解直角三角形練習(xí)情況總結(jié)復(fù)習(xí)資料講義

1、解直角三角形復(fù)習(xí)講義知識(shí)要點(diǎn)：一、直角三角形的元素（邊與角）的對應(yīng)關(guān)系。Eg：在 RtAABC 中,得：直角邊:ACC=90BC斜邊:AB銳角:.bA二、直角三角形的相關(guān)性質(zhì):/ A如圖（直角:ZCB1）:在 RtAABC 中，/ C=901、兩銳角的關(guān)系：直角三角形的兩個(gè)銳角互余。/ A+ / B=902、三邊關(guān)系：勾股定理：直角三角形的兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方。BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2）變形式子：BC2 =AB 2- AC2, AC2 =AB 2 -BC 2等的應(yīng)用。勾股定理逆定理：如果一個(gè)三角形的兩條較短邊的平方和等于較長邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角

2、形。若：BC2+ AC2 =AB2 或（a2+b2=c2）,則： ABC 是直角三角形，且/ C=90 3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。7、邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)（1）銳角/ A、/ B （/ A+ Z B=90 ）的三角函數(shù):互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系銳角/的正弦sinA=A的對邊斜邊=cosB銳角/的余弦cosA= *邊=sinB斜邊銳角/的正切tanA=A 的對邊=cotBA的鄰邊cotB銳角/的余切A的鄰邊cotA=珀-=tanBA的對邊取值范圍0 V sinA 10 0cotA 0全稱SineCosineTangentCotangent簡寫sincostan（或 tg）cot（

3、或 ctg、ctn）注：對于銳角/A的每一個(gè)確定的度數(shù)，其對應(yīng)的三角函數(shù)值也是唯一確定的。4、直角三角形中30角所對的直角邊等于斜邊的一半。5、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原來的直角三角形相似。若：在 RtAABC 中，/ C=90 , CD LAB 于點(diǎn) D則： ACDsCBDsABC 對應(yīng)邊成比例6、射影定理： ACDAABC AC 2=AD - AB CBDA ABC BC2=BD - AB（2）同角三角函數(shù)的關(guān)系：平方關(guān)系:商數(shù)關(guān)系:倒數(shù)關(guān)系:sin2A+cos2A =1sinA ,A cosAtanA=, cotA=cosA sin AtanA = - , tanA

4、- cotA=1cot A ACDACBD CD2=AD - DB推廣：同(銳)角三角函數(shù)之間的關(guān)系(正余交換): sinA=cos (90 A) , cosA=sin (90 A) tanA=cot (90 A) , tanA cotA=1.(3)三角函數(shù)中常用的特殊函數(shù)值。函數(shù)名030456090sin a0a避 T迎 T1cos a1避2*Ti20tan a0i無窮大cot a無窮大禽iT0090。之間，銳角/A的正弦值隨著角度的增大而增大。在090之間，銳角/A的余弦值隨著角度的增大而減小。在090之間，銳角/A的正切值隨著角度的增大而增大。在090之間，銳角/A的余切值隨著角度的增大

5、而減小。銳角三角函數(shù)的變化情況：在三、解直角三角形的類型與解法:已知條件兩兩直角邊（a, b）1、由 tanA = 求 / A b2、/ B=90 Z Ac/2.23、c a a bRtAABC , /0=90Z/1的時(shí)迎4邊斜邊c,直角邊a1、由 sinA = 求/ A c2、/ B=90 Z A-.J，一 23、b ca4 Z4的鄰邊白C圖 19.3.1計(jì)算邊的口訣：有斜求對乘正弦 有斜求鄰乘余弦 無斜求對乘正切 無斜求鄰乘余切直角邊、銳角/ A、銳角/ A的鄰邊b1、/ B=90 Z A2、由 tanA = a= b - tanA b3、由 cosA =-k c=ccosA一 邊一 角一

6、銳角銳角/ A、銳角/ A的對邊a1、/ B=90 Z A2、由 cotA = - -b= a - cotA a3、由 sinA = c=csinA斜邊c、銳角/ A1、/ B=90 Z A2、由 sinA = a a=c - sinA c3、由 cosA = b=c - cosA c有斜用弦（條件或求解中有斜邊時(shí)，用正弦sin或余弦cos）無斜用切（條件或求解中沒有斜邊時(shí)，用正切tan或余切cot）取原避中（盡量用原始數(shù)據(jù)，避免中間近似，否則會(huì)增大最后答案的誤差）寧乘勿除（能用乘法的盡量用乘法，可以提高計(jì)算的準(zhǔn)確度）四、有關(guān)名詞、術(shù)語的意義圖 19.4.51、鉛垂線：重力線方向的直線。2、水

