2020學年高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何本章復習同步精品學案新人教A版選修2-1

1、A. B. C.6 3D.5 1B.D.2， 2，15 18本章復習1在以下命題中，不正確的個數(shù)為 ( )|a| | b| | ab| 是 a， b共線的充要條件；若 ab，則存在惟一的實數(shù) ，使 a b；若 a b 0， b c 0，則 a c； 若 a， b， c 為空間的一個基底，則 |( a b) c | | a| | b| | c|. ab， b c， ca構(gòu)成空間的另一基底；A 2 B 3 C 4 D 5答案 C解析 不正確，由 | a| | b| | ab| 知 有| a| | b| | ab| ；不正確，應加上條件a 與 b 反向， a 與 b 共線，但 a 與 b共線不一定b

2、0；不正確，當 b0 時， a 與 c 不一定相等；正確；不正確，應為2已知向量 a， b，且點是 ( )A A， B， DC B， C， Du a b) c| | | b| | c|. uuAB a 2b， BC 5a 6b， CD 7a 2b，則一定共線的三B A， B， CD A， C， D答案解析Auu uuru uu uu uu uuurBD BC CD 2a 4b 2(a 2b) 2 AB ，所以 AB、 BD 共線，所以 A、 B、D共線，故選 A.3已知 a 與 b 是非零向量且滿足 ( a 2b) a， 答案 B解析 由已知 ( a 2b) a 0， ( b 2a) b 0

3、a2 2ab b2cos a， b ( b 2a ) b，則 a 與 b 的夾角是 ( )2 5 3 6 a， b ，選 B4若 a e1e2 e3， b e1 e2 e3， c e1 e2， d e1 2e2 3e3( e1， e2， e3為空間的一個基底 ) ，且 d xaybzc，則A. 2， 2， 15 1C 1x， y， z 分別為 ( )5 12， 2，5 12， 2， 1答案 A解析 d xa ybzc ( x yz) e1 ( x y z) e2( x y) e3 e1 2e2 3e3 ，空間任一xy z 1，向量都可以用一個空間基底惟一表示，從而得到 x y z 2， 解得

4、x 2， y 2，x y 3. 1.5若向量 a(1， x, 2)， b (2 ， 1,2) ，且 a， b 夾角的余弦值為 9，則 x 等于 (z)1 155 5555.2A 2 B 22 2C 2 或 D 2 或答案 C解析 cos a， b ，解得 x 2 或 x6 已知 a (2， 1,2) ， b (2,2,1) ， 則以 a， b 為鄰邊的平行四邊形的面積為 _答案 65解析 因為 | a| | b| ，所以平行四邊形為菱形，又 ab (4,1,3) ， a b (0 ， 3,1) ，| ab| 26， | a b| 10，S2| a b| a b| 2 26 10 65.7如圖所

5、示，已知正四面體弦值為 _1 1ABCD中， AE AB， CF CD，則直線 DE和 BF 所成角的余4 4答案解析 ,4,13因四面體 ABCD是正四面體，頂點 A 在底面 BCD內(nèi)的射影為 BCD的垂心，所以有uuru uu uu uuBCDA， ABCD.設(shè)正四面體的棱長為 4，uuru uuur uuru uu則 F E=（ BC +CF ） （ DA + AE ）= 0 + BC AE +CF DA +0= 4 1 cos120 + 1 4 cos120 = 4,2 2BFDE 4 1 241cos60 13，uu uu所以異面直線 DE與 BF的夾角 的余弦值為：cos BF D

6、Euu uuBF DE413 .8如圖，四棱錐 PABCD中，底面四邊形 ABCD是正方形，側(cè)面 PDC是邊長為 a 的正三角形，且平面 PDC平面 ABCD， E 為 PC的中點(1) 求異面直線 PA與 DE所成的角的余弦值(2) 求點 D到平面 PAB的距離解 如圖取 DC的中點 O，連結(jié) PO，PDC為正三角形， PODC又面 PDC面 ABCD(2) 由(1) 知 PA ( a， ， a)，4 2 423，3DA n | 3a| 217 72172 .aaPO面 ABCD以 O為坐標原點 OC、 OP所在直線為 y 軸， z 軸建立如圖所示直角坐標系，則 P(0,0 ， 3 a)，

7、A(a， a ,0) ， B(a， a ,0) ， C(0， a ,0) ，2 2 2 2D(0， ,0) 2(1) E 為 PC的中點， E(0， a， 3a )4 4E(0， a， 43a)， ( a， a2， 23a)，u 3 a 3PA E a( ) a(uu u| | 2a， | E| 23a，cos ， uA | PA |?|DE |a)6,43 24異面直線 PA與 DE所成角的余弦值為uu a 3uu 2 2 (0， a, 0)，DA (0， a, 0)，64 .uu uu設(shè)平面 PAB的一個法向量為 n ( x， y， z) ，則n PA， n AB (0， a, 0)，uu

