江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學2020-2021學年高二下學期期中數(shù)學試題

1、江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)星海實驗中學2020-2021學年高二下學期期中數(shù)學試題學校：姓名：班級：考與一、單選題1.某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列下表：已知%的數(shù)學期望E?=&9,則y的值為78910PX0.10.3yA. 0.2B. 0.5C. 0.4D. 0.32.有4名同學到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動，每缸同學只去1個小區(qū)，每個小區(qū) TOC o 1-5 h z 至少安排1名同學，則不同的安排方法為（）A. 6 種B. 12 種C. 36 種D. 72 種3.某班有60名學生，一次考試后數(shù)學成績2 N （1 IO。），若P （l00AAllO ） = 0.35 ,則估計該班學生數(shù)學成績在 120分

2、以上的人數(shù)為（）A. 10B. 9C. 8D. 74.在一次獨立性檢驗中，其把握性超過 99%但不超過99.5%,則的可能值為 參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗臨界值表P( KOk)0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A? 5.424B? 6.765C? 7.897D? 11.8975.若(1 + mx)6 =a。+ aAx + a 2x2 + ? ? ? + a6x6,且？+心+?+他=63,則實數(shù)加的值A? 1 或3B? 3C? 1D? 1 或？ 36. 已知函數(shù) /(x)=則實數(shù)加的取值范圍是(e -x + rnA

3、? (一 1,乜)B. Y, l)C. (1,+s)D? (Vi).已知1V-v丁，則一一十八一的最小值是()3m-1 4-3mA? 3A2+9B?、/J + 6C? 6血+ 9D? 12.設函數(shù)Jx) = ax 3 +bx2+cx(a.b yc e 0),若不等式寸7x)-妙(人)冬2對一)C.切xwR恒成立，則上的最小值為(aA. -B6二、多選題9?下列等式正確的是()C? (77 + 2)(77 + 1)A；=A. C: = C : 10.下列選項中正確的是()A.不等式a+bA2yfabA成立D. W+C 篇B?存在實數(shù)血 使得不等式+ 1)=:則P(-l A0) = l-P ；D.

4、某人在10次射擊中，擊中目標的次數(shù)為X, XB(10,0? 8).則當x = 8時概率 最大.12.已知函數(shù)f(x)=xnx,若0V比七，則下列結論正確的是(A? VU)V2)B? a+/(A)x 2+/J2)C?若心為正實數(shù)，則-+ yA2a bc?心）-/ 匕） 一 1 時,和(兀1)+吃/(吃)23(期)三.填空題.某工廠質(zhì)檢部要對即將出廠的1000個零件進行質(zhì)檢，已知每個零件質(zhì)檢合格的概率為0.95,且每個零件質(zhì)檢是否合格是相互獨立的，設質(zhì)檢合格的零件數(shù)為X,則隨機變量X的方差DX =.Q.當xl時，求2x + 的最小值為x-1I 6.已知？eN,二項式x + 一展開式中含有，項的系數(shù)

5、不大于240，記。的取 I x J值集合為A，則由集合A中元素構成的無重復數(shù)字的三位數(shù)共有 個.四、雙空題.若函數(shù)/(x)的導函數(shù)f(x)存在導數(shù)，記f(x)的導數(shù)為fn(X).如果對Vxe(b),都有fx) A型周長為24cm,把430沿AC向八ADO疊,AB折過去后交DC于點P,設AB = xcm,DP = ycm.B求y與x之間的函數(shù)關系式：求/WW的最大而積及相應x的值.19.已知函數(shù) f(x) = nx + ax 2 - 3x(a e /?).(1)若函數(shù)/CO在點(1/ (1)處的切線方程為y = -2 9求函數(shù)/Cv)的極值:(2)若a = l,對于任意xpx2elJO,當xt