7、平線：垂直于鉛垂線的一條直線。3、仰角與俯角：在進(jìn)行測量時(shí)，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角； 從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角。4、坡面的坡度（或坡比）：坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（1）的比叫做坡面坡度（或坡比）記作1,即i = h.15、坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a,有i=tan a16、方向角：如右圖，O族示北偏東60方向 注意：東北方向表示北偏東450五、高度的測量的方法：構(gòu)造兩個(gè)相似的直角三角形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例。1、利用平行的太陽光線2、利用標(biāo)桿與量角儀3、利用物理的光學(xué)知識(shí)與平面鏡六、直角三角形在尺規(guī)作圖中的完美體現(xiàn)(1)在數(shù)軸上表示無理數(shù)

8、(2)黃金分割七、解直角三角形的幾種基本圖形圖形1x: 3x axtan 60 xsin 60、,323x a圖形21 -a.3a2axV3 ,Ox33 1 atan60 =-cot301 -a.、3a2圖形3xE aC45a+xDE=AC=CD=a+xa xcot30 =AC=BE=DE=xtan600 =a-、3可證/ BAD= /BDA=30 AB=BD=ax3 1a21ax 2bd例 1 、在 ABC 中，若 |sin A-1| +（蟲-cosB）2=0,則/ C=.2解由條件知，sin A 1 = 0且#cosB=0即 sin A=1,/A=90;cos B=弓，/B=30（ / B

9、 為銳角）.則 /C=60.例2、 如圖，在 ABC中，/ C=90o, AD是角平分線，且/ 分析 求線段AB的長，應(yīng)當(dāng)考慮解直角 ABC,而從條件看 Rt ABC中僅有/ BAC = 60（或/ B=30）的條件，顯然要?jiǎng)?chuàng)造條件，使它成為可解的直角三角形.而 RtACD 中，AD = 10, / DAB = 1 / BAC=30,2所以它是可解的三角形.因此可利用RtAACD的可解創(chuàng)造出RtAABC的條件.解 在 RtACD 中，AD=10, /DAC = 30.BAC=60o, AD=10,求 AB 的長.AC = AD - cos300=5 技在 RtAABC 中，/ B=30o, A

10、C=5 73.AB=2AC = 10 6.例3、 如圖，D是 ABC的邊AB上的一點(diǎn)，且 BD =2AD,CD = 6, cos Z BCD =W3 ,那么BC邊上的高2AE =分析 由cos / BCD = 學(xué)，易知/ BCD = 30o.雖然CD=6,但 BCD不是直角三角形.因此作 DF，BC于F ,可得可解的直角 CDF .解作DF，BC于F, cos Z BCD= ,/BCD = 30.在 RtACDF 中,2CD = 6.DF = 1CD = 3.2又 DF/AE,AE AB 3DF BD 2AE = - DF =-例 4 已知 ABC 中，/ B = 45o, /C=30o, B

11、C=3+3石，那么 AB=.解作ADXBC,垂足為D.設(shè) 8口 = *,貝1 AD=x, CD=j3x.根據(jù)題意，得x+ j3 x= 3 + 3 技即(1 + J3)x=3(1 + 幣)x= 3.又AB=應(yīng)BD,AB = 3 屈.例5、如圖，沿水庫攔水壩的背水坡將壩頂加寬50米.（1）求加寬部分橫斷面 AFEB的面積；（2）完成這一工程需要多少方土？分析求梯形AFEB的面積，關(guān)鍵是求出兩底AF、BE的長.坡度1:2的意義即tg /ABC= 1 ,坡度1:2.5 ,22米，坡度由原來的1:2改為1:2.5 ,已知壩高6米，壩長Li212即 tg / E=.2.55解 在 RtABG 中，BG =

12、 2AG=12 （米）BE=EH BH = 5（米）則 S 梯形 ABEF= - （2 + 5） X6=21 （米 2）23需要完成工程的土萬量為21 X 50= 1050 （米）答 橫斷面AFEB的面積為21米2;完成工程需要1050方土.例6 在正方形 ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，AEXAF, AE交CB的延長線于點(diǎn) E,連結(jié)EF交AB于點(diǎn)G.求證：DF FC = BG EC;(2)問當(dāng)tg已知：當(dāng)t a n / DAF= 1時(shí)， AEF的面積為3/ DAF = 2時(shí)， AEF的面積是多少?3分析 不難證得 Rt ABE Rt ADF. DF = BE.由 EBGA ECF而證得(1)的結(jié)

