南通市2021-2022學年高考壓軸卷數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知為等差數(shù)列，若，則( )A1B2C3D62直線l過拋物線的焦點且與拋物線交于A，B兩點，則的最小值是A10B9C8D73已知的展開式中的常數(shù)項為8，則實數(shù)（ ）A2B-2C-3D34已知集合A，則集合（ ）ABCD5已知變量，滿足不

2、等式組，則的最小值為（ ）ABCD6若復數(shù)滿足，則對應的點位于復平面的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限7已知函數(shù)下列命題：函數(shù)的圖象關于原點對稱；函數(shù)是周期函數(shù)；當時，函數(shù)取最大值；函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（ ）ABCD8已知向量，若，則（ ）ABC-8D89已知函數(shù)，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，所得到的圖象關于軸對稱，則的最小值是（ ）ABCD10若，則下列關系式正確的個數(shù)是（ ） A1B2C3D411已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（ ）A的最小正周期為B的值域為C的圖象關于直線對稱D的圖象關于點對稱12將函數(shù)的圖象向右平移個周期后，所得圖象關

3、于軸對稱，則的最小正值是（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知等比數(shù)列滿足公比，為其前項和，構成等差數(shù)列，則_14在直三棱柱內有一個與其各面都相切的球O1，同時在三棱柱外有一個外接球.若,，,則球的表面積為_.15在平面直角坐標系中，圓.已知過原點且相互垂直的兩條直線和，其中與圓相交于，兩點，與圓相切于點.若，則直線的斜率為_.16一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動，則容器體積的最小值為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知曲線C的極坐標方程是.以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為x

4、軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程是:（是參數(shù)）.（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點,且,試求實數(shù)m值.（2）設為曲線上任意一點，求的取值范圍.18（12分）已知六面體如圖所示，平面，是棱上的點，且滿足.（1）求證：直線平面；（2）求二面角的正弦值.19（12分）已知正實數(shù)滿足 .（1）求 的最小值.（2）證明：20（12分）已知函數(shù)（）若，求曲線在點處的切線方程；（）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（）若數(shù)列的前項和，求證：數(shù)列的前項和.21（12分）已知函數(shù)f(x)xlnx，g(x)x2ax.（1）求函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1(t0)上的最小值m(t)；（2）令h(x)g

5、(x)f(x)，A(x1，h(x1)，B(x2，h(x2)(x1x2)是函數(shù)h(x)圖像上任意兩點，且滿足1，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若x(0,1，使f(x)成立，求實數(shù)a的最大值22（10分）已知在四棱錐中，平面，在四邊形中，為的中點，連接，為的中點，連接.（1）求證：.（2）求二面角的余弦值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】利用等差數(shù)列的通項公式列出方程組，求出首項和公差，由此能求出【詳解】an為等差數(shù)列，,，解得10，d3，+4d10+111故選：B【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式求法，考查等差數(shù)

6、列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題2B【解析】根據(jù)拋物線中過焦點的兩段線段關系，可得；再由基本不等式可求得的最小值【詳解】由拋物線標準方程可知p=2因為直線l過拋物線的焦點，由過拋物線焦點的弦的性質可知 所以 因為 為線段長度，都大于0，由基本不等式可知，此時所以選B【點睛】本題考查了拋物線的基本性質及其簡單應用，基本不等式的用法，屬于中檔題3A【解析】先求的展開式，再分類分析中用哪一項與相乘，將所有結果為常數(shù)的相加，即為展開式的常數(shù)項，從而求出的值.【詳解】展開式的通項為，當取2時，常數(shù)項為，當取時，常數(shù)項為由題知，則.故選：A.【點睛】本題考查了兩個二項式乘積的展開式中的系數(shù)問

7、題，其中對所取的項要進行分類討論，屬于基礎題.4A【解析】化簡集合,，按交集定義，即可求解.【詳解】集合，則.故選:A.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎題.5B【解析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值.【詳解】解：由變量，滿足不等式組，畫出相應圖形如下：可知點,，在處有最小值，最小值為.故選：B.【點睛】本題主要考查簡單的線性規(guī)劃，運用了數(shù)形結合的方法，屬于基礎題.6D【解析】利用復數(shù)模的計算、復數(shù)的除法化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算、復數(shù)的除法、復數(shù)的幾何意義，考查運算求