6、一恒成立，求實數(shù)加的取值范用.小220.根據(jù)公安部交管局下發(fā)的通知，自 2020年6月1日起，將在全國開展“一盔一帶安全守護行動，英中就要求騎行摩托車、電動車需要佩戴頭盔，為的就是讓大家重視交通安全？某地交警部門根據(jù)某十字路口的監(jiān)測數(shù)據(jù)，從穿越該路口的騎行者中隨機抽查了 200人，得到如圖所示的列聯(lián)表:戴頭盔小帶頭盔合計男性3090120女性107080合計40160200(1)是否有97.5%的把握認為門覺帶頭盔行為.與性別有關？盔的騎行者統(tǒng)計，得到上而的散點圖和如（2）通過一左的宣傳和相關處罰措施出臺后，交警在一段時間內(nèi)通過對某路口不帶頭下數(shù)拯:天數(shù)123456人數(shù)110604434302

7、8觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)兩個變量不具有線性相關關系，現(xiàn)考慮用函數(shù)y對兩個變局x的關系進行擬合，通過分析得 y與，有一泄的線性相關關系，并得到以下參考數(shù)據(jù)（其 X中 W A）：XXWX2誦26 r-l.-162I61-13.50.4112.250.1681911.492816173.8306請選擇合適的參考數(shù)據(jù)，求出 y關于X的回歸方程.參考公式：K2 =n(ad -be)2(a + /?)(c + d)(a + c)(b +P(4)0.0500.0250.0100.0050.001k3.8415.0246.6357.87910.828對于一組數(shù)據(jù)（日勺川），（” 2巴），（匕心），其回歸直線v =

8、aApu的斜率和截距n的最小二乘估計分別為：B=6=虧一了:r-l21.如圖是一旅游景區(qū)供游客行走的路線圖，假設從進口A開始到出口 3,每遇到一個岔路口，每位游客選擇其中一條道路行進是等可能的？現(xiàn)有甲、乙、丙、丁共 4名游 客結伴到旅游景區(qū)游玩，他們從進口A的岔路口就開始選擇道路自行游玩，并按箭頭所 指路線行JE,最后到出口B集中，設點C是英中的一個交叉路口點.求甲經(jīng)過點C的概率;設這4名游客中恰有X名游客都是經(jīng)過點 C,求隨機變屋X的概率分布和數(shù)學 期望.進口 422.已知函數(shù)fM = ex （ + mnx ）.其中也0,廣（工）為/ （兀）的導函數(shù)，設 “（X） = T-一廣，且/7 （

9、A） |恒成立.1 ） 求加的取值范圍：2） 設函數(shù)于（兀）的零點為心函數(shù)廣 （x）的極小值點為州，求證：如召?參考答案C【分析】根據(jù)分布列的概率之和為 1得兒的一個關系式，由變疑的期望值得兀，)的另一個關系式，聯(lián)立方程，求解)的值.【詳解】解：由表格可知：x + O+ 0.3+y = 17x + 8x0+9x0.3 + 10 xy = 8.9 解得y = 0.4.故選：C.【點睹】本題考查根據(jù)分布列和期望值求參數(shù)，熟記概念即可，屬于常考題型C【分析】4名同學中選2名作為一人，共3人分到三個小區(qū)即可.【詳解】由題意不同的安排方法是 二36.故選：C.【點睛】本題考查排列組合的應用，解題關鍵是確

10、立完成事件方法.B【分析】由P(100VA110) = 0.35 ,根據(jù)對稱性得出P(110VA120) = 0.35 ,由此求得該班學 生數(shù)學成績在120分以上的概率，問題得解.【詳解】因為數(shù)學成績N(110,b2),所以由 P(1(X 盡共 110) = 0.35 可得：P(110a 120) = 1x(1-0.35-0.35) = 0.15,所以估計該班學生數(shù)學成績在120分以上的人數(shù)為：0.15x60 = 9 (人)故答案為：9.【點睛】本題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎題，解題的關鍵是考試的成績的概率分布關于舀=110對稱，利用對稱寫出要用的一段分數(shù)的概率，題目得解