13、論.由 AEAF, AE = AF 知 Sef=AF2=10.2又吐=1，DF2 + AD2 = AF2= 20.貝U AD=3后. AD 32L=2 時(shí)，DF = 2亞，AF2= 26, AD 3則 當(dāng) t a n / DAF =-時(shí)，Saaef= 13(cm2).3解直角三角形測試題:選擇題Rt ABC 中，C C=90 , AC=4 ,A、BC=3 , cosB 的值為()342、已知/A + ZB = 90，且 cosA=1 ，5則cosB的值為（）A、3、15在菱形B、4 C5ABCD43, /2.6、 _5ABC=6025AC=4 ,則BD的長是（）A、83 B、 4 3 C 、

14、234、在 Rt ABC 中，/ C=90 ,tan A=3, AC=10,則 S；aabc 等于()3 B、3 00 C、5035、一人乘雪橇沿坡度為1: J3的斜坡滑下，滑下距離S （米）與時(shí)間t （秒）之間的關(guān)系為s= 10t2t2,若滑動(dòng)時(shí)間為4秒，則他下降的垂直高度為 （）A、72 米 B、36 米 C、36J3 米 D、18J3 米6、在Rt ABC中，/ C=90 , / A、/ B、/C的對邊分別為a、b、c三邊，則下列式子一定成立的是A、a c sin BcosBC、caDtan Ba sin A7、若/ A為銳角,tan A tan32A、32 B 、 58,1、C、()3

15、28、A、如果把Rt ABC的三邊同時(shí)擴(kuò)大1、（）58n倍，則sin A的值（）不變 B、擴(kuò)大n倍C、縮小n倍 D、不確定9、ABC中，/ C=90 , AC= 2J5 , / A的角平分線交BC于D,AD=4 -4V15 ,則tan A的值為(38-15 B、V3 C 5310、如圖 ABC中，A D是B C上的高,tan B那么AD的長度為（）A、D、.31 3二：填空題（20分）11、如圖P是 的邊OA一點(diǎn)，P的坐標(biāo)為（3,4）, 則sin無尸12、等腰三角形的腰長為10cm,頂角為120 ,此三角形面積為4:u3 X弗11題13、已知方程x2 7x 12 0兩根為直角三角形的兩直角邊，

16、則其最小角的余弦值為 14、如圖甲、乙兩樓之間的距離為40米，小華從甲樓頂測乙樓頂仰角為二30,觀測乙樓的底部俯角為二45,試用含、的三角函數(shù)式子表示乙樓的高h(yuǎn) 米。15、在 Rt ABC 中，/ C=90 , CD AB邊上的中線，BC=& CD=5,則 tan ACD 三：計(jì)算16、計(jì)算 2 cos30tan 45 tan 60（衣 1）0118、在 Rt ABC 中，/ C=90 ，且 sin A - , AB=3,求 BC, AC 及 B. 219、已知，四邊形 ABCM, / ABC = /ADB =900 , AB = 5 , AD = 3 , BC = 2d 求,ABC = 30

17、, / ACB = 60, BC =40 米，求 A四邊形ABCD勺面積 S四邊形ABCD20、（8分）如圖，B C是河岸邊兩點(diǎn)，A是對岸邊上的一點(diǎn)，測得/到岸邊BC的距離是多少米？（結(jié)果精確到1米）BCAB21、（8分）如圖，甲樓每層高都是 3.1米，乙樓高40米，從甲樓的第6層往外看乙樓樓頂，仰角為300,兩樓相距AB有多少米？（結(jié)果精確到 0.1米）22、（8分）如圖，ABC是一防洪堤背水波的木It截面圖，斜坡 AB的長為13米，它的坡角為45,為了提高防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比（AC:DC）為1:1.5的斜坡AD,求DB的長（精確到.1米）23、（8分）如圖，氣象大廈離小偉家8米，

