解三角形中線問題專題訓(xùn)練

1、解三角形專題訓(xùn)練(三)一中線問題1.如圖，在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且2acosB b 2c .(1)求角A的大?。?2)若AC邊上的中線 BD的長為 郃，且AB BD ,求BC的長.解：(1)2acosB b 2c,由正弦定理可得：2sin Acos B sin B 2sin C ,可得:2sin AcosB sin B 2sin C 2sin( A B)2sin AcosB 2cos Asin B ,.D為AC的中點,AC 2AD 4,9 分 TOC o 1-5 h z sin B 2cos Asin B ,2 分1，八, sin B 0 , cos A

2、- ,4 分2A (0, ) , A 6分3(2)在 Rt ABD 中，AD -BD 噂 2, AB1 ,sin A . 3在 ABC 中，BC2 211分sin Bsin A V3 cos Asin B ,因為sin B 0 ,所以 sin A J3cosA,即 tan A 晶,因為A (0,),所以A .3 TOC o 1-5 h z (2)因為 A , a 4 , ABC 的面積為 第3 1 bcsin A bc , 3224所以bc 6 , 2222222由余弦th理 a b c 2bccosA,可得 16 b c bc b c 6 ,可得 b2 c2 22 ,因為2AD AB AC，

3、可得：222/2212_4| AD | | AB | AC | 2 AB AC c b 2 bccosA 22 2 6 - 28,解得 |AD| 7,可得AD的長為方.A . ABC 中，角 A, B, C 所對的邊為 a, b , c ,已知 bcos- asinB . 2(I )求 A;(n)若 ABC的面積S 2V3 , D為BC的中點，求 BC邊上中線 AD的最小值.解：(I) , bcos A a sin B ,2A由正弦te理可得：sin B cos? sin Asin B ,2-A. “cos?sin A2sin B 0 ,可得:A A2sin cos,220, sin-2A (

4、0,(n)H ABC的面積S 2.3,-bcsin - 2.3, 23化為：bc 8 .；D為BC的中點,2由中線長定理可得：bcos2 A cos2 B 2sin Asin B 1 cos2C .(1)求角C ;(2)設(shè)D為邊AB的中點， ABC的面積為2,求|CD |2的最小值.解：(1)因為 A、B、C 為三角形內(nèi)角，所以 cos2A cos2B 2sin Asin B 1 cos2C 2 .2cos( A B)cos( A B) 2sin Asin B 2cos C 2cos (A B) c2 2AD2,2由余弦定理可得：a2 b2 c2 2bc cos ,3代入上式可得： 4AD2

5、b2 c2 bc3bc 24 ,解得AD6 ,當(dāng)且僅當(dāng)bc 2/時，BC邊上中線AD取得最小值 旗.2cos( A B)(cos(A B)cos(A B) 2sin Asin B 0.已知 ABC的內(nèi)角A , B , C所對的邊分別為a , b , c ,且滿足2cos( A B)( 2sin Asin( B) 2sin Asin B2cos(A B) 12sin Asin B(2cos( A B) 1) 01- _2cosC 1 0 cosC C 602故角C為60 .1(2)由(1)知 C 60 , ABC 的面積為-absin602CAE 120 ,延長CD至ij E ,使DE CD ,

6、連接 AE ,則AE BC a,由余弦定理得(2CD)2 a2 b2 2abcos120a2 b2 ab蕓3ab 8/3，當(dāng)a b時，等號成立.于是CD26，當(dāng)a b時，等號成立.故|CD |2的最小值2點.5.在 ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c ,已知ccosA (a 2b)cosC 0 .(1)求 C的大?。?2) ABC的面積等于4串,D為BC邊的中點，當(dāng)中線 AD長最短時，求 AB邊長.解：(1)由 ccosA (a 2b)cosC 0 ,得 sinCcosA (sin A 2sin B)cosC 0 ,即 sin(A C) 2sin B cosC ,1從而cosC 2

7、而 C (0 ,180 ),可得C 120 .1(2) r S ,absin120473 ,ab 16 ,22. a. 2a2.a. 2 ab a ab 3.AD b ( )2 b cos120 b ( )一，2bab 24,2222222當(dāng)且僅當(dāng)b 1a,即a 472,b 2亞 時，等號成立， 2此時 AB6.ABC 中，角 A, B, C 的對邊分別為 a , b , c , 2sin A sinC 2sin BcosC .(1)求B的大小；(2)若a 3 ,且AC邊上的中線長為 ,求 ABC的面積. 2解：(1)因為 2sin A sin C 2sin BcosC ,所以 2sin( B

