[PPT]材料力學(xué)之能量法

1、能量法Energy method 一 概述（General introduction） 能量法: 固體力學(xué)中，把一個和功、能的概念有關(guān)的理論和方法統(tǒng)稱為能量法 同靜力學(xué)方法平行的一種方法恒力功: 二 功、能（應(yīng)變能或變形能）1 功: 力作用于物體，力在其作用方向上發(fā)生位移，則該力對物體做了功變形功: 在線彈性范圍內(nèi)廣義力 廣義位移 軸向拉伸時外力做功扭轉(zhuǎn)時外力做功彎曲時外力做功統(tǒng)一表示為2 能（應(yīng)變能或變形能）能是一種可對物體做功的本領(lǐng)應(yīng)變能密度：單位體積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能若微元各邊分別為若整個體積內(nèi) 相同根據(jù)能量守恒定律。貯存在物體中的應(yīng)變能 等于外力在物體變形過程中所做的功W。 圖示在線彈性范

2、圍內(nèi)工作的一端固定、另一端自由的圓軸，在自由端截面上承受扭轉(zhuǎn)力偶矩M1。材料的切變模量G和軸的長度 l 以及直徑 d 均已知。試計算軸在加載過程中所積蓄的應(yīng)變能 。 例題 利用應(yīng)變能密度三種方法利用外力功利用內(nèi)力功三 卡氏第一定理為最后位移 的函數(shù)卡氏第一定理應(yīng)變能對于構(gòu)件上某一位移之變化率，就等于與該位移相應(yīng)的荷載。由于 改變了 ，外力功相應(yīng)改變量為圖示在線彈性范圍內(nèi)工作的一端固定、另一端自由的圓軸，在自由端截面上承受扭轉(zhuǎn)力偶矩M1。材料的切變模量G和軸的長度 l 以及直徑 d 均已知。試計算軸兩端的相對扭轉(zhuǎn)角。 例題 四 余功、余能及卡氏第二定理與外力功 之和等于矩形面積與余功相應(yīng)的能稱為

3、余能線彈性范圍內(nèi)外力功等于余功，能等于余能。試計算圖示結(jié)構(gòu)在荷載 作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為 ，橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖所示。解：由結(jié)點C的平衡方程，可得兩桿的軸力為于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為由于軸向拉伸桿內(nèi)各點應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得余能密度為 例題 卡氏第二定理表明余能為一系列荷載 的函數(shù)由于 改變了 ，外力余功相應(yīng)改變量為余能定理桿件的余能對于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移。在線彈性范圍內(nèi)卡氏第二定理線彈性范圍內(nèi)，桿件的應(yīng)變能對于桿件上某一荷載的變化率，就等于與該荷載相應(yīng)的位移。試

4、計算圖示結(jié)構(gòu)在荷載 作用下C點的豎向位移，結(jié)構(gòu)中兩桿的長度均為 ，橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖所示。解：由結(jié)點C的平衡方程，可得兩桿的軸力為于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為由于軸向拉伸桿內(nèi)各點應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得余能密度為 例題 試求簡支梁Fp處的撓度，已知梁的抗彎剛度為EI。本題也可用功能原理（實功原理）求解，但這種方法有它的局限性，即只能求解單個力作用時沿其方向的位移。 例題 外伸梁ABC的自由端作用有鉛直荷載FP，求（1）C端撓度（2） C端轉(zhuǎn)角 例題 解：（1）C端撓度支座反力分別為內(nèi)力為AB段BC段總應(yīng)變能

5、為由功能原理或卡氏第二定理可得五 能量法解超靜定1.簡單超靜定問題及其解法 未知力個數(shù)等于獨立的平衡方程數(shù)目,則僅由平衡方程即可解出全部未知力,這類問題稱為靜定問題,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu). 未知力個數(shù)多于獨立的平衡方程數(shù)目,則僅由平衡方程無法確定全部未知力,這類問題稱為超靜定問題或靜不定問題,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu). 所有超靜定結(jié)構(gòu),都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個或幾個約束,這些約束對于特定的工程要求是必要的,但對于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的,故稱為多余約束. 未知力個數(shù)與平衡方程數(shù)之差,稱為超靜定次數(shù)或靜不定次數(shù). 求解超靜定問題,需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡,變形協(xié)調(diào)和物理三個方面. 例題

6、 一鉸接結(jié)構(gòu)如圖示,在水平剛性橫梁的B端作用有載荷F垂直桿1,2的抗拉壓剛度分別為E1A1,E2A2,若橫梁AB的自重不計,求兩桿中的內(nèi)力.L112變形協(xié)調(diào)方程試計算圖示結(jié)構(gòu)在荷載 作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩斜桿的長度均為 ，橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖所示。求各桿內(nèi)力。解：由結(jié)點C的平衡方程，得兩斜桿軸力為于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為由于軸向拉伸桿內(nèi)各點應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得余能密度為 例題 試計算圖示結(jié)構(gòu)的支座反力這種以力為基本未知量，把它的求解當(dāng)作關(guān)鍵性問題的方法稱為力法 例題 平面內(nèi)，由k根桿組成的桿系，在結(jié)點A處用鉸鏈結(jié)在一起，受到水