概率論第二章答案

1、習題2-21.設A為任一隨機事件，且P(A)=p(0p1).定義隨機變量1,放生，0,A不發(fā)生.寫出隨機變量X的分布律.解PX=1=p,PX=0=1-p.或者13 5 72c4c8c16cX01P1-pp2.已知隨機變量X只能取-1,0,1,2四個值,.試確定常數c,并計算條件概率且取這四個值的相應概率依次為P X 1 | X0.由離散型隨機變量的分布律的性質知,37162c4c8cAc 1,所求概率為PX1).9注意k k n kpx=k)= Cn p q5，由題設PX 1) 1 92PX 0) 1 q2,2-.從而3PY 1)4.在三次獨立的重復試驗中19,求每次試驗成功的概率.27,、2

2、 31 PY 0) 1 (-)3 3 每次試驗成功的概率相同1927已知至少成功一次的概率為解設每次試驗成功的概率為19一.p,由題意知至少成功一次的概率是,那么一次都 TOC o 1-5 h z 8o81沒有成功的概率是.即(1p),故p=.27273.若X服從參數為的泊松分布，且PX1PX3,求參數.解由泊松分布的分布律可知J6.一袋中裝有5只球，編號為1,2,3,4,5.在袋中同時取3只球，以X表示取出的3只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律.解從1,2,3,4,5中隨機取3個，以X表示3個數中的最大值，X的可能取值是33,4,5,在5個數中取3個共有C510種取法. TOC o 1

3、-5 h z 上一人跖,“C21X=3表示取出的3個數以3為最大值，PX=3=咦=;C310士一人且曰一古C；3X=4表不取出的3個數以4為最大值,PX=4=；C310一乩C4 PX0= PX=-1=0.15; PX2= PX=-1+PX=0+PX=1=1; P-2x1= PX=- 1+PX =0=0.35.2.設隨機變量X的分布函數為F(x) = A+ Barctanx - 00 x+ 00.試求：(1)常數A與B; (2) X落在(-1, 1內的概率.解 (1)由于 F(-8) = 0, F(+8) = 1,可知3X=5表示取出的3個數以5為最大值，PX=5=4-.屋5X的分布律是X345

4、133p10105習題2-3.設X的分布律為X-101P0.150.200.65PX0, PX2, P-2X1.求分布函數F(x),并計算概率0,解(1)F(x)=0.15,0.35,1,x1,1x0,01. TOC o 1-5 h z AB(2)0iiA,B-.AB(-)12于是(2) P 12F(x)一arctanx,x2XW1F(1)F(1) TOC o 1-5 h z 1111(arctan1)(arctan(1) HYPERLINK l bookmark147 o Current Document 221111/、1()242423.設隨機變量X的分布函數為0,x0,xF(x)=,0

5、1,求PX0-1,P0.3X0.7,P0X2.解PX1F(1)0,111 ,PX 1-;在事件84P0.3X0.7=F(0.7)-F0.3-PX=0.7=0.2,P0X2=F(2)-F(0)=1.5.假設隨機變量X的絕對值不大于1;PX1X1出現的條件下，X在(-1,1)內任一子區(qū)間上取值的條件概率與該區(qū)間的長度成正比.(1)求X的分布函數F(x)PXx;(2)求X取負值的概率p.解(1)由條件可知，當x1時，F(x)0; TOC o 1-5 h z ,.1當x1時，F(1)-;8當x1時，F(1)=PX1=P(S)=1.,115所以P1X1F(1)F(1)PX11.848易見，在X的值屬于(

6、1,1)的條件下，事件1Xx的條件概率為P1Xx|1X1kx(1),1取x=1得到1=k(1+1),所以k=2因此P1ax1X12于是，對于1P1Xx1,有xPP5Xx,1P5x5X1X1,有F(x)81.2從而16F(x)（2）X取負值的概率PPX0F(0)1.選擇題設f(x)2x,度函數.(A)應選(C).(2)(A)解2PX(3)0,5x7161,PX0 x1,1x1,x1.F(0)習題2-40,(B)由概率密度函數的性質F(0)F(0)F(0)-160,c,如果c=(0,c.(C)1.),f(x)dx1可得設XN(0,1),又常數c滿足PXc11.(B)0.因為PXPXc1,從而PXc

7、則f（x）是某一隨機變量的概率密(D)c2xdxPX(C)-.c,所以1PXc1,于是cc,則c等于（(D)-1.PXc,即0.5，即（c）0.5,得c=0.因此本題應選下列函數中可以作為某一隨機變量的概率密度的是（）.1,故本題).(B).(A)f(x)cosx,x0,0,其它.(C)f(x),x2,(B)f(x)20,其它.ex,x0,(D)f(x)0,x0.解由概率密度函數的性質f(x)dx1可知本題應選(D).設隨機變量XN(,42),YN(2_,5),PPX5,則().(A)對任意的實數，P1P2.(B)對任意的實數,PP2.(C)解只對實數的個別值，有PP.(D)由正態(tài)分布函數的性

8、質可知對任意的實數對任意的實數,有,PiR.1)1(1)R.因此本題應選(A).(5)設隨機變量X的概率密度為f(x)f(x),又F(x)為分布函數,則對任意實數有().(A)(a)1/：f(x)dx(B)F(a)/：f(x)dx.(C)解F(a)F(a).(D)由分布函數的幾何意義及概率密度的性質知答案為2F(a)1.(B).(6)設隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,2、一一.,，1),Y服從正態(tài)分布N(2,2),且PX(A)解1PYd2.1,則下式中成立的是(C)g1國.).PXX服從正態(tài)分布PXxN(0,1),對給定的正數,則x等于().(01),數U滿足(A)U_.2解答案是(C).(B)

