第八章Back-Scholes模型(金融衍生品定價理論講義)

1、第八章 Black-Scholes模型金融學是一門具有高度分析性的學科，并且沒有什么能夠超過連續(xù)時間情形。概率 論和最優(yōu)化理論的一些最優(yōu)美的應用在連續(xù)時間金融模型中得到了很好地體現(xiàn)。Robert C.Merton , 1997年諾貝爾經(jīng)濟學獎得主，在他的著名教科書連續(xù)時間金融的前言中寫 到：過去的二十年證明，連續(xù)時間模型是一種最具有創(chuàng)造力的多功能的工具。雖然在數(shù) 學上更復雜，但相對離散時間模型而言，它能夠提供充分的特性來得到更精確的理論解和 更精練的經(jīng)驗假設。因此，在動態(tài)跨世模型中引入的真實性越多，就能夠得到比離散時間模型越合理的最優(yōu)規(guī)則。在這種意義上來說，連續(xù)時間模型是靜態(tài)和動態(tài)之間的分水

2、嶺。直到目前為止，我們已經(jīng)利用二項樹模型來討論了衍生證券的定價問題。二項樹模 型是一種離散時間模型，它是對實際市場中交易離散進行的一種真實刻畫。離散時間模型 的極限情況是連續(xù)時間模型。事實上，大多數(shù)衍生定價理論是在連續(xù)時間背景下得到的。 與離散時間模型比較而言，盡管對數(shù)學的要求更高，但連續(xù)時間模型具有離散時間模型所 沒有的優(yōu)勢：（1）可以得到閉形式的解。閉形式解對于節(jié)省計算量、深入了解定價和套期 保值問題至關重要。（2）可以方便的利用隨機分析工具。任何一個變量，如果它的值隨著時間的變化以一種不確定的方式發(fā)生變化，我們稱 它為隨機過程。如果按照隨機過程的值發(fā)生變化的時間來分，隨機過程可以分為離散

3、時間 隨機過程和連續(xù)時間隨機過程。如果按照隨機過程的值所取的范圍來分，隨機過程可以分 為連續(xù)變量隨機過程和離散變量隨機過程。在這一章中，我們先介紹股票價格服從的連續(xù) 時間、連續(xù)變量的隨機過程：布朗運動和幾何布朗運動。理解這個過程是理解期權和其他 更復雜的衍生證券定價的第一步。與這個隨機過程緊密相關的一個結果是Ito引理，這個引理是充分理解衍生證券定價的關鍵。In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer

4、 Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model

5、 requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified for

6、m, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula.本章的第二部分內(nèi)容在連續(xù)時間下推導Black-Scholes歐式期權定價公式，我們分別利用套期保值方法和等價鞅測度方法。并對所需的參數(shù)進行估計。最后討論標的股票支 付紅利的歐式期權定價問題。1.連續(xù)時間隨機過程我們先介紹Mark

7、ov過程。定義：一個隨機過程Xt t0稱為Markov過程，如果預測該過程將來的值只與它的目前值相關，過程過去的歷史以及從過去運行到現(xiàn)在的方式都是無關的，即E Xs t EXsXt（1）這里，s t, t表示直到時間t的信息。我們通常假設股票的價格過程服從Markov過程。假設舊M公司股票的現(xiàn)在的價格是100元。如果股票價格服從Markov過程，則股票一周以前、一個月以前的價格對于預測股票將來價格是無用的。唯一相關的信息是股票當前的價格100元。由于我們對將來價格的預測是不確定的，所以必須按照概率分布來表示。股票價格的Markov性質說明股票在將來任何時間的價格的概率分布不依賴于價格在過去的特

8、殊軌道。股票價格的 Markov性質與市場的弱形式的有效性有關。這說明股票現(xiàn)在的價格已 經(jīng)包含了隱含在過去價格中的有用信息。考慮一個隨機過程的變量Xt。假設它現(xiàn)在的值為10,在任何時間區(qū)間t內(nèi)它的值的變化量，Xt t Xt,服從正態(tài)分布 N 0, t ,且不相交時間區(qū)間變化量是獨立的。在任何兩年內(nèi)它的值的變化量為Xt 2 Xt ,滿足Xt 2Xt = Xt 2 Xt i + Xt i Xt由假設，Xt 2 Xt 1與Xt 1 Xt獨立，且Xt 2 Xti服從N 0,1 , Xt 1 Xt服從N 0,1 o兩個獨立正態(tài)分布隨機變量的和為正態(tài)分布隨機變量，均值為各個均值的和，方差為各個方差的和。所