11、.B【分析】根據(jù)獨立性檢驗表解題【詳解】P(k2 6.635) = 0.010, P(k2 7.879) = 0.005把握性超過99%但不超過99.5%, 6.635 5/57.879，選B【點睛】本題考查獨立性檢驗表，屬于簡單題 .D【詳解】令 x = l 得：(1 + ？)= 4)+4+?+ ? +。6,而坷 + 勺+兔=63,所以有(1 + 777)6 = + 63.令 x = 0 得：1 = 4,因此有(1 + W)6 = 67() +63 = 64 = + m = 2,解得加=1,或？ = _3,故選：DA【分析】等價轉(zhuǎn)化為ex-x + m = 0無解，設g(x)=0-X+力口.利

12、用導數(shù)研究函數(shù)的值域，進而求得m的取值范圍.【詳解】已知函數(shù)f(x)=的壓義域為 R,等價于於-X + /H = 0無解， e -x + m設g(x) = H則0(尤尸?* 1,當x0時，g(x)o,g(x)單調(diào)遞增，.=g(O) = l + .又？?當x趨近于+s時，g(x)趨近于乜，?*? g(x)的取值范 | 韋| 是1 + ？9 +8),由于 ex-x + m = 0 無解，？0 2 1 + 加,*0),1 + Hl 0 | ni的取值范|用是( 1, + 0),故選：A.【點睛】本題考查函數(shù)的定義域問題，關鍵是轉(zhuǎn)化為利用導數(shù)求函數(shù)的值域解決C【分析】利用配湊得到分母的和是龍值，進而利

13、用均值立理求解.【詳解】m 0,4 3m 0 ? 3當且僅當學汁：又故3忑時取等號*故選：C.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，屬于基礎題.B【分析】求出廠(小，則不等式對一切xeR恒成立，即為(36/ - a2) x3 + (2Z? - ab)x2 + (c - ac) x-2 0對一切jgR恒成立，結合三次函數(shù)的性質(zhì) 則3a-a2 =0,然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】 因為 f(X)= ax3, +bx2 +cx,所以 fx) = 3ax 2 + 2bx+c,因為不等式 W - M (a) 2對一切jgR恒成立，所以(3a-a 2)x3 +(2J7-ab)x 2+(c-ac)x

14、-20對一切xeR恒成立，當 b = O,c = 0 時，20,成立， TOC o 1-5 h z 當b=0?H0時，XI ，或兀5，不成立， CC億 0C2當bHO時，則 一, = (2c) -8/?02 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 當 b = o,c = 0 時，=0,a 31 2 1/ n2 1當 bHO 時，b + c ,b + c 寸 +( 尹 +/、_ a3_ _ -33_ _6綜上：出的取值范圍為-;,+8?aL 6 )故選：B.【點睹】思路點睛：形如 O2+z?X4-C0)的不等式恒成立問題的分析思路：(1)先分析a =0

15、的情況：(2)再分析。工0,并結合4與0的關系求解出參數(shù)范仿I:(3)綜合(1) (2)求解出最終結果.ACD【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可判左 AD正確：根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的關系可以判定B錯誤：利用排 列數(shù)公式可證明C正確.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知 C； y c： = c： ： + c： 故AD正確:Am(-加+ 1),根據(jù)排列數(shù)與組合數(shù)的關系可知一命故B不正確:V (/? +2)(m + 1)八7 =(h +2)(w + 1)h(/7-1)人U 2 = g+2)s + i)? (+ 2 一加一 2 +1)(/? - Hl + 1),=(77 + 2)(/2 + 1)77(/2 -1)?陰

