2016年浙江省高考數(shù)學試卷(文科)(同名12541)

1、2016 年浙江省高考數(shù)學試卷（文科）一、選擇題1（5 分）（2016浙江）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2，4，則（ P）Q=（）UA1 B3，5 C1，2，4，6 D1，2，3，4，52（5 分）（2016浙江）已知互相垂直的平面 ， 交于直線 l，若直線 m，n 滿足 m，n，則（）Aml BmnCnl Dmn3（5 分）（2016浙江）函數(shù) y=sinx2 的圖象是（）ABCD4（5 分）（2016浙江）若平面區(qū)域，夾在兩條斜率為 1 的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）ABCD5（5 分）（2016浙江）已知 a，b0 且 a1

2、，b1，若 log b1，則（）aA（a1）（b1）0 B（a1）（ab）0 C（b1）（ba）0 D（b1）（ba）06（5 分）（2016浙江）已知函數(shù) f（x）=x2+bx，則“b0”是“f（f（x）的最小值與 f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件7（5 分）（2016浙江）已知函數(shù) f（x）滿足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（）A若 f（a）|b|，則 abC若 f（a）|b|，則 abB若 f（a）2b，則 abD若 f（a）2b，則 ab8（5 分）（2016浙江）如圖，點列A 、B 分別在某銳角的兩邊上，且n

3、n|A An+1|=|An+1An+2|，A A ，nN ，|*B B|=|Bn+1B|，B B ，nN*，（ Pnnn+1nn+1n+2 n n+1Q 表示點 P 與 Q 不重合）若 d =|A B |，S 為A B B 的面積，則（）nnnnn n n+1第 1 頁（共 18 頁）AS 是等差數(shù)列 BS 2是等差數(shù)列nnCd 是等差數(shù)列 Dd 2是等差數(shù)列nn二、填空題9（6 分）（2016浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是cm2，體積是cm310（6 分）（2016浙江）已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圓，則圓心坐標是

4、，半徑是11（6 分）（2016浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），則A=，b=12（6 分）（2016浙江）設(shè)函數(shù) f（x）=x3+3x2+1，已知 a0，且 f（x）f（a）=（xb）（xa） ，xR，則實數(shù) a=，b=213（4 分）（2016浙江）設(shè)雙曲線 x2 =1 的左、右焦點分別為 F 、F ，若點 P 在雙曲12線上，且F PF 為銳角三角形，則|PF |+|PF |的取值范圍是121214（4 分）（2016浙江）如圖，已知平面四邊形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，ADC=90，沿直線 AC 將ACD 翻折成ACD，直線 AC

5、與 BD所成角的余弦的最大值是15（4 分）（2016浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2，=1，若 為平面單位向量，則|+|的最大值是第 2 頁（共 18 頁）三、解答題16（14 分）（2016浙江）在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知b+c=2acosB（1）證明：A=2B；（2）若 cosB= ，求 cosC 的值17（15 分）（2016浙江）設(shè)數(shù)列a 的前 n 項和為 S ，已知 S =4，a =2S +1，nN*nn2n+1n（）求通項公式 a ；n（）求數(shù)列|a n2|的前 n 項和n18（15 分）（2016浙江）如圖，在三棱臺 ABC

6、DEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求證：BF平面 ACFD；（）求直線 BD 與平面 ACFD 所成角的余弦值19（15 分）（2016浙江）如圖，設(shè)拋物線 y2=2px（p0）的焦點為 F，拋物線上的點 A到 y 軸的距離等于|AF|1，（）求 p 的值；（）若直線 AF 交拋物線于另一點 B，過 B 與 x 軸平行的直線和過 F 與 AB 垂直的直線交于點 N，AN 與 x 軸交于點 M，求 M 的橫坐標的取值范圍20（15 分）（2016浙江）設(shè)函數(shù) f（x）=x3+，x0，1，證明：（）f（x）1x+x2（） f（x） 第

7、 3 頁（共 18 頁）2016 年浙江省高考數(shù)學試卷（文科）參考答案與試題解析一、選擇題1（5 分）（2016浙江）已知全集 U=1，2，3，4，5，6，集合 P=1，3，5，Q=1，2，4，則（ P）Q=（）UA1 B3，5 C1，2，4，6 D1，2，3，4，5【分析】先求出 P，再得出（ P）QUU【解答】解： P=2，4，6，U（ P）Q=2，4，61，2，4=1，2，4，6U故選 C【點評】本題考查了集合的運算，屬于基礎(chǔ)題2（5 分）（2016浙江）已知互相垂直的平面 ， 交于直線 l，若直線 m，n 滿足 m，n，則（）Aml BmnCnl Dmn【分析】由已知條件推導出 l，再

