地震波傳播原理

1、菲涅爾體和透射波 摘要在地震成像實(shí)驗(yàn)中，通常使用基于波動(dòng)方程高頻漸進(jìn)解的幾何射線理論，因此，通常 假設(shè)地震波沿著空間中一條連接激發(fā)點(diǎn)和接受點(diǎn)的無(wú)限窄的線傳播，稱為射線。事實(shí) 上，地震記錄有非常多的頻率成分。地震波頻率的帶限性就表明波的傳播應(yīng)該擴(kuò)展到 幾何射線周圍的有限空間。這一空間范圍就成為菲涅爾體。在這片教案中，我們講介 紹關(guān)于菲涅爾體的物理理論，展示適用于帶限地震波的波動(dòng)方程的解。波動(dòng)方程的有 限頻理論通過(guò)敏感核函數(shù)精確地描述了帶限透射波和反射波的旅行時(shí)與振幅和地球介 質(zhì)中慢度擾動(dòng)之間的線性關(guān)系。菲涅爾體和有限頻敏感核函數(shù)可以通過(guò)地震波相長(zhǎng)干 涉的概念聯(lián)系起來(lái)。波動(dòng)方程的有限頻理論引出了一

2、個(gè)反直覺(jué)的結(jié)論-在三維幾何射線 上的點(diǎn)狀速度擾動(dòng)不會(huì)不會(huì)造成波長(zhǎng)的相位擾動(dòng)。因此，這說(shuō)明在射線理論下的菲涅 爾體理論是波動(dòng)方程有限頻理論在有限頻下的一個(gè)特例。最后，我們還澄清了關(guān)于菲 涅爾體寬度限制成像實(shí)驗(yàn)分辨率的誤解。引言在地震成像技術(shù)中，射線理論通常在正演和反演中被用有構(gòu)建正反演波長(zhǎng)算子。射線 理論之所以收到歡迎部分是由于計(jì)算機(jī)速度和內(nèi)存的限制，因?yàn)樯渚€理論具有較高的 計(jì)算效率并且對(duì)于各種地震成像方法的應(yīng)用也比較容易。而另一方面，地震成像實(shí)驗(yàn) 清晰的表明，射線理論，由于他對(duì)波場(chǎng)傳播的近似描述，對(duì)于散射效應(yīng)嚴(yán)重的波場(chǎng)的 成像是不完備的。Cerveny給出了對(duì)于地震波射線理論的一個(gè)全面的理解。

3、在地震成像實(shí)驗(yàn)中，記錄到的透射波和反射波信號(hào)都是由一個(gè)主要由低頻信號(hào)組成的 寬帶震源激發(fā)產(chǎn)生的，因?yàn)榈卣鸩ǖ母哳l信號(hào)在地層中很容易衰減。但是射線理論是 基于高頻近似的，這表明基于射線理論的成像技術(shù)和和測(cè)量波場(chǎng)這件之能會(huì)存在方法 上的沖突。這個(gè)圍繞射線且對(duì)帶限地震波的傳播起主要影響的空間范圍就被叫做菲涅 爾體。射線理論在地下構(gòu)造尺度大于記錄波場(chǎng)的第一菲涅爾帶的介質(zhì)中能夠取得較好 的效果。對(duì)于低頻反射波（頻率成分在10-70HZ之間）和透射波（頻率成分在300- 800Hz之間），第一菲涅爾體的寬度可以分別達(dá)到500m和50m的量級(jí)。這個(gè)寬度要 大于我們?cè)陉懙睾秃Ｑ蟮姆瓷洳ǖ卣鹂碧揭约熬g和垂直地

4、震剖面中想要成像的地下 地質(zhì)特征。在這篇教案中，我們將看到如何將地震分辨率擴(kuò)展到識(shí)別體積小于第一菲涅爾帶的不 均勻體。我們將展示如把射線理論下的旅行時(shí)和振幅公式擴(kuò)展到更精確的、可以應(yīng)用 與帶限反射和透射地震信號(hào)波場(chǎng)近似理論。波動(dòng)方程的有限頻理論提出了反射和透射 地震波的敏感核函數(shù)（也稱作Frechet核函數(shù)）。這些有限頻Frechet核函數(shù)將速度擾 動(dòng)和旅行時(shí)與振幅的擾動(dòng)線性的聯(lián)系起來(lái)。有限頻波長(zhǎng)近似被直接應(yīng)用到各種地震成 像實(shí)驗(yàn)中，例如井間、VSP、反射以及偏移成像。由于二者都是由地震波的干涉相長(zhǎng)引 出，F(xiàn)rechet核函數(shù)也可以與菲涅爾帶自然地聯(lián)系起來(lái)。這篇教案按照如下結(jié)構(gòu)講述。首先從克其