16、+ 2)( +1)2”恒成立的條件是a0. b0 ,比如取匕=一 10 = -1,可知不等式不成立，故A不正確:當“為負數(shù)時，不等式？ + 10, a,由基本不等式可吟錚2b a-x-=2，當且僅當a = b a b時取等號，故C正確;(x+2滬4 +乞+曇則？ +1=4y x當且僅當丁即二時取等號，故(2_ 1aD正確.4 + 2 畀？8, x y V x y故選：BCD.【點睛】注息一正一左二本題考查基本不等式的應用，基本不等式的條件不能忘記，如果用基本不等式求最值一泄要相等.另外存在性命題舉例可說明正確，全稱性命題需證明才能說明正確性11. BCD【分析】對于選項A：利用二項分布的期望和

17、方程公式列出關于億”的方程，解方程即可判斷；對于選項B：根據(jù)方差的計算公式可知，方差恒不變：對于選項C：利用正態(tài)分布圖象的對稱性即可判斷：對于選項D：由獨立重復實驗的概率計算公式和組合數(shù)公式，求出 x = kAk(礙b) = / )M(d上為常數(shù))，故選項B正確：對于選項C:隨機變量名服從正態(tài)分布(0,1),則圖象關于)軸對稱，若P(歹l) = p,則 P(0Al) = -p, 即 P(-lAk,即=，因為 所以15A58即k=S時，概率P(x = 8)最大，故選項D正確.故選：BCD【點睛】本題考查二項分布的期望和方差公式、正態(tài)分布的圖象的對稱性的應用和獨立重復實驗的概率計算公式：考查分析問

18、題和解決問題的能力：熟練掌握統(tǒng)汁的相關知識是求解本題的關鍵：屬于中檔題.12? AD【分析】 設g(Q = H = inx,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，可判斷 A ：設(x) = /(x)+x,則hf(x) = nx+2 不是恒大于零，可判斷 B; f(x) = xnx ，/r(x) = lnx+l不是恒小于零，可判斷C;當X1時，lnx 1,故 f (x) = lnx + l0,函數(shù) f(x) = xnx單調(diào)遞增，故(七一 x J / (吃)一 f (州)產(chǎn)人 J M+xf(x 2)-x 2f (州)_ x J (花) 0,即 xj (召)+x2f (x2)x2f (xj +x,/(x 2),由此

19、可判斷 D.得選項.【詳解】解：對于A選項，因為令g(x) = J-Al = nx,在0,+8上是增函數(shù)，所以當0 v百.V時，8也)。(石，所以號字人iX1即Xlf( Xl) O,g(x)單調(diào)遞增，xw(0,k)時,g?)vO,g(x)單調(diào)遞減.所以舛+于(州)與x2+/(x。無法比較大小.故B選項錯誤:對于C選項，令廣二Inx +1,所以x e0,弓時，廣(小OJ(x)在y+sj單調(diào)遞增，所以當ov旺5V：時,/估)/(兀 2),故上竺成立，當 Ixix2 時，/(X,) 1時,/(x)單調(diào)遞增，又因為 A正確，七/(州) ?故C選項錯誤：所以 a?/(A|) + A2-/(A)-W( X

20、l)Xr/(A) + A2-/(X2)-V(Al)-V(A2 )=西/(西)一/” 2) + 花/(花)一/(州)二(西一兀2)/(州)一/(花) 0,故。選項正 確.故選：AD.【點睛】用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應注意如下幾方面：(1)在利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確左函數(shù)的定義域：(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間寫成并集形式：中要注意分類討(3)利用導數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程 論和數(shù)形結合思想的應用.47.5【分析】由題意得到X? 3(1000,0.95)，然后即可算出答案.【詳解】由題意可知，

21、X 3(1000,0.95), DX= 1000 x0.95x(1-0.95)=47.5.故答案為：47.5【點睛】本題考查的是二項分布的知識，較簡單 .10【分析】化為積為立值的形式后，利用基本不等式可求得結果.【詳解】當尤 1 時，2x + =2(x-l) + +22J2(a-1)-+ 2 =8+2 = 10,x-1x-1Vx-l8,即x = 3時等號成立.2(x-l) =】一 I Q? ?2a-+ 一的最小值為10.A-1故答案為：10.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等” “一正”就是各項必須為正數(shù)：上泄“就是要求和的最小值，必須把構