8、由 n，推導出 nl【解答】解：互相垂直的平面 ， 交于直線 l，直線 m，n 滿足 m，m 或 m 或 m，l，n，nl故選：C【點評】本題考查兩直線關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)3（5 分）（2016浙江）函數(shù) y=sinx2 的圖象是（）ABCD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，以及函數(shù)零點的個數(shù)進行判斷排除即可【解答】解：sin（x）2=sinx2，函數(shù) y=sinx 是偶函數(shù)，即函數(shù)的圖象關(guān)于 軸對稱，排除 ， ；2yAC由 y=sinx2=0，則 x2=k， ，k0則 x= ，k0，第 4 頁（共 18 頁）故函數(shù)有無窮多個零點，排除 B，故選：D【點評

9、】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和函數(shù)零點的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)4（5 分）（2016浙江）若平面區(qū)域，夾在兩條斜率為 1 的平行直線之間，則這兩條平行直線間的距離的最小值是（）ABCD【分析】作出平面區(qū)域，找出距離最近的平行線的位置，求出直線方程，再計算距離【解答】解：作出平面區(qū)域如圖所示：當直線 y=x+b 分別經(jīng)過 A，B 時，平行線間的距離相等聯(lián)立方程組聯(lián)立方程組，解得 A（2，1），解得 B（1，2）兩條平行線分別為 y=x1，y=x+1，即 xy1=0，xy+1=0平行線間的距離為 d=，故選：B【點評】本題考查了平面區(qū)域的作法，距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題

10、5（5 分）（2016浙江）已知 a，b0 且 a1，b1，若 log b1，則（）aA（a1）（b1）0 B（a1）（ab）0 C（b1）（ba）0 D（b1）（ba）0【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合 a1 或 0a1 進行判斷即可第 5 頁（共 18 頁）【解答】解：若 a1，則由 log b1 得 log blog a，即 ba1，此時 ba0，b1，aaa即（b1）（ba）0，若 0a1，則由 log b1 得 log blog a，即 ba1，此時 ba0，b1，即（b1）aaa（ba）0，綜上（b1）（ba）0，故選：D【點評】本題主要考查不等式的應(yīng)用，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，利用分

11、類討論的數(shù)學思想是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ)6（5 分）（2016浙江）已知函數(shù) f（x）=x2+bx，則“b0”是“f（f（x）的最小值與 f（x）的最小值相等”的（）A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件【分析】求出 f（x）的最小值及極小值點，分別把“b0”和“f（f（x）的最小值與 f（x）的最小值相等”當做條件，看能否推出另一結(jié)論即可判斷【解答】解：f（x）的對稱軸為 x= ，fmin（x）=（1）若 b0，則 ，當 f（x）= 時，f（f（x）取得最小值 f（ ）=，即 f（f（x）的最小值與 f（x）的最小值相等“b0”是“f（f（x）的最小值與 f

12、（x）的最小值相等”的充分條件（2）若 f（f（x）的最小值與 f（x）的最小值相等，則 fmin（x） ，即 ，解得 b0 或 b2“b0”不是“f（f（x）的最小值與 f（x）的最小值相等”的必要條件故選 A【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，簡易邏輯關(guān)系的推導，屬于基礎(chǔ)題7（5 分）（2016浙江）已知函數(shù) f（x）滿足：f（x）|x|且 f（x）2x，xR（）A若 f（a）|b|，則 abC若 f（a）|b|，則 abB若 f（a）2b，則 abD若 f（a）2b，則 ab【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，分別進行遞推判斷即可【解答】解：A若 f（a）|b|，則由條件 f（x）|x|得 f（a）

13、|a|，即|a|b|，則 ab 不一定成立，故 A 錯誤，B若 f（a）2b，則由條件知 f（x）2 ，x即 f（a）2 ，則 （ ） ，a2afa2b則 ab，故 B 正確，C若 f（a）|b|，則由條件 f（x）|x|得 f（a）|a|，則|a|b|不一定成立，故 C錯誤，D若 f（a）2b，則由條件 f（x）2x，得 f（a）2a，則 2a2b，不一定成立，即 ab 不一定成立，故 D 錯誤，故選：B第 6 頁（共 18 頁）【點評】本題主要考查不等式的判斷和證明，根據(jù)條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強，有一定的難度8（5 分）（2016浙江）如圖，點列A 、B 分別在某銳