5、霍夫積分開(kāi)始，我們導(dǎo)出了在均勻介質(zhì)下菲 涅爾體的概念。接下來(lái)將介紹均勻介質(zhì)中有限頻地震波的敏感核函數(shù)。隨后，我們將 展示一個(gè)射線理論失效的實(shí)例。之后，我們將菲涅爾體和Frechet核函數(shù)的公式引向 非均勻介質(zhì)，并且將展示幾個(gè)分辨率不再限制在第一菲涅爾帶的高分辨率地震實(shí)驗(yàn)的 例子。菲涅爾體在射線理論中，地震波沿著一條或幾條連接震源和接受點(diǎn)的射線傳播。實(shí)際上，地震 波并不嚴(yán)格沿射線傳播。波動(dòng)是一種集體現(xiàn)象即許多微粒在一個(gè)有限的空間區(qū)域中運(yùn) 動(dòng)。對(duì)于有限頻帶的地震波，波場(chǎng)的不均勻性會(huì)隨著波的傳播而區(qū)域平滑。因此，波 場(chǎng)在有限介質(zhì)中的傳播是連續(xù)的。波場(chǎng)變化區(qū)域的大小取決于波長(zhǎng)，它隨頻率的增加 而減小。

6、這就是射線理論隨著頻率的增加而逐漸精確的物理原因。對(duì)于有限頻地震波傳播，傳播路徑擴(kuò)展到橫跨在連接激發(fā)點(diǎn)和接受點(diǎn)的射線路徑上的 管狀體。在射線理論中，這個(gè)管狀體在無(wú)限頻近似下退化為一條線（射線）。在這里， 我們追隨Kravtsov，我們利用克其霍夫積分導(dǎo)出地震波在給定炮檢對(duì)下的傳播區(qū)域。在圖1中，位于rs處的點(diǎn)源激發(fā)地震波。根據(jù)表象理論，在接受點(diǎn)處記錄的波場(chǎng)可 以表示為放置在震源和接受點(diǎn)之間的面s上的積分。利用圖1中所示的幾何關(guān)系，接 受點(diǎn)位置的波場(chǎng)可被寫(xiě)作P rr = s 六（P r VG Y, rr - G r, rr Vp（r）dS（1）其中？ rr是接受點(diǎn)rr的聲壓，p指物質(zhì)密度，G r

7、,七是格林函數(shù)。這個(gè)表達(dá)式適用于聲波，他的推導(dǎo)可以追溯到Morse和Feschbach，以及Snieder。定 義格林函數(shù)G r,七的介質(zhì)可以為均勻介質(zhì)或不均勻介質(zhì)。對(duì)于彈性波，相似的表達(dá)式 叫做Betti理論。由于彈性波張量算符的數(shù)學(xué)復(fù)雜性會(huì)影響我們下一步的講述，我們將 繼續(xù)采用聲波下的方程（1）。在積分（1）中的曲面S上的波場(chǎng)是指全部波場(chǎng)。但是, 當(dāng)反向散射很弱時(shí)，積分中的波場(chǎng)可以被直接從震源傳播到界面S的入射波場(chǎng)所取代。 這叫做克其霍夫近似。在克其霍夫近似中，積分（1）可以被解釋為從界面S各點(diǎn)散射的地震波的疊加，相 關(guān)的射線路徑在圖1中用細(xì)實(shí)線標(biāo)出。從S上靠近幾何射線的點(diǎn)出發(fā)傳播的波基本上 與初至波（直達(dá)波）同相。那些從遠(yuǎn)離幾何射線的點(diǎn)出發(fā)的波要晚于初至波到達(dá)。因 為這個(gè)原因，積分式（1）中對(duì)于透射波的影響主要來(lái)源于界面S上靠近幾何射線的點(diǎn)。但是注意，這個(gè)論點(diǎn)并沒(méi)有告訴我們什么叫靠近。我們將在下一章通過(guò)考慮均勻 介質(zhì)這個(gè)特例來(lái)進(jìn)一步闡述這一概念。實(shí)例：均勻介質(zhì)對(duì)于均勻模型，散射過(guò)程的幾何描述可參見(jiàn)圖。入射波（波前用灰色實(shí)線標(biāo)出）從源點(diǎn) rs到r點(diǎn)，激發(fā)出向rr點(diǎn)傳播的散射波（波前用灰色虛線畫(huà)出）。點(diǎn)r在位于公式（1） 中的積分曲面上，沿幾何射線距離源點(diǎn)的距離為x。從積分點(diǎn)到幾何射線的垂直距離可 用q表示，激發(fā)接受點(diǎn)之間的距離用L表示。之后我們將對(duì)從源點(diǎn)rs出發(fā)經(jīng)過(guò)