9、(C)U1-.(D)U12.設連續(xù)型隨機變量X服從參數為的指數分布，要使Pk2k1一成立,4應當怎樣選擇數k?解因為隨機變量X服從參數為的指數分布，其分布函數為F(x)x0,0,x0)成立，x1,其它，應當怎樣選擇數解由條件變形，得到1PXa,3,14xdx0.5,因此a=.0424.設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為aPXa,可知PXa0.5,于是F(x)0,2x,x0,0 x1,1,求：X的概率密度；(2)P0.3X0.7.解(1)根據分布函數與概率密度的關系1,可得2x,f(x)0,(x)x其它.f(x),1,(2)P0.35.設隨機變量X0.7F(0.7)x的概率密度為_2_2一F(0.3

10、)0.70.30.4.f(x)=2x,0,0 x1,其它，_1求PX一與P21-X2.4,1P122xdx06.求：解于是所以1P-4設連續(xù)型隨機變量1X2時，F(x)1.X,Ax,0,11511640 x1,x2,其它.21(Ax)dxAx12-x22A1,12;f(x)dx可得xxdx01xdx00,F(x)7.設隨機變量X的概率密度為2x1,f(x)12-x2x1(24(x0,對X獨立觀察3次，求至少有2次的結果大于解根據概率密度與分布函數的關系式可得x)dx2x1;x1,1,1),PaXbF(b)x2,2.x2,其它,的概率.bF(a)f(x)dx,a21PX1(x1)dx14所以，3

11、次觀察中至少有2次的結果大于1的概率為C；(5)2昌8828.設XU (0,5),求關于x的方程4x解隨機變量X的概率密度為C：(5)84Xx1752562 0有實根的概率.f(x)1, 50,00,于是X22.故方程有實根的概率為_、，2/P X 2= 1a 3)公式，得2P2X&5=(1)(0.5)0.5328,P-4X 10=(3.5)(3.5)P| X|2 = PX 2 + P X2 3=1 中()+ 中(20.9996,23)=0.6977,PX若PX3 =1 PX3 10()1 (0) =0.5 .2c PX c，得 1 PX c Px c，所以P X c 0.52PX2P2Xx2

12、、上1dx0525_29.設隨機變量XN(3,22).計算P2X5,P4XW10,P|X|2,PX3;確定c使得PXcPX0.9,問d至多為多少？,a3(1)由Pa0.9即10()0.9,也就是2d3中()0.9(1.282),2因分布函數是一個不減函數，故(d3)1282 TOC o 1-5 h z 2.解得d32(1.282)0.436.2.10.設隨機變量XN(2,),若P0X40.3,求PX0.一一X解因為XN2,所以ZN(0,1).由條件P0X40.3可知(-)(-)02X2420.3P0X4P一22于是2(一)10.3,從而(一)0.65.X202,22所以PX0P(-)1(-)0

13、.35.習題2-5.選擇題(1)設X的分布函數為F(x),則Y3X1的分布函數Gy為().L,11、小,、(A)F(二y).(B)F(3y1).33CL,、/1一、1(C)3F(y)1.(D)-F(y)-.33解由隨機變量函數的分布可得，本題應選(A).設XN01,令YX2,則Y().(A)N(2,1).(B)N(0,1).(C)N(2,1).(D)N(2,1).解由正態(tài)分布函數的性質可知本題應選(C).2.設XN(1,2),Z2X3,求Z所服從的分布及概率密度.解若隨機變量XN(,2),則X的線性函數YaXb也服從正態(tài)分布，即YaXbN(ab,(a)2).這里1,72,所以ZN(5,8).概

14、率密度為f(z)1-x5)216,x.3.已知隨機變量X的分布律為X-10137P0.370.050.20.130.25求Y=2X的分布律；(2)求丫=3+X2分布律.解(1)2一X-5-1123P0.250.130.20.050.373+X2341252P0.050.570.130.254.已知隨機變量X的概率密度為1,，1X4,fx(x)=2xln20,其它，且丫=2X,試求丫的概率密度.解先求丫的分布函數FY(y)：FY(y)=PYyP2X2y2y1PX2y=i-fx(x)dx.于是可得Y的概率密度為1,12y4,fY(y)fX(2y)(2y)=2(2y)ln20,其它.1,2y1,即f

15、Y(y)2(2y)ln20,其它.-25.設隨機變量X服從區(qū)間(-2,2)上的均勻分布，求隨機變量YX的概率密度解由題意可知隨機變量X的概率密度為fX(x)2,-,2x40,其它.因為對于0y4,FY(y)PYwyPX2wyP41=1(10.1)0.40951;所求的概率是PX3=PX=3+PX=4+PX=5=0.00856.xk-e,x0,0,x0,口“、1，一且已知PX1-,求常數k,9.解由概率密度的性質可知dx 1 得到 k=1.x1 _由已知條件 一e dx1ln 24.某產品的某一質量指標 許最大是多少？2、X N(160,),若要求 P120X0,8,問允解由 P120 WXW 200 P120 160 X 160200 16040()(14040(一)2(一)1)0.8,4040