14、角的兩邊上，且nn|A An+1|=|An+1An+2|，A A ，nN ，|*B B|=|Bn+1B|，B B ，nN*，（ Pnnn+1nn+1n+2 n n+1Q 表示點 P 與 Q 不重合）若 d =|A B |，S 為A B B 的面積，則（）nnnnn n n+1AS 是等差數(shù)列 BS 2是等差數(shù)列nnCd 是等差數(shù)列 Dd 2是等差數(shù)列nn【分析】設(shè)銳角的頂點為 O，再設(shè)|OA |=a，|OB |=c，|A An+1|=|An+1An+2|=b，11n|B Bn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由于 a，c 不確定，判斷 C，D 不正確，設(shè)A B B 的底邊nn n n+1B B

15、 上的高為 h ，運用三角形相似知識，h +hn+2=2hn+1，由 Sn= dh ，可得nn+1nnnSn+Sn+2=2Sn+1，進而得到數(shù)列S 為等差數(shù)列n【解答】解：設(shè)銳角的頂點為 O，|OA |=a，|OB |=c，11|A An+1|=|An+1An+2|=b，|B Bn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，nn由于 a，c 不確定，則d 不一定是等差數(shù)列，nd 不一定是等差數(shù)列，2n設(shè)A B B 的底邊 B B 上的高為 h ，nnn+1nn+1n由三角形的相似可得=，=，兩式相加可得，=2，即有 h +hn+2=2hn+1，n由 Sn= dh ，可得 S +Sn+2=2Sn+1，nn

16、即為 Sn+2Sn+1=Sn+1S ，n則數(shù)列S 為等差數(shù)列n故選：A第 7 頁（共 18 頁）【點評】本題考查等差數(shù)列的判斷，注意運用三角形的相似和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查化簡整理的推理能力，屬于中檔題二、填空題9（6 分）（2016浙江）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的表面積是80cm2，體積是40cm3【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得出該幾何體下部為長方體，上部為正方體的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)求出它的表面積和體積即可【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是下部為長方體，其長和寬都為 4，高為 2，表面積為 244+242=64cm2，體積為 42=32cm3；2上部為正

17、方體，其棱長為 2，表面積是 622=24 cm2，體積為 23=8cm3；所以幾何體的表面積為 64+24222=80cm2體積為 32+8=40cm ，3故答案為：80；40【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積與體積的應(yīng)用問題，也考查了空間想象和計算能力，是基礎(chǔ)題10（6 分）（2016浙江）已知 aR，方程 a2x2+（a+2）y2+4x+8y+5a=0 表示圓，則圓心坐標是（2，4），半徑是5【分析】由已知可得 a2=a+2 ，解得 a=1 或 a=2，把 a=1 代入原方程，配方求得圓心坐2 E24F0標和半徑，把 a=2 代入原方程，由 D +0 說明方程不表示圓，則答案可求

18、【解答】解：方程 a2x2+（ + ） +a 2 y2 4x 8y 5a=0+表示圓，a + ，解得 a=1 或 a=22=a 20當 a=1 時，方程化為 x + +2 y2 4x 8y5=0+ ，配方得（x+2） +（ + ）2=25，所得圓的圓心坐標為（2y 4，2 4），半徑為 5；當 a=2 時，方程化為，第 8 頁（共 18 頁）此時，方程不表示圓，故答案為：（2，4），5【點評】本題考查圓的一般方程，考查圓的一般方程化標準方程，是基礎(chǔ)題11（6 分）（2016浙江）已知 2cos2x+sin2x=Asin（x+）+b（A0），則 A= ，b=1【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式、兩角和

19、的正弦函數(shù)化簡左邊，即可得到答案【解答】解：2cos +2x sin2x=1 cos2x sin2x+=1+（cos2x+sin2x）+1=sin（2x+）+1，A= ，b=1，故答案為： ；1【點評】本題考查了二倍角的余弦公式、兩角和的正弦函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵12（6 分）（2016浙江）設(shè)函數(shù) f（x）=x3+3x2+1，已知 a0，且 f（x）f（a）=（xb）（xa） ，xR，則實數(shù)2a= 2 1，b= 【分析】根據(jù)函數(shù)解析式化簡 f（x）f（a），再化簡（xb）（xa） ，根據(jù)等式兩邊對應(yīng)2項的系數(shù)相等列出方程組，求出 a、b 的值【解答】解：f（x）=x + + ，