8、解能力，屬于基礎題.7A【解析】根據(jù)奇偶性的定義可判斷出正確；由周期函數(shù)特點知錯誤；函數(shù)定義域為，最值點即為極值點，由知錯誤；令，在和兩種情況下知均無零點，知正確.【詳解】由題意得：定義域為，為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，正確；為周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，不是周期函數(shù)，錯誤；，不是最值，錯誤；令，當時，此時與無交點；當時，此時與無交點；綜上所述：與無交點，正確.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.8B【解析】先求出向量,的坐標，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由

9、向量，則，又，則，解得.故選：B【點睛】本題考查向量的坐標運算和模長的運算，屬于基礎題.9A【解析】化簡為，求出它的圖象向左平移個單位長度后的圖象的函數(shù)表達式，利用所得到的圖象關于軸對稱列方程即可求得，問題得解?！驹斀狻亢瘮?shù)可化為：，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，又所得到的圖象關于軸對稱，所以，解得：，即：，又，所以.故選：A.【點睛】本題主要考查了兩角和的正弦公式及三角函數(shù)圖象的平移、性質等知識，考查轉化能力，屬于中檔題。10D【解析】a，b可看成是與和交點的橫坐標，畫出圖象，數(shù)形結合處理.【詳解】令，作出圖象如圖，由，的圖象可知，正確；，有，正確；，有，正確；，有，正確

10、.故選：D.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小，考查學生數(shù)形結合的思想，是一道中檔題.11D【解析】先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.12D【解析】由函數(shù)的圖象平移變換公式求出變換后的函數(shù)解析式，再利用誘導公式得到關于的方程，對賦值即可求解.【

11、詳解】由題意知，函數(shù)的最小正周期為,即,由函數(shù)的圖象平移變換公式可得，將函數(shù)的圖象向右平移個周期后的解析式為，因為函數(shù)的圖象關于軸對稱，所以，即，所以當時，有最小正值為.故選：D【點睛】本題考查函數(shù)的圖象平移變換公式和三角函數(shù)誘導公式及正余弦函數(shù)的性質；熟練掌握誘導公式和正余弦函數(shù)的性質是求解本題的關鍵；屬于中檔題、?？碱}型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。130【解析】利用等差中項以及等比數(shù)列的前項和公式即可求解.【詳解】由，是等差數(shù)列可知因為，所以，故答案為：0【點睛】本題考查了等差中項的應用、等比數(shù)列的前項和公式，需熟記公式，屬于基礎題.14【解析】先求出球O1的半徑，再

12、求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,， 設球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點睛】本題主要考查幾何體的內切球和外接球問題，考查球的表面積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題.15【解析】設：，：，利用點到直線的距離，列出式子，求出的值即可.【詳解】解：由圓，可知圓心，半徑為.設直線：，則：，圓心到直線的距離為，.圓心到直線的距離為半徑，即，并根據(jù)垂徑定理的應用，可列式得到，解得.故答案為：.【點睛】本題主要考查點到直線的距離公式的運用，并結合圓的方程，垂徑定理的基本知識，屬于中檔

13、題.16【解析】一個長、寬、高分別為1、2、2的長方體可以在一個圓柱形容器內任意轉動,則圓柱形容器的底面直徑及高的最小值均等于長方體的體對角線的長,長方體的體對角線的長為,所以容器體積的最小值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）或；（2）.【解析】（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，在直角坐標條件下求出曲線的圓心坐標和半徑，將直線的參數(shù)方程化為普通方程，由勾股定理列出等式可求的值；（2）將圓化為參數(shù)方程形式，代入由三角公式化簡可求其取值范圍【詳解】（1）曲線C的極坐標方程是化為直角坐標方程為：直線的直角坐標方程為：圓心到直線l的距離（弦心距）圓心到