8、 xa a2y 23az 0n PA uun AB ya 0 由得 y 0，代入得xa 2 az 0令 x 3，則 z 2， n (u則 D 到平面 PAB的距離 d 等于d n a，即點 D到平面 PAB的距離等于9 在底面是直角梯形的四棱錐3，u0u2ur,) DA 在 n 上射影的絕對值 .a.SABCD中， ABC90， SA面 ABCD，SAABBC 1，1AD 求面 SCD與面 SBA所成的二面角的正切值SB( 1,0236 33 3解 建立如圖所示的空間直角坐標系 Axyz，則 A(0,0,0) ， B( 1,0,0)1C( 1,1,0) ， D(0， ,0) ， S(0,0,1

9、) ，2uuuurSA (0,0 ， 1)， ， 1)，SC ( 1,1 ， 1)，設(shè)平面 SAB的法向量為SD(0， n1 ( x 1，12， 1)y 1， z 1)平面 SCD的法向量為 n2 (x2， y2， z2)uur 平面 SAB與平面 SCD所成的角為 由 n1 SA 0 與 n1 SB0uu可得 n1 (0,1,0)由 n2 SC 0 與 n2 D0可得 n2 (1,2,1)cos n1， n2 2n2| 12 6 36cos ， sin tan 22即面 SCD平面 SAB所成的二面角的正切值為22 .知識點一 證明平行、垂直關(guān)系已知正方體 ABCA1B1C1D1 中， E、

10、 F 分別在 DB、 D1C 上，且 DED1F a，其中 a 為正方體棱長求證： EF平面 BB1C1C.證明如圖所示，建立空間直角坐標系 D xyz ，則E , ,0 ， F 0, , ，a 2ax 1y 12z1 02 2a a a 2a3 3 3 33uuur a故 EF ，0，2a3 ，uuuu uu又 AB (0， a, 0) 顯然為平面而 AB EF (0 ， a,0) uuur uu AE EF .BB1C1C的一個法向量， ， 0， 0， 3 3又 E?平面 BB1 C1 C，因此 EF平面 BB1C1C.正方體 ABCD-A1B1C1D1 中， E、 F 分別是 BB1、

11、CD的中點，求證：平面 AED平面 A1FD1 .證明 如圖，建立空間直角坐標系 D xyz.設(shè)正方體棱長為 1，則 E(1,1 ， 1 )、 D1(0,0,1) 、21F(0， ,0) 、 A(1,0,0) 2uuur uuur 1 DA (1,0,0) D1A1， DE (1,1 ， )，2uuuur 1 1D 1F 0， ， 1 ， A1D1 (0， ， 1)uuur設(shè) m( x1， y1， z1 )， n ( x2， y2， z2) 分別是平面 AED和 A1 FD1 的一個法向量，uuurm A 0, x 1 0由 m E 0, ? 1 .uuuur令 y1 1，得 m(0,1 ，

12、2)又由 uuuurn D1 A1 0,n D1 F 0,令 z2 1，得 n (0,2,1) m n (0,1 ，2) (0,2,1) 0，mn，故平面 AED平面 A1 FD1 .知識點二 求空間角已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中， AA1 2，底面 ABCD是直角梯形， A 為直角，2 2 2 uuuA1D (0,8 ， 4)17 .ABCD， AB4， AD2， DC 1，求異面直線 BC1 與 DC所成角的余弦值解 以 D 為坐標原點，以的空間直角坐標系則 A(2,0,0) ， B(2,4,0) ，DA、 DC、 DD1所在直線分別作為 x 軸， y 軸， z 軸建立如圖所

13、示C(0,1,0) ， C1(0,1,2)uuur DC (0,1,0) ， 2 3 2 17uuurcos DC 3 3 17uu， BC 1 =1717 .uur uuuuur uuDC BC1DC BC1異面直線 DC與 BC1 所成的角為銳角，3 17異面直線 DC與 BC1 所成的角的余弦值為如圖所示，在長方體 ABCDA1B1C1D1 中， AB=5， AD=8， AA1=4， M為 B1C1 上一點且 B1M=2，點N 在線段 A1D 上， A1uAN. uuu（ 1）求 cos A1D , AM ;(2) 求直線(3) 求平面 解AD與平面 ANM所成角 的正弦值；ANM與平面

14、 ABCD所成角的余弦值(1)空間直角坐標系 ( 如圖所示 )uM (5,2,4) ，uuu uuuuuu uuu AM A1D AM uDcos AM ，0 16 16 0，uuuurA1D 0.uuu (2)uuA1DAM， A1 DAN， A1D 平面 AMN， (0,8 ， 4)u面 ANM的一個法向量又 AD (0,8,0) ， |A1D AD64，uuucos A1D ， DA1D | 4 5，64 2 2 54 58 5 5 .22217 .5d = uuu AD與平面 AMN所成角 A1D， AD，sin 5.uuu(3) 平面 ANM的法向量是 A1D (0,8 ， 4)平面

