 x2 y 2 上側(cè).解 令 vr xzi yzj z2k 則y xzdydz yzdzdx z2dx

8、dyxS S v n dS .n dS (zx ,zy ,1) f 2f 2 f 2f 2 1 ( x ) ( y ) dxdy1 ( x ) ( y ) (z ,z ,1)dxdy 1 ( x, y, z)dxdy .xxz注釋dx dy cos dS|dx dy | 是 dS 在 xOy 平面上的投影的面積 .是 xOy 平面上的面積元素 可以記作d xy . dx dy 的符號與cos 一致.當(dāng) 為銳角時(shí) , dx dy d xy ;當(dāng) 為鈍角時(shí) , dx dy d xy .同樣 當(dāng) 為銳角時(shí), dz dx d zx ;當(dāng) 為鈍角時(shí), dz dx d zx .當(dāng) 為銳角時(shí), dy dz

9、d yz ;當(dāng) 為鈍角時(shí) , dy dz d yz .于是S v n dS S X ( x, y, z)dS cos Y ( x, y, z)dS cos Z ( x, y, z)dS cos .引入記號 dy dz cos dS , dz dx cos dS ,dx dy cos dS .就得到向量場曲面積分的坐標(biāo)形式：S v n dS S X ( x, y, z)dy dz Y ( x, y, z)dz dx Z ( x, y, z)dx dy S X ( x, y, z)dydz Y ( x, y, z)dzdx Z ( x, y, z)dxdy第二型曲面積分經(jīng)常以下面的坐標(biāo)形式出現(xiàn):S

10、 X ( x, y, z)dydz Y ( x, y, z)dzdx Z ( x, y, z)dxdy .S X ( x, y, z)dy dz Y ( x, y, z)dz dx Z ( x, y, z)dx dy .這個(gè)積分與S vr nr dS關(guān)系？假設(shè)vr( x, y, z) X ( x, y, z)i Y ( x, y, z) j Z ( x, y, z)k .用 , , 表示 nr 與三個(gè)坐標(biāo)軸正向的夾角.則有) .4例6 計(jì)算曲面積分I S ( y z)dy dz (z x)dz dx ( x y)dx dy .S : y x2 z2 (0 y h) 外側(cè) .znr解 將積分寫成

11、向量形式y(tǒng)I S v ndS .其中xrvr ( y z)i (z x) j ( x y)k .y ir rj y ryyrxz kdS 1 ( )2 ( )2 dxdz .n ,xz1 ( y )2 ( y )2ry r r y rxzndS (i j k )dxdy .xzrz r z r rxir yjrzndS x i y j k k .x2 y2vr x2ir y 2 rj z2 r .knx3 y3 2yv ndS ( z )dxdy x2 y 2x33I vr nrdS x y ( x2 y 2 )dxdyS22x2 y 2 h2x y ( x2 y 2 )dxdy r2 rdr

12、d h4 .x2 y 2 h2rh2例5z計(jì)算 I ( x2 cos y 2 cos z2 cos )dS .SS : x2 y2 z2 (0 z h) 外側(cè).其中 cos , cos , cosn是 S 的外法向量 nr 的方向系數(shù).y解 令 vr x2i y 2 j z2k則有xI S v ndS .z ir z rj k其中 nr xy , dS 1 ( z )2 ( z )2 dxdy .1 ( z )2 ( z )2xxxy計(jì)算 vr nrdS .znrS42S4 : z 1 x y ,( x, y) D .nr3n4D 0 x y,0 y 1 x.ydS 3dxdy . nr 1

13、(ir rj r) .43kxn 1 r r222S v ndS ( x y z )dxdy 40 x10 y 1 x110 d 4 .令 vr x2i y 2 j z2k . 則有z x2dy dz y2dz dx z2dx dyn4S n3n2S v ndS ( )vr nrdSyS1S2S3S4在 S 上nr1x1vr nr vr (k ) z2 0 .1所以S v ndS z 2dS 0dS 0 .1S1S1同理 S v ndS S v ndS 0 .23例4 計(jì)算曲面積分：zn4 x2dy dz y 2dz dx z2dx dy .Sn3n2其中S 是區(qū)域 的邊界 外側(cè)y 由平面 x

14、 y z 1 , x y z 0 圍成.解 S S1 S2 S3 S4 .xnr1S1, S2 , 和 S3 分別是位于三個(gè)坐標(biāo)面上的三角形.S1, S2, 和 S3 的法向量分別是nr r rr rr1k , n2 i , n3 j .S4 是斜面 x y z 1 上的三角形,法向量是 nr 1 (ir rj r) .43k5rnr Ai Bj Ck .A2 B2 C 2由此可以得到：S v n dS S X ( x, y, z)dS cos Y ( x, y, z)dS cos Z ( x, y, z)dS cos . D ( XA YB CZ )dudv .例題： x2dy dz y 2dz dx z2dx dy .SS : x2 y2 z2 a2 , 外側(cè).則cos A ,A2 B2 C 2cos B , cos C,A2 B2 C 2A2 B2 C 2于是dx dy cos dS CA2 B2 C 2 dudv Cdudv ,A2 B2 C 2dy dz Adudv ,dz dx Bdudv .第二型曲面積分的另一種計(jì)算方法寫出曲面的參數(shù)方程，化為對參數(shù)的二重積分假設(shè)曲面S 的參數(shù)方程為x x(u, v), y y(u, v), z z(u, v) , (u, v) D .dS A2 B