22、成和的二項之積轉(zhuǎn)化成左值：要求積的最大值，則必須把構成積的因式的和轉(zhuǎn)化成左值：“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個左值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.18【分析】在二項展開式的通項公式中，令 X的幕指數(shù)等于2,根據(jù)題意求得，？的值，可得 A,再利用 排列組合的知識 求出結果.【詳解】解：二項式U + 一)6展開式的通項公式為：嚴 C： ? ( + l)ji,令6 2廣=2,求得廣=2,可得展開式中含有F項的系數(shù)為C： ? ( + 1)2=15( + 1)2.再根據(jù)含有工項白系數(shù)不大于240，可得15( “ +修240，求得-4-1A4-1

23、,再根據(jù) awN可得=0,1,2, 3,即 A = 0, 1,2, 3 ,則由集合A中元素構成的無重復數(shù)字的三位數(shù)共 A; .A; =3x3x2 = 18,故答案為：1&【點睹】本題主要考查二項式左理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，排列組合的應用，屬于中檔題.【分析】構造函數(shù)/(x) = sinx, (0,求導,)則.r(A)= -sinx,由正弦函數(shù)的圖象可知 f(x)0成立，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)sinA + sin B + sinCA3sin(- A + + C-),即可求得 sinA+sinB+sinC 的最大值. TOC o 1-5 h z 【詳解】 解：設 /(x) = s

24、inx, xw(0,;r),則？廠(x) = cosx,則/n(x) = -sinx, xe(OA), f (x)有如下性質(zhì)：/(曲 + + ?+ ; ?/ (兀) nn則 sin A + sin B + sin CA3sin(-A += 3xsin =-,33.?sinA+sinB+sinC的最大值為乎，故答案為：sinx? ?2【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題 351(1)證明見解析：(2) x2.8256【詳解】(1)本小題利用展開式的通項，只要說明x的系數(shù)不可能等于零即可 ？在具體證明時可采用反證法.(2)根據(jù)展開式的通項公式，讓 x的系數(shù)為整數(shù)

25、，看有哪些項即可依題意，前三項系數(shù)的絕對值是1, C; (*), C; (I)2,且 2C*-1=1 + C ； (*)2，即 n2-9n+8=0, .n=8(n= 1 舍去)，?展開式的第k+1項為V(V7)8 k(-A=)k1 “A 8-*-(-2)s X -(1)證明：若第k+1項為常數(shù)項A O 7當且僅當，二 二0,即3k=16, ?kez,?這不可能，.？展開式中沒有常數(shù)項4若第k+1項為有理項，當且僅當空豈為整數(shù)，？奐衣8? kw乙？k=048,4351即展開式中的有理項共有三項，它們是：Ti=xS T 5= x, Tv= x 2.82562 y 72(1) y = (6x/2時，

26、的而積最大，面積的最大值為(108-72j?)e F.【分析】由題意可得出AD = (12 x)cm,設PC = ocm,則DP = (x-?)cm,證明出RAAD巴 RbCBP可得出AP = acm,RuAD叩應用勾股左理得出二2 72 ,進而得到所求:(2)由此可得出 MDP的而積關于x的表達式，利用基本不等式可求出 MDP面積的最大 值，利用等號成 立的條件求出x值，由此可得出結論.【詳解】(1)如圖，？AB = xcm,由矩形ABCDABAD(周長為24cm,可知AD= (12 -x) cm ?設 PC= ccm,貝U DP= (x a) cm ,?ZAPD = ZCPB, ZADP