8、 C) sin C 2sin B cosC ,可得 2sinBcosC 2cos Bsin C sinC 2sin BcosC ,所以 2cosBsinC sin C 0 ,因為sin C 0 , 所以 2cosB 1 0 ,可得 cosB -, 因為B (0,),所以B3(2)由 b ,可得 b2 a2 c2 ac c2 3c 9 , 在ABC中，取AC的中點D ,連接BD , 32 8 2 4& 242 ( 1) 56, 2故 AB 2.14 .因為a 3 , BD所以在CBD 中SC BCyD2b2 199 44abABC 中2_2_2_22c BC AC AB 9 b c cosC -

9、2BC AC2ab二匚,22_. . b 19,所以 9 b c 2(9 ),44把代入，化簡可得c23c 10 0 ,解得 c 5 ,或 c2 (舍去)，所以 ABC 的面積 S -acsin B - 3 5 sin 152”223417.在 ABC 中，內(nèi)角 A , B , C 的對邊分力1J為 a , b , c .已知 2csin B 3asin C , cosC -. 3(I)求證：ABC為等腰三角形;(n)若 ABC面積為2衣，D為AB中點，求線段 CD的長.(I)證明：由正弦定理及2csin B 3asinC 得，2bc 3ac ,所以2b 3a ,因為cosC -,322 9a

10、 2 TOC o 1-5 h z 222ac由余弦定理得，1 a一也工 43 2ab3a2a 2整理得，3a 2c,所以b c,即 ABC為等腰三角形；(II)因為 sinC 0 ,則 sinC 1 cos2C 3由題意得， 2 . 2 - absin C - a :-2223貝U a 2, b c 3,因為D為AB中點， 所以 cos ADC cos BDC TOC o 1-5 h z .3.22-2.3.22_2(-)CD 3(-) CD 2故 2 2332 -CD2 -CD HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22解得，CD M_ . 28.

11、在 ABC 中，角 A , B , C 的對邊分別為 a , b , c ,若 V3asin B bcosBcosC(1)求角B的值;(2)若A ，且 ABC的面積為773 ,求BC邊上的中線 AM的長. 6解：(1)因為 73asin B bcos B cosC ccos2 B ,所以由正弦定理可得 V3sin Asin B sin B cos BcosC sin C cos2 Bd3sin Asin B cosB(sin BcosC sin CcosB) cosBsin A ,因為 sin A 0 ,可得 J3sin B cos B ,即 tan B V3 3由B (0,),可得B . 6

12、2(2)由已知 A ,則 ABC是等腰三角形，C ，設(shè)AC BC 2a , TOC o 1-5 h z 63可得 SABC 1AC BC sin ACB 1(2a)2sin J3a2 , 223由已知 ABC的面積為74，得a2 7 , a 6,可得AC BC 25,2_ 2_2_2ACM 中，由余弦定理，AM CA CM 2CA CM cos一3(2 .7)2 ( 7)2 2 2 77 ( 1)49 ,所以AM 7 .3b.已知 ABC的內(nèi)角A, B , C的對邊分別為a , b , c ,且而acosC csinA(1)求 A ;(2)若c 2 ,且BC邊上的中線長為 喬，求b .解：(1

13、)因為 T3a cosC csin A J3b ,由正弦定理可得 點sin AcosC sin C sin A因為B所以 73sin AcosC sin Csin A j3sin AcosC 召 cos Asin C,可得 sinCsin AJ3cos Asin C ,因為 sin C所以 sin A73 cos A ,可得 tan A73，又因為A (0,),可得A 3(2)由余弦定理可得a2 b2 c2 2bccosA又在ABC 中，cosB22,2a c b2aca2 4b2ABD 中，cosB,a、222()c AD22 - c24a ，21_4_2aBC的中點為44a21-,可得2a

14、由可得b2 2b 8.已知函數(shù) f (x) 底in xcosx 1(sin2x cos2 x)(x R), 2(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)在ABC中，角A, B , C所對的邊分別為2/,若6)1,c 10 , cosB -,7求ABC的中線AD的長.解：(1) f (x) V3sin xcosx1(sin2x 22 cosx)舊sin2x21 cos2x sin(2x ).由一2k ：32x 工;一2k26 2f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為6k，,(2)f (A)1,sin(2 A ) 1 .62A ,解得62cosB、1 cos2sin C sin( A B)在 ABC中，由正弦定理可得:4374 3710_5 3145 314解得BD 7 .在 ABD ,由余弦定理可得:_ 222_AD 107210 7 cosB 129 ,AD -129 .222 一412 4 1 cos- 13,3BC 炳 12分 2.已知在 ABC中，角 A, B , C的對邊分別為