15、 ABCD的法向量是 a (0,0,1) ，uuu 4 5cos A1D ， a 4 5 5 .平面 ANM與平面 ABCD所成角的余弦值是知識點三 求空間距離55 .如圖，正四棱柱 ABCDA1B1C1 D1 中，底面邊長為 2 2，側(cè)棱長為 4，點 E、 F 分別為棱 AB、 BC的中點， EFBDG，求點 D1 到平面 B1EF的距離 d.解 如圖建立空間直角坐標系 D-xyz ，易得 D1(0,0,4) ， B1( 2 2，2 2 ,4) ，E( uur2， 2 ,0) ， F( 2 , uu ,0) ，故 EF ( 2， 2， 0)， EB 1 (2 2， 2 2， 0)uu設(shè) n

16、(x， y， z)是平面 B1EF的一個法向量，則uuur ? .n F 0, 2x 2y 0n B 1 0 2y 4z 0令 x 1，得 n (1,1 ， 4 )uuuuruuur則| D1B1 n| = 4 2 ,D1B1 nn點 D1 到平面 B1 EF 的距離為16 17點 D1 到平面 B1 EF的距離為已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 ， BCA90， ACBC2， A1 在底面 ABC上的射影 恰為 AC的中點 D，又知 BA1AC1 .(1) 求證： AC1 平面 A1BC；(2) 求點 C1 到平面 A1AB的距離；(3) 求二面角 AA1BC的余弦值(1) 證明 如圖，取

17、AB的中點 E，則 DEBC，AC1 n 2127mn 7uuum因為 BCAC，所以 DEAC，又 A1D平面 ABC，以 DE， DC， D A 1 為 x， y， z 軸建立空間直角坐標系，則 A(0， 1,0) ，uuuC(0,1,0) ， B(2,1,0) ， A1(0,0 ， t) ， C1(0,2 ， t) ，uu uu uuAC 1 (0,3 ， t )， ( 2， 1， t )，CB (2,0,0) ，由 A1C CB 0，知 A1CCB，又 BA1AC1，uuu uuur從而 AC1平面 A1BC；uuur uu(2) 解 由 A1C BA1 3t 20，得 t 3.uuu

18、r設(shè)平面 A1AB的法向量為 n (x， y， z)， AA1 (0,1 ， 3)， AB (2,2,0) ，所以 uu ，n AA1 0,n AB 0,設(shè) z 1，則 n ( 3， 3， 1)所以點 C1 到平面 A1AB的距離 d n = ,uuur(3) 解 再設(shè)平面 A1BC的法向量為 m( x， y， z)，uuurCA1 (0 ， 1， 3)， B (2,0,0) ，所以 uum CA 1 0,CB 0,設(shè) z 1，則 m(0， 3， 1)，故 cos m， n | m| |n| 7 ，根據(jù)法向量的方向，可知二面角 AA1BC的余弦值1 ( 北京高考 )7.7考題賞析如圖所示，在三

19、棱錐 P ABC中， AC=BC=2， ACB=90， AP=BP=A，B PCAC.(1) 求證： PCAB；(2) 求二面角 B AP C 的余弦值；(3) 求點 C 到平面 APB的距離(1) 證明 AC=BC， AP=BP， CP=CP， APC BPC.又 PCAC， PC BC.ACBC=C， PC平面 ABC.AB? 平面 ABC， PCAB.3如(2) 建立空間直角坐標系 Cxyz .2 6 3 .3 .(2) 解 如圖所示，以 C 為原點建立空間直角坐標系 C xyz. 則 C(0,0,0) ， A(0,2,0) ， B(2,0,0) ，設(shè) P(0,0 ， t) |PB|=|

20、AB|= 2 2 ，t=2， P(0,0,2) 取 AP 中點 E，連結(jié) BE， CE.|AC|=|PC| ， |AB|=|BP| ，CEAP， BEAP.uuBEC是二面角 BAP C 的平面角 E (0 ， 1，u1u， EC (0 ， 1， 1)， (2 ， 1， 1)，cos BFC = 2 3EC EB3二面角 BAP C的余弦值為 3 .(3) 解 AC BCPC，C在平面 APB內(nèi)的射影為正 APB的中心 H，且 CH的長為點 C到平面 APB的距離uuur BH 2HE，點 H的坐標為uuur 2 3| CH | ，2 2 23， 3， 3 ，2 3點 C到平面 APB的距離為2 ( 山東高考 )如圖所示，已知四棱錐 P ABCD，底面 ABCD為菱形， PA平面 ABCD，ABC=60， E， F 分別是 BC， PC的中點(1) 證明： AE PD；(2)