20、3 3x2 1f（x）f（a）=x +3 3x2 1 a3 3a2 1（ + + ）+=x3+3x2（a3+3a2）（xb）（xa） （xb）（2=x22ax a2 =x3 2a b x2+ ）（ + ） +（ + ）xa2ba2 2ab，且 f（x）f（a）=（xb）（xa） ，2，解得或（舍去），故答案為：2；1【點評】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查化簡能力和方程思想，屬于中檔題13（4 分）（2016浙江）設(shè)雙曲線 x2 =1 的左、右焦點分別為 F 、F ，若點 P 在雙曲12線上，且F PF 為銳角三角形，則|PF |+|PF |的取值范圍是1212【分析】由題意畫出圖形，以 P 在

21、雙曲線右支為例，求出PF F 和F PF 為直角時2112|PF |+|PF |的值，可得F PF 為銳角三角形時|PF |+|PF |的取值范圍121212【解答】解：如圖，由雙曲線 x2 =1，得 a2=1，b2=3，第 9 頁（共 18 頁）不妨以 P 在雙曲線右支為例，當 PF x 軸時，2把 x=2 代入 x2 =1，得 y= ，即|PF |=3，2此時|PF |=|PF |+2=5，則|PF |+|PF |=8；31212由 PF PF ，得，12又|PF |PF |=2，12兩邊平方得：，|PF |PF |=6，12聯(lián)立解得：，此時|PF |+|PF |=12使F PF 為銳角三

22、角形的|PF |+|PF |的取值范圍是（）1212故答案為：（）【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題14（4 分）（2016浙江）如圖，已知平面四邊形 ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD= ，ADC=90，沿直線 AC 將ACD 翻折成ACD，直線 AC 與 BD所成角的余弦的最大值是【分析】如圖所示，取 AC 的中點 O，AB=BC=3，可得 BOAC，在 RtACD中，AC=作 DEAC，垂足為 E，DE=CO=，CE=，EO=COCE=過點 B 作 BFAC，作 FEBO 交 BF 于點 F，則 EFAC連接 DFFBD為直線第

23、10 頁（共 18 頁）AC 與 BD所成的角則四邊形 BOEF 為矩形，BF=EO=EF=BO=則FED為二面角 DCAB 的平面角，設(shè)為 利用余弦定理求出 DF 的最小值即可得出2【解答】解：如圖所示，取 AC 的中點 O，AB=BC=3，BOAC，在 RtACD中，=作 DEAC，垂足為 E，DE=CO=，CE=，EO=COCE=過點 B 作 BFAC，作 FEBO 交 BF 于點 F，則 EFAC連接 DFFBD為直線 AC與 BD所成的角則四邊形 BOEF 為矩形，BF=EO=EF=BO=則FED為二面角 DCAB 的平面角，設(shè)為 =則 DF2=+2cos=5cos，cos=1 時取

24、等號DB 的最小值=2直線 AC 與 BD所成角的余弦的最大值=故答案為：【點評】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬于難題15（4 分）（2016浙江）已知平面向量 ， ，| |=1，| |=2，向量，則| |+| |的最大值是 =1，若 為平面單位第 11 頁（共 18 頁）【分析】由題意可知，|+|為 在 上的投影的絕對值與 在 上投影的絕對值|+| |取得最大值，即的和，由此可知，當 與共線時，|【解答】解：|+|=，其幾何意義為 在 上的投影的絕對值與 在 上投影的絕對值的和，當 與共線時，取得最大值=故答案為：【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運

25、算，考查向量在向量方向上的投影的概念，考查學生正確理解問題的能力，是中檔題三、解答題16（14 分）（2016浙江）在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 所對的邊分別為 a，b，c，已知b+c=2acosB（1）證明：A=2B；（2）若 cosB= ，求 cosC 的值【分析】（1）由 b+c=2acosB，利用正弦定理可得：sinB+sinC=2sinAcosB，而 sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，代入化簡可得：sinB=sin（AB），由 A，B（0，），可得0AB，即可證明（II）cosB= ，可得 sinB=cosA=cos2B=2cos2B1，sinA=利用