9、以Xt 2Xt服從正態(tài)分布 N 0,2在任何半年內(nèi)，Xt 0.5 Xt服從正態(tài)分布N 0,0.5不確定性與時間的平方根成比例。上面假設的過程稱為布朗運動(Brownian motion),也稱為 Wiener process。這是一種特殊的Markov隨機過程，在每年的變化量的均值為0,方差為1。定義：一個(標準的、1-維)布朗運動是一個連續(xù)的適應過程z= zt, t ; 0 t ,其值域為R且滿足如下性質：z0 0 a.s.對任意的0 s0,這個概念可 以類似地定義。性質：1) 一個標準布朗運動既是Markov過程又是鞅。2)在任何小時間區(qū)間t內(nèi)的變化量為z . t這里是標準正態(tài)分布。3)任

10、何兩個小時間區(qū)間的變化量是獨立的。考慮變量在時間 T內(nèi)的值的增加量 Zt Zo o可以把它視為 z在N個小時間區(qū)間 t的增量的和，這里N工 t 因此 NZt Zoi t(2)i 1 這里i是獨立的標準正態(tài)分布。E Zt Zo0var zT z0N t T例子:推廣的Wiener過程 dx adt bdz(3)這里a, b視常數(shù)。為了理解(3),分別考慮它右邊的兩部分adt說明x在單位時間的期望漂移率為adx adt或者x xo at這里xo是x在時間0的值。bdz是加在x軌道上的噪聲或者擾動。在一個小時間區(qū)間t, x的變化量 x為x a t b . t 因此 x服從正態(tài)分布E x a t,2.

11、var x b t在一個時間區(qū)間T, x的變化量xtxo為正態(tài)分布E xTx0aTvar xTx0b2T所以推廣的 Wiener過程的期望漂移率 (average drift per unit of time) 為a,方差率(variance 、r I 2 per unit of time)為 b 。Ito過程dx a(x,t)dt b(x,t)dz(4)在一個小時間區(qū)間t, x的變化量x為x a(x,t) t b(x, t) . t所以Ito過程在一個小時間區(qū)間t的期望漂移率為a(x,t),方差率為b(x,t)2。Ito引理2.股票的價格過程我們討論不支付紅利股票價格服從的隨機過程。我們可以

12、假設股票的價格過程服從推廣的Wiener過程，即常的期望漂移率和常數(shù)方差率。但是，這個過程不滿足股票價格的 一個關鍵特征：投資者要求的股票期望回報率應該獨立于股票價格，股票回報率在短時間 內(nèi)的變動也應該獨立于股票的價格。如果當股票價格是10元時，投資者要求的每年期望回報率是14%,則當股票的價格是 50元時，投資者要求的每年期望回報率也是14%。通常我們也假設在一個短時間t內(nèi)，回報率的變動也獨立于股票的價格。如下的Ito過程滿足要求dS Sdt Sdz這里，為常數(shù)。我們稱之為幾何布朗運動。這是應用最廣泛的描述股票的價格過程。是股票價格的波幅，是股票價格的期望回報率。如果沒有隨機項，則在極限狀態(tài)

13、下dtdSS從而STS增長。這說明，當方差率為 0時，股票價格以每單位時間連續(xù)復利率 例子：幾何布朗運動的離散時間版本為SSThe variable S is the change in the stock price, S , in a small interval of time, t; and is a random drawing from a standardized normal distribution. The parameter, , is the expected rate of return per unit of time from the stock and the

14、parameter, , is the volatility of the stock price.Both of these parameters are assumed constant. The left hand the above equation is the returnprovided by the stock in a short period of time, t. The term t is the expected value of thisreturn, and the term t is the stochastic component of the return.

15、 The variance of the2stochastic component (and, therefore, of the whole return) ist . This is consistent with theJdefinition of the volatility, , that is , is such that . t is the standard deviation of the return in a short time period, t.正態(tài)分布-S N t, 2 tS參數(shù)和The process for the stock prices developed

16、 in this chapter involves two parameters and . The parameter, , is the expected continuously compound return earned by an investor per year. Most investors require higher returns to induce them to take higher risks. It should also depend on the level of interest rates in the economy. The higher the

17、level of interest rates, the higher the expected return required on any given stock.Fortunately, we do not have to concern ourselves with the determinants of in any detail because the value of a derivative dependent on a stock is, in general, independent of . The parameter the stock price volatility