27、= ZCBP = 90 , AD = CB :.RtAADP = RtACB fP, :.AP = PC = acm ?在心4DP 中，由勾股能理得 AD+DP=aPa 即(12-x)2+(x-r/) 2=6/2,S X2-12X + 72 肝 m ”1272解得a = 所以DP = x-a =xx即 y Ji=72(6 VXV12)=6X+ 182 ZVIDP的面積為由基本不等式與不等式的性質(zhì)得 S S 6x=108 72 屈當且僅當x =一時，即當x = 6x/2時，XDP的而積最大，而積的最大值為 x(108-72/2)cm2.【點睛】本題考查函數(shù)最值的求法，注意根據(jù)題意求出而積函數(shù)的解

28、析式，運用基本不等式，屬于中檔題.(1)極小值為-2,極大值為-In2; (2) ( 8,-1710.4【分析】(1)求出函數(shù)/(x)的導數(shù)，根據(jù)題意得/XI) = 0,列出等式求解即可寫出/(x)的解析式，根據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性從而求極值；(2)根據(jù)題意可將不等式變形推出函數(shù)y = fM-在調(diào)遞減，令h(x)= /(%)-則題意可轉(zhuǎn)化 乓21+3亍一 X在xw ：l,10上恒成立，利用導 數(shù)求出函數(shù)y = -2x3+3x2-x在1,10上的最小值即可求得用的范圍.【詳解】(1)由題意得函數(shù)/V)的立義域為(0,+s).廣(切=，+ 2心？一 3 x由函數(shù)/(x)在點(1,/(

29、1)處的切線方程為y = -2,得廣(l) = l + 2a-3 = 0,解得 “ =1此時 fM = In x + x2-3x ,廣(x尸：，+ 2x - 3 = X一十?X令廣(x) = 0,得兀=1或X =-.2(1A當XW 0,一和X?(l,+oo)時,廣(x)0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增，與1時，/V) 一西勺Xl X2即/(Xl) X2) 因為召，“符1,10,且Xj *9所以函數(shù)y = fM-竺在1,10上單調(diào)遞減.X令(x) = / (X)- - = lnx + x 2 -3x-,x e 1,10 x x則 hXx) = - + 2x-3 + a 0 在 X61JO 恒成立，即-2

30、x3 + 3x2 - x在xwl,10上恒成立設 F(X) = -2x3+3x2-x,則 Fx) = -6x 2 + 6x-1 = Rx- +*?因為當 xel,10時,r(x)0,所以函數(shù)在l0上單調(diào)遞減，所以=F(10) = 2x10 +3x102 40 = -1710,所以 / -1710,即實數(shù)山的取值范圍為(YO,_1710 ?【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義、導數(shù)在研究函數(shù)的性質(zhì)中的應用、利用導數(shù)證明不等式，屬于較 難題.20. (1)沒有：(2) y = 10 + .X【分析】(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)，由公式直接計算K 即可結合臨界值表，得出結論；(2) 先由w = -f將y = a +

31、 -轉(zhuǎn)化為y = d + XX得回歸方程.【詳解】再由最小二乘法求出/; , a.進而可(1)由列聯(lián)表計算KS= 200 x(30 x70-10 xW=75 =46875(0 x(|J = g,P(X = 2gx(導嚕卜魯,3 foV 2 P(X=3) = C : x - x(3 J (3 J 81P(X=4) = C : x(lJxgJ = l,概率分布為:X01234P168?32248?88?181數(shù)學期望n舞+1唔+ 2x|1+3xA+4x上1.【點睛】這些知識的理解能本題主要考查互斥事件的概率，考查隨機變量的分布列和數(shù)學期望的計算，意在考查學生對力掌握水平，考查學生的應用能力22,)|七)；證明見解析【分析】推出(1)先對函數(shù) f(x) = e x( + mnx)求導，得到 f(x) = exA + + mnx/：(X)= J = + + m n x t求導，得到/ 7(x)=八一(X 0),解對應不等式，得exx求導得 gW = ex + -a + mnx x到/心)單調(diào)性，求出英最小值，再根據(jù) /?(x)|恒成立，即可得出結果；(2)先設 g(x) = f(x) = e * l + + mnx x設H(x) =