18、小偉從自家的窗中眺望大廈，并測得大廈頂部的仰角是45,而大廈底部的俯角是 30,求該大廈的高度（結(jié)果精確到 0.1米）24、（1分）如圖，在3m高的峭壁上測得塔頂與塔基的俯角分別為3和6 ,求塔高多少米?CB解直角三角形應(yīng)用.如圖，上午9時(shí)，一條船從A處出發(fā)，以20節(jié)的速度向正北航行，11時(shí)到達(dá)B處，從A, B望燈塔C,測得 /NAC = 30 , / NBC=60 ,那么從B處到燈塔C的距離是多少海里？.如圖，湖泊中央有一個(gè)建筑物 AB,某人在地面C處測得其頂部 A的仰角為60。，然后自C處?BC方向行100m至D點(diǎn)，又測得其頂部 A的仰角為30 ,求建筑物 AB的高.（精確到0.01m,

19、J3 = 1.732）.今年入夏以來，松花江哈爾濱段水位不斷下降，達(dá)到歷史最低水位，一條船在松花江某水段自西向東沿直線航行，在A處測得航標(biāo)C在北偏東60方向上.前進(jìn)100米到達(dá)B處，又測得航標(biāo) C在北偏東45方向上.在以航標(biāo)C為圓心，120米長為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)有淺灘.如果這條航繼續(xù)前進(jìn)，是否有被淺灘阻礙的危險(xiǎn)？（ J3 = 1. 73）4.如圖，太陽光線與地面成60。角，一棵大樹傾斜后與地面成30。角，這時(shí)測得大樹在地面上的影長約為10米,求大樹的長（精確到0.1米）.660.有一攔水壩是等腰樓形，它的上底是6米,下底是10米，高為2百米，求此攔水壩斜坡的坡度和坡角.海中有一個(gè)小島 A,它的

20、周圍8海里內(nèi)有暗礁，漁船跟蹤魚群由西向東航行， 在B點(diǎn)測得小島A在北偏東60 , 航彳T 12海里到達(dá)D點(diǎn)，這時(shí)測得小島 A在北偏東30 .如果漁船不改變航向， 繼續(xù)向東捕撈，有沒有觸礁的危.如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN=30 ,點(diǎn)A處有一所學(xué)校，AP=160米假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍 100米以內(nèi)會(huì)受到噪聲的影響，那么拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN的方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響 ？青說明理 由.如圖，小山上有一座鐵塔 AB,在D處測得點(diǎn)A的仰角為/ ADC=60 ,點(diǎn)B的仰角為/ BDC=45 ;在E處測得 仰角為/ E=30 ,并測得DE=90米，求小山高BC和鐵塔高

21、AB（精確到.如圖，某地為響應(yīng)市政府 形象重于生命”的號(hào)召，在甲建筑物上從點(diǎn) A到點(diǎn)E掛一長為30米的宣傳條幅，在乙 建筑物白頂部 D點(diǎn)測得條幅頂端 A點(diǎn)的仰角為45。,測得條巾I底端E的俯角為30。,求甲、乙兩建筑物的水平距 離BC的長（精確到0.1米）.某民航飛機(jī)在大連海域失事，為調(diào)查失事原因，決定派海軍潛水員打撈飛機(jī)上的黑匣子 ，如圖所示，一潛水員在A 處以每小時(shí)8海里的速度向正東方向劃行 ，在A處測得黑匣子 B在北偏東60。的方向，劃行半小時(shí)后到達(dá) C處，測得 黑匣子B在北偏東30。的方向，在潛水員繼續(xù)向東劃行多少小時(shí) ，距離黑匣子B最近,并求最近距離.以申辦2010年冬奧會(huì)，需改變哈爾濱市的交通狀況，在大直街拓寬工程中，要伐掉一棵樹 AB,在地面上事先劃定以B為圓心，半徑與AB等長的圓形危險(xiǎn)區(qū)，現(xiàn)在某工人站在離 B點(diǎn)3米遠(yuǎn)的D處測得樹的頂點(diǎn) A的仰角為60, 樹的底部B點(diǎn)的俯角為30。，如圖所示，問距離B點(diǎn)8米遠(yuǎn)的保護(hù)物是否在危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)？.如圖，某學(xué)校為了改變辦學(xué)條件，計(jì)劃在甲教學(xué)樓的正北方21米處的一塊空地上（BD=21米），再建一幢與甲教學(xué)等高的乙教學(xué)樓（甲教學(xué)樓的高 AB=20米，設(shè)計(jì)要求冬至正午時(shí)，太陽光線必須照射到乙教學(xué)樓距地面5米高的二樓窗口處，已知該地區(qū)冬至正午時(shí)太陽偏南，太陽光線與水平線夾角為 30。,試判斷：計(jì)劃所建的乙教學(xué)樓是否符合設(shè)計(jì)要求？并說明