18、, is, by contrast, critically important to the determination of the value ofmost derivatives. Typical values offor a stock are in the range 0.20 to 0.40.對lnS利用Ito引理得到 2 d ln S dt dz 2這說明lnS服從推廣的 Wiener過程。從而lnS在時間0和T之間的變化量過程正態(tài)分布2ln Stln S0 N T, T2即2ln ST N ln S0T, 、T2St的期望值St的方差例子:股票在時間0和T之間連續(xù)復利回報率的分

19、布：St Se T2例子:Black-Scholes 公式：套期保值方法有許多種方法可以得到 Black-Scholes 期權定價公式。我們在本節(jié)中給出的方法盡管不是最短的，卻是最直觀、最具有創(chuàng)造性的一種方法。Black-Scholes-Merton 微分方程是以不支付紅利股票為標的物的衍生證券價格都必須服從的方程。得到這個方程是得到 Black-Scholes 期權定價公式的關鍵。Black-Scholes-Merton 分析類似于二項樹模型中的套期保值方法。由標的股票和期權構成的證券組合是無風險的，所以由無套利原理，該證券組合的回報率應該是無風險利率。能夠構造無風險證券組合的原因在于，導致

20、股票價格和期權價格風險的不確定因素是相同的：股票價格的波動。在任何短時間內(nèi)，看漲期權價格和標的股票價格是完全正相關的。看跌期權價格和標的股票價格是完全負相關的。在任何情況下，利用股票和期權，通過恰當?shù)臉嬙熳C券組合，股票上的收益或者損失總是正好抵消期權上的損失或者收益。從而這個證券組合的回報是無風險的。這個特點是Black-Scholes-Merton 分析的中心和得到定價公式的關鍵。例子：Black-Scholes-Merton 分析和二項樹模型之間的主要差別在于，在Black-Scholes-Merton 分析中，證券組合是無風險的只是瞬間的事，所以必須時時刻刻調整股票和期權的 頭寸來保證無

21、風險的性質。假設1：標的股票的價格S(t)服從如下的隨機微分方程 dS(t) S(t)dt dw(t) ， S(0) x ，這里，為常數(shù)，為常數(shù)，w t t 0 為標準布朗運動，x 為常數(shù)。假設 2： 無風險債券的價格 B(t) 服從如下的方程dB (t) rB (t)dt ，(5)這里， B(0) 、 r 為常數(shù)。假設3：市場無摩擦(無交易成本，無買賣差價 bid-ask spread,無抵押，無賣空限制，無稅 收) 假設 4：無違約風險 假設 5：市場是完全競爭的 假設 6：價格一直調整到市場無套利下面，我們給出求Black-Scholes期權定價公式的方法。對于給定的歐式看漲期權，由于它

22、的到期日支付是標的股票的函數(shù)，我們假設期權的價格為標的股票價格的函數(shù)CtCS(t),t,這里，我們并不知道函數(shù)C 的具體形式，只知道它在0,0,T是兩次連續(xù)可微的。對函數(shù)C 利用It?引理，我們得到dctY(t)dt Cx S(t),t S(t)dw(t) , t T ,(6)這里，Y t CxS(t),t S(t) Ct S(t),t1CxxS(t),t2s(t)2。下面，我們利用套期保值的思想，希望通過股票和債券構造證券組合來模擬歐式看漲期權的價格。假設自融資交易策略a,b = at,bt : 0 t T滿足此要求，這里， at表示在時間t購買的股票份數(shù)，bt表示在時間t購買的債券的份數(shù)，

23、則atS(t) btB(t) g, t 0,T 。由(4)、(5)和上式，我們得到dct atdS(t) btdB(t)at S(t) btB(t)r dt at S(t)dw(t) ,(8)通過比較(6)與(7)兩式中dw(t)與dt的系數(shù)，我們來確定滿足要求的自融資交易策略。首 先，我們比較dw(t)的系數(shù),得到atCx S(t),t o由(7),我們得到Cx S(t),t S(t) btB(t)C S(t),t ,從而1bt麗 C S(t),tCx S(t),t S(t) 其次，我們比較dt的系數(shù)，得到，對于t T有rC S(t),tCt S(t),t rS(t)Cx S(t),t TO