14、直線的距離為 ：或（2）曲線的方程可化為，其參數(shù)方程為：為曲線上任意一點，的取值范圍是18（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接，設，連接.通過證明，證得直線平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的正弦值.【詳解】（1）連接，設，連接，因為，所以，所以，在中，因為，所以，且平面，故平面.（2）因為，所以，因為，平面，所以平面，所以，取所在直線為軸，取所在直線為軸，取所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知可得，所以，因為，所以，所以點的坐標為，所以，設為平面的法向量，則，令，解得，所以，即為平面的一個法向量.，同理可求得平面的一個法向量為所以所以二面角

15、的正弦值為【點睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19（1）；（2）見解析【解析】（1）利用乘“1”法，結合基本不等式求得結果.（2）直接利用基本不等式及乘“1”法，證明即可.【詳解】（1）因為 ，所以 因為 ，所以 （當且僅當 ，即 時等號成立），所以（2）證明：因為 ，所以 故 （當且僅當 時，等號成立）【點睛】本題考查了基本不等式的應用，考查了乘“1”法的技巧，考查了推理論證能力，屬于中檔題.20 ()；()；()證明見解析.【解析】試題分析：將，求出切線方程求導后討論當時和時的單調性證明，求出實數(shù)的取值范圍先求出、的通項公式，

16、利用當時，得，下面證明：解析：（）因為，所以，切點為.由，所以，所以曲線在處的切線方程為，即（）由，令，則（當且僅當取等號）.故在上為增函數(shù).當時，,故在上為增函數(shù)，所以恒成立，故符合題意；當時，由于，根據(jù)零點存在定理，必存在，使得，由于在上為增函數(shù)，故當時，,故在上為減函數(shù)， 所以當時，,故在上不恒成立，所以不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為（III）證明：由由（）知當時，故當時， 故，故.下面證明：因為而，所以，即：點睛：本題考查了利用導數(shù)的幾何意義求出參數(shù)及證明不等式成立，借助第二問的證明過程，利用導數(shù)的單調性證明數(shù)列的不等式，在求解的過程中還要求出數(shù)列的和，計算較為復雜，本題屬于難

17、題21（1）m(t)（2）a22.（3）a22.【解析】（1）是研究在動區(qū)間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數(shù)的極值點與所研究的區(qū)間的大小關系來進行求解（2）注意到函數(shù)h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)h(x2)x1x2(x1x2)恒成立，從而構造函數(shù)F(x)h(x)x在(0，)上單調遞增，進而等價于F(x)0在(0，)上恒成立來加以研究（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉化為求對應函數(shù)的最值，得到a，再利用導數(shù)求函數(shù)M(x)的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數(shù)單調性，進而確定函數(shù)最值【詳解】（1） f(x)1，x0，令f(x

18、)0，則x1.當t1時，f(x)在t，t1上單調遞增，f(x)的最小值為f(t)tlnt；當0t1時，f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數(shù)，在區(qū)間(1，t1)上為增函數(shù)，f(x)的最小值為f(1)1.綜上，m(t)（2）h(x)x2(a1)xlnx，不妨取0 x1x2，則x1x20，則由，可得h(x1)h(x2)x1x2，變形得h(x1)x1h(x2)x2恒成立令F(x)h(x)xx2(a2)xlnx，x0，則F(x)x2(a2)xlnx在(0，)上單調遞增，故F(x)2x(a2)0在(0，)上恒成立，所以2xa2在(0，)上恒成立因為2x2，當且僅當x時取“”，所以a22.（3）因為f(x)，所以a(x1)2x2xlnx.因為x(0,1，則x1(1,2，所以x(0,1，使得a成立令M(x)，則M(x).令y2x23xlnx1，則由y0 可得x或x1(舍)當x時，y0，則函數(shù)y2x23xlnx1在上單調遞減；當x時，y0，則函數(shù)y2x23xlnx1在上單調遞增所以yln40，所以M(x)0在x(0,1時恒成立，所以M(x)在(0,1上單調遞增所以只需aM(1)，即a1.所以實數(shù)a的最大值為1.【點