26、 cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB 即可得出【解答】（1）證明：b+c=2acosB，sinB+sinC=2sinAcosB，sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，sinB=sinAcosBcosAsinB=sin（AB），由 A，B（0，），0AB，B=AB，或 B=（AB），化為 A=2B，或 A=（舍去）A=2B（II）解：cosB= ，sinB=cosA=cos2B=2cos2B1=，sinA=cosC=cos（A+B）=cosAcosB+sinAsinB=+=【點評】本題考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式

27、、誘導公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題第 12 頁（共 18 頁）17（15 分）（2016浙江）設(shè)數(shù)列a 的前 n 項和為 S ，已知 S =4，a =2S +1，nN*nn2n+1n（）求通項公式 a ；n（）求數(shù)列|a n2|的前 n 項和n【分析】（）根據(jù)條件建立方程組關(guān)系，求出首項，利用數(shù)列的遞推關(guān)系證明數(shù)列a 是n公比 q=3 的等比數(shù)列，即可求通項公式 a ；n（）討論 n 的取值，利用分組法將數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和等差數(shù)列即可求數(shù)列|a n2|的前 n 項和n【解答】解：（）S =4，a =2S +1，nN *2n+1na +a =4，a =2S +1=2a +1，12

28、211解得 a =1，a =3，12當 n2 時，an+1=2S +1，a =2Sn1+1，nn兩式相減得 an+1a =2（S S ）=2a ，nnn1n即 an+1=3a ，當 n=1 時，a =1，a =3，n12滿足 an+1=3a ，n=3，則數(shù)列a 是公比 q=3 的等比數(shù)列，n則通項公式 a =3n1n（）a n2=3n1n2，n設(shè) b =|a n2|=|3n1n2|，nn則 b =|3012 =2 b = 322 =1| ， | | ，21當 n3 時，3n1n2 ，則 b =|a n2|=3n1n2，0nn此時數(shù)列|a n2|的前 n 項和 T =3+=nn，則 Tn=【點評

29、】本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)列求和的計算，根據(jù)條件建立方程組以及利用方程組法證明列a 是等比數(shù)列是解決本題的關(guān)鍵求出過程中使用了轉(zhuǎn)化法和分組法n進行數(shù)列求和18（15 分）（2016浙江）如圖，在三棱臺 ABCDEF 中，平面 BCFE平面 ABC，ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3（）求證：BF平面 ACFD；（）求直線 BD 與平面 ACFD 所成角的余弦值第 13 頁（共 18 頁）【分析】（）根據(jù)三棱臺的定義，可知分別延長 AD，BE，CF，會交于一點，并設(shè)該點為 K，并且可以由平面 BCFE平面 ABC 及ACB=90可以得出 AC平面 BCK，進而得出 B

30、FAC而根據(jù)條件可以判斷出點 E，F(xiàn) 分別為邊 BK，CK 的中點，從而得出BCK為等邊三角形，進而得出 BFCK，從而根據(jù)線面垂直的判定定理即可得出 BF平面ACFD；（）由 BF平面 ACFD 便可得出BDF 為直線 BD 和平面 ACFD 所成的角，根據(jù)條件可以求出 BF= ，DF= ，從而在 RtBDF 中可以求出 BD 的值，從而得出 cosBDF 的值，即得出直線 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值【解答】解：（）證明：延長 AD，BE，CF 相交于一點 K，如圖所示：平面 BCFE平面 ABC，且 ACBC；AC平面 BCK，BF平面 BCK；BFAC；又 EFBC，BE=E

31、F=FC=1，BC=2；BCK 為等邊三角形，且 F 為 CK 的中點；BFCK，且 ACCK=C；BF平面 ACFD；（）BF平面 ACFD；BDF 是直線 BD 和平面 ACFD 所成的角；F 為 CK 中點，且 DFAC；DF 為ACK 的中位線，且 AC=3；又；在 RtBFD 中，cos；即直線 BD 和平面 ACFD 所成角的余弦值為第 14 頁（共 18 頁）【點評】考查三角形中位線的性質(zhì)，等邊三角形的中線也是高線，面面垂直的性質(zhì)定理，以及線面垂直的判定定理，線面角的定義及求法，直角三角形邊的關(guān)系，三角函數(shù)的定義19（15 分）（2016浙江）如圖，設(shè)拋物線 y2=2px（p0）的焦點為 F，拋物線上的點 A到 y 軸的距離等于|AF|1，（）求 p 的值；（）若直線 AF 交拋物線于另一點 B，過 B 與 x 軸平行的直線和過 F 與