24、C o 1-5 h z i 2S(t)2Cxx S(t),t 0(9)為了(9)成立，只需C滿足如下的偏微分方程rC x,t Ct x,t rxCx x,t 1 2x2Cxx x,t 0 ,(10)x,t 0,0,T ,方程(10)稱為Black-Scholes-Merton微分方程。針對以股票為標的物的不同的衍生證券，該方程有不同的邊界條件，解帶邊界條件的Black-Scholes-Merton微分方程就得到衍生證券的價格。注：1)證券市場是動態(tài)完備的，即任何證券都可以由股票和債券來模擬其支付。2)為了模擬衍生證券的價格，交易策略需要每時每刻進行調整。3)方程(10)的任何解是一種可交易的衍

25、生證券的理論價格。如果這種衍生證券 存在，不會產(chǎn)生任何套利機會。但如果一個函數(shù)f(S,t)不是方程(10)的解，在不產(chǎn)生套利機會的條件下，它不會是某種衍生證券的價格。4)方程(10)不包含 。例子：以不支付紅利的股票為標的物的遠期合約是一種衍生證券，它的價格 f S Ke r(T d滿足方程(10)由歐式期權的到期日支付得邊界條件 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark42 o Current Document C So，TSoK , So0,。(11)利用Feynman-Kac公式，通過解帶邊界條件(10)的偏微分方程(11),我們得到Black-Scholes

26、期權定價公式 HYPERLINK l bookmark44 o Current Document coSoN(d1) KerTN(d2)(12)這里ln S0KrfT 1 HYPERLINK l bookmark46 o Current Document d1TT 2d2 d1 斤。根據(jù)平價公式我們可以歐式看跌期權的價格為 HYPERLINK l bookmark52 o Current Document P0 Ke rTN( d2) SN( d1)(13)Black-Scholes期權定價公式的性質下面我們討論Black-Scholes期權定價公式的性質。當股票價格S0變的充分大的時候，看漲

27、期權一定會被執(zhí)行。這時，看漲期權非常類似于執(zhí)行價格為 K遠期合約。由遠期合約的價值方程，我們預期期權的價格為S0Ke rT由公式(12)我們知道，當S。變的充分大的時候，看漲期權價格確實趨近于這個價格。看跌期權價格趨近于 0。當股票價格的波幅趨近于0時，股票的風險趨近于0,股票價格以r增長。到時間T ,股票價格為S0erT ,看漲期權的支付為rTmax S0eK ,0以r進行折現(xiàn)，看漲期權現(xiàn)在的價格為e rT max S0erTK,0 max S0 Ke rT ,0為了證明這個價格與方程(12)給出的價格一致，我們分情況討論：當SerTK時當S0erTK時類似的可以證明，當股票價格的波幅趨近于

28、0時，看跌期權的價格為max KerTS0,0 。Black-Scholes公式：等價鞅測度方法我們在二項樹模型中證明了，市場不存在套利機會等價于存在唯一的等價鞅測度。在連續(xù)時間模型中我們也能夠證明同樣的結論：在目前的框架下，市場不存在套利機會等價于存在唯一的等價鞅測度。我們在這里不給出正式的證明，而是通過分析Black-Scholes-Merton 微分方程的一個重要性質來得到這一重要的定價理論。 Black-Scholes-Merton 微分方程的一個重要性質是，方程中不包含任何與投資者風險偏好有關的變量，只包括股票現(xiàn)在價格、時間、波幅和無風險利率。這些變量都獨立于投資者風險偏好。這與我們

29、在二項樹模型中得到的結論一樣。如果方程Black-Scholes-Merton 微分方程包含 ，則不獨立于風險偏好，因為依賴于風險偏好。投資者的風險厭惡程度越高， 越大。既然 Black-Scholes-Merton 微分方程不依賴于任何投資者風險偏好，所以它對于任何投資者都成立，或者說任何投資者都認為衍生證券的價格應該滿足該方程。特別地，對于風險中性的投資者而言，衍生證券地價格也滿足該方程。在一個風險中性的市場中，在等價鞅測度下，所有證券的回報率應該為無風險利率，原因是投資者承擔風險不需要酬金。同樣的，在一個風險中性市場中，任何現(xiàn)金流的目前值等于該現(xiàn)金流的期望值的以無風險利率為折現(xiàn)率的折現(xiàn)值。這個性質簡化了衍生證券的定價問題?？紤]一種衍生證券，在特定的時間提供一次支付。利用等價鞅測度方法，我們可以按照如下的程序來計算價格：假設標的物的期望回報率是無風險利率r ，即 r 。在等價鞅測度下，計算衍生證券在到期日的期望支付。以無風險利率對這個期望值進行折現(xiàn)。應該提到的是，等價鞅測度方法僅僅是一種人為構造的定價方法，這種方法為 Black-Scholes-Merton 微分方程提