(完整版)3多元復合函數(shù)與隱函數(shù)的求導法則課件

1、3復合函數(shù)與隱函數(shù)的偏導數(shù)一、多元復合函數(shù)的導數(shù)(鏈式法則)定理：鏈式法則如圖示 全導數(shù) 解解解例3 設,而,求解解例5 設解例6 設,而求解解例8 設求例9 已知證明：左=右得證證：解令記同理有于是例11證從而= x設 z = f (u, v)可微, 當 u, v 為自變量時, 有若 u, v 不是自變量, 而是中間變量, 是否仍有這一形式?設 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 則z = f (u (x, y), v (x, y), 二、全微分的形式不變性由鏈式法則,代入,z = f (u (x, y), v (x, y)即:不論u, v是自變量還是中間變量, z

2、 = f (u, v)的全微分的形式不變.解例14 用全微分形式不變性求解 記 u = xy ,從而 z = f (u, v).從而隱函數(shù)求導法方法: 方程兩邊對 x 求導. 一元函數(shù)：F(x, y) = 0注意： y 是 x 的函數(shù)y=f(x), 然后解出 y .(1)是否任何一個二元方程 F(x, y) = 0. 都確定了y 是 x 的函數(shù)(單值)?如 x2 + y2 = 1.什么條件下確定 y = f (x)?(2)若方程確定y = f (x). 它是否可導? 給出一般的求導公式.(3)三元(以上)方程F(x, y, z) = 0. 的情形怎樣?問題:設函數(shù)F(x, y) 在點 X0 =

3、 (x0, y0)的鄰域U(X0)內(nèi)有連續(xù)偏導數(shù).一、方程F(x, y) = 0且F (x0, y0) = 0,則方程 F(x, y) = 0在點 X0 = (x0, y0)的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)導數(shù)的(單值)函數(shù) y = f (x),它滿足 y0 = f (x0). 且(隱函數(shù)存在定理) 定理1隱函數(shù)的求導公式例1. 方程 x2 + y2 1= 0,當x = 0時, y = 1.法1. x2 + y2 = 1兩邊對 x 求導, y 是 x 的函數(shù)2x+2y y = 0法2. F (x, y) = x2 + y2 1解令則定理1可推廣到方程中有多個變量的情形.二、方程 F(x, y, z

4、) = 0設三元函數(shù) F(x, y, z) 在 X0=(x0, y0, z0)的鄰域 U(X0)內(nèi)有連續(xù)編導，F(xiàn)(x0, y0, z0)=0, Fz(x0, y0, z0)0, 則在 X0 的某鄰域內(nèi)唯一確定一個有連續(xù)偏導的函數(shù) z = f (x, y), 滿足 z0=f (x0, y0), 且定理2例3.法1. 記 F(x, y, z) = sin(x3z) 2y z有 Fx = cos(x 3z),故Fy = 2, Fz = 3cos(x 3z) 1 法2： sin(x3z) =2y +z兩邊對 x 求偏導，z 是 x 的函數(shù)，y看作常數(shù).解得:類似得解令則例5 設求令例6 設求令例7 設

5、且f具有連續(xù)的一階法1確定偏導數(shù),求令例7 設且f具有連續(xù)的一階法2確定偏導數(shù),求等式兩邊對x求偏導例7 設且f具有連續(xù)的一階法3確定偏導數(shù),求利用一階全微分形式不變性思路：整理得解令則整理得整理得例9 設方程F(x2+y2+z2, sinxy)=0, FC1, 求方法1(公式法): 方程左邊是x, y, z的復合函數(shù)用鏈式法則求Fx , Fy , Fz .Fx = F 1Fy = F 1Fz = F 1= 2xF 1+ ycosxy F 22x+F 2cosxy y= 2yF 1+ xcosxy F 22y+F 2 cosxy x= 2zF 12z+F 2 0方法2 方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0兩邊對 x 求偏導. 其中 z 是 x 的函數(shù), y看作常量.= 0解得:F 1(2x+2z zx )+ F2 cosxy y例10 設 z = z(x, y) 是由方程 x+y+z= (x2+y2+z2)所確定的函數(shù), 其中 C1，證明 z = z(x, y) 滿足證 記 F (x, y, z) = x+y+z (x2+y2+z2),u = x2+y2+z2,有 F x = 1 F z = 12z u= 1 2x u u 2x2y u , F y = 1