全國注冊電氣工程師供配電基礎(chǔ)--高等數(shù)學(xué)PPT課件374頁

1、1.8 線性代數(shù)一、行列式二、矩陣三、n 維向量四、線性方程組五、矩陣的特征值和特征向量六、二次型把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列）個不同的元素的所有排列的種數(shù)用 表示，且 1.階行列式概念1.8.1 行列式全排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列在一個排列 中，若數(shù) ，則稱這兩個數(shù)組成一個逆序一個排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù)n階行列式的定義余子式與代數(shù)余子式2. n階行列式的性質(zhì)3.克拉默法則定理定理4.行列式計算二階、三階行列式用對角線法利用行列式性質(zhì)化為上下三角利用展開定理降階P54 例1-49,1-50例1解方程左端例2

2、計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.例31.8.2 矩陣1.矩陣的概念記作簡記為 2）兩個矩陣 為同型矩陣,并且對應(yīng)元素相等,即則稱矩陣 相等,記作同型矩陣與矩陣相等1）兩個矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)相等時,稱為同型矩陣.2.幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣 ，稱為 階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量). 稱為對角矩陣(或?qū)顷嚕?（3）形如 的方陣,不全為0記作 （4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣， 零矩陣記作 或 .注意不同階數(shù)的零矩陣是不相等的.例如(5)單位陣：對角線上全為1的對角陣稱為單位矩陣（或單位陣）

3、.全為1(6)對稱矩陣定義設(shè) 為 階方陣，如果A的元素滿足 那末 稱為對稱陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相 等.說明定義行列式 的各個元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的如下矩陣性質(zhì)稱為矩陣 的伴隨矩陣.(7）伴隨矩陣1) 加法設(shè)有兩個 矩陣 那末矩陣 與 的和記作 ，規(guī)定為3.矩陣的運(yùn)算2) 數(shù)與矩陣相乘矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.并把此乘積記作3) 矩陣與矩陣相乘設(shè) 是一個 矩陣， 是一個 矩陣，那末規(guī)定矩陣 與矩陣 的乘積是一個 矩陣 ，其中注意只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例4注：（1）矩陣乘法一般不滿足交換律；（其中 為數(shù)）; 若A

4、是 階方陣，則 為A的 次冪，即 并且 （注：單位矩陣E在矩陣乘法中的作用類似于數(shù)1）定義 把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做 的轉(zhuǎn)置矩陣，記作 .例4）矩陣的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)注：若A為對稱陣，則5）方陣的行列式定義 由 階方陣 的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣 的行列式，記作 或運(yùn)算性質(zhì)6）逆矩陣 定義 對于 階方陣 ，如果有一個 階方陣 則說方陣 是可逆的，并把方陣 稱為 的逆矩陣.使得定理1 方陣 可逆的充要條件是 ，且 二階矩陣的逆矩陣用該公式求，三階及以上矩陣的逆矩陣用初等變換求。逆矩陣的運(yùn)算性質(zhì)解：P57 例1-51定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:5.矩陣的初

5、等變換定義2 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)逆變換逆變換逆變換初等變換的作用1)求逆矩陣2)求矩陣和向量組的秩3)解線性方程組6.矩陣的秩求矩陣秩的方法： 把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例6解由階梯形矩陣有三個非零行可知1.8.3 n 維向量 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組1. 向量及向量組的概念2.向量組的線性相關(guān)性1) 線性組合2) 一個向量能由一個向量組線性表示3) 兩個向量組等價定理1解：

6、考慮定義則稱向量組 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無關(guān)由定義可得：1、任一向量組不是線性相關(guān)就是線性無關(guān)。2、含零向量的向量組一定線性相關(guān)。3、單個非零向量一定是線性無關(guān)。4、兩個向量線性相關(guān)的充分必要條件是對應(yīng)分量成比例。定理2解例8定理（1）部分相關(guān)整體相關(guān)。 （2）線性無關(guān)的向量組，將分量 延長后仍然線性無關(guān)。 （3）m 個n 維向量，當(dāng)維數(shù)n 小 于向量個數(shù)m 時一定線性相關(guān)。3. 最大無關(guān)組與向量組的秩定義注：只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0.推論1推論21.8.4 線性方程組1. 線性方程組有解的判定條件基礎(chǔ)解系的定義2. 線性方程組解的結(jié)構(gòu)其中 為對應(yīng)齊次線性方程組的通解， 為非齊次線性方程組的任意一個特解.非齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組Ax=b的通解為齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解若有解，化成行最簡形矩陣，便可寫出其通解；3. 線性方程組的解法例9 求解齊次線性方程組解即得與原方程組同解的方程組由此即得例10 求解非齊次方程組的通解解 對增廣矩