高考數(shù)學一輪復習第四章三角函數(shù)與解三角形大題沖關

1、第四章三角函數(shù)與解三角形高考中三角函數(shù)與解三角形問題的熱點題型從近幾年的高考試題看，新課標全國卷交替考查三角函數(shù)、解三角形.該部分解答題是 高考得分的基本組成部分，考查中難度屬于中低檔題，但考生得分不高，其主要原因是公式 不熟導致運算錯誤，不能掉以輕心.該部分的解答題考查的熱點題型有：一、考查三角函數(shù) 的圖象變換以及單調(diào)性、最值等；二、考查解三角形問題；三、是考查三角函數(shù)、解三角形 與平面向量的交匯性問題，在解題過程中抓住平面向量作為解決問題的工具，要注意三角恒 等變換公式的多樣性和靈活性，注意題目中隱含的各種限制條件，選擇合理的解決方法，靈 活地實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化.熱點一解三角形與三角恒等變換的

2、綜合解三角形多與三角恒等變換相結合，主要涉及兩角和與差的正弦和余弦公式、二倍角公 式以及正弦定理和余弦定理，考查題型既有選擇題、填空題，也有解答題.典題1 2016 浙江卷在ABC4內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,已知b + c= 2acos B.(1)證明：A= 2B;2a(2)若ABC勺面積S=g 求角A的大小.4(1)證明由正弦定理，得sin B+ sin C= 2sin Acos B,故 2sinAcosB= sinB+ sin(A+B) = sinB+ sinAcosB+ cosAsinB,于是sinB=sin( A- E).又A, BC (0,兀)，故0 A民兀，所

3、以，B=Tt （A場或8= A B, 因此A=兀（舍去）或A= 2B,所以A= 2B.(2)解a2 1.由 S= absin故有 sin Bsin C= 2sin 2 B= sin Bcos B,因為 sin Bw0,所以 sin C= cos B.兀又 B, CC (0,兀)，所以 C= yBr兀一兀當B+ C=5時，A=了;r兀 r a 兀當 C B= y時，A=.,一r兀 I、兀綜上，A= -2或 A=.三角恒等變換和解三角形的結合，一般有兩種類型：一是先利用三角函數(shù)的平方關系、 和角公式等求符合正、余弦定理中的邊與角，再利用正、余弦定理求值；二是先利用正、余 弦定理確定三角形的邊與角，

4、再代入到三角恒等變換中求值.具體解題步驟如下：第一步：利用正（余）弦定理進行邊角轉(zhuǎn)化；第二步：利用三角恒等變換求邊與角；第三步：代入數(shù)據(jù)求值；第四步：查看關鍵點，易錯點.2017 四川資陽高三上學期第一次診斷在AB3角A B, C所對的邊分別為 a, b,D是BC邊上的一點.、H 口 J2c- abC滿足OS_A=COS_B,(1)求角B的大小;(2)若 AC= 7, AD= 5, DC= 3,求 AB的長.解:J2c acos Abcos B2ccos B acos B= bcos A即 2ccos B= acos B+ bcos A,根據(jù)正弦定理，2sinCcosB= sinAcos B+

5、 sinBcos A= sin( A+E)= sinC,所以cosB=又 0氏180 ,所以 B= 45 .(2)在ADC3, AC= 7, AD= 5, DC= 3, 由余弦定理，得AD+ DC AC 52+ 32 721cos/ ADC= -2AD- DC = 2X5X3 = - 2所以/ ADC= 120 , / AD&60 ,在AB，AD= 5, /B-45 , / AD莊60 ,由正弦定理，得AB _ ADsin ZADB sin B所以AB=AD sin / ADB 5sin 60sin B sin 45熱點二解三角形與平面向量、三角函數(shù)性質(zhì)的綜合三角函數(shù)性質(zhì)與解三角形的綜合問題多

6、出現(xiàn)在解答題中，且第(1)問考查三角函數(shù)的性質(zhì)，第(2)問考查解三角形問題.典題 2 已知向量 m= cos x, - 1 , n= #sincos22 ,函數(shù) f(x) = m n+1.(1)求函數(shù)f(x)在0 ,兀上的最值，并求此時 x的值；1(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的2(縱坐標不變)，再將所得圖象向左 TOC o 1-5 h z . TT 、一 .1 、 一. 一一 .，“.平移 個單位長度并向下平移5個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象.若在 ABC4角A, B,32A 1,C的對邊分別為 a, b, c, g 2 =-, a=2, b+c=4,求 ABCW面積

7、.“x x2x解(1)f(x)=Wsin 2cos 2-cos 2+1=退sin x-cos x+ ! 222兀 1= sin x-y +.- x 0 , % , . x-yC -6-, 5 ,I兀兀，當 x-=-,即 x=。時，f(x)min=0；當 x一 I-m/,即 *=23-時，f(x)max= 2.-1當 x= 0 時，f ( x) min= 0,當 x = 時，f (x) max= I. 321 一 一(2)將f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的2(縱坐標不變)，得到函 數(shù)y =sin 2x2 +1的圖象，再將所得圖象向左平移三個單位長度并向下平移 1個單位長度，得到6232兀

8、兀兀，函數(shù) g(x) = sin 2 x + -= sin 2x + = cos 2 x 的圖象. HYPERLINK l bookmark2 o Current Document A1- g 2 = cos A= 2，兀又 00), TOC o 1-5 h z . 兀函數(shù)f(x) = a - b,且函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心與它相鄰的一條對稱軸之間的距離為.4(1)求函數(shù)f(x)的解析式;. 一兀(2)在銳角三角形ABn角A B, C的對邊分別為a, b c且滿足f(A)=0, B=/a=2,求c的邊的長.解：(1) f (x) = a b= 2sin cox cos w x + v3(

9、cos 2 w x sin 2 w x) = sin 2 3x+173cos 2 w x = 2 2sin 2 cox +乎cos 2 cox= 2sin 2 w x + .2兀兀又由題意知，T= 2丁 = 4X , 所以3 = 1.0,兀(2)解法一：由 知，f(A)=2sin 2A+ 3 TOC o 1-5 h z 一兀所以 sin 2A+ =0,3又因為 0 A-,所以 /2A+q2， 233 3兀兀所以2A+ = u ,所以A=,3所以 sinC= sin( A+ B) = sin7t7t7t= sin -cos -4+ cos -sin兀#士l2所以由正弦定理sin A sin C2

10、 2X asinCc = sinV6+V24322解法二:兀由(1)知，f(A) =2sin 2A+ =0,3所以sinc . 兀2A+V =0.3又因為0A9 所以+ 2A+-42, 2333兀兀所以2A+ = % ,所以A=,33所以由正弦定理sin A sin B2X亞 asin B2 2 .6b=/r= 3.2所以由余弦定理 a2= b2+ c2- 2bccos A,得 4*+ C-2X26CX g, 332整理，得3c22mC4=0,解得，c=片蟲2或C=玲虱2(舍去).熱點三 解三角形中的最值問題解三角形中的最值問題也是高考考查的一個重點，主要以考查面積的最值、邊長(周長的取值范圍

11、)、兩角三角函數(shù)和的取值范圍等.典題 32015 山東卷設 f(x) = sin xcos xcos2 x+4 .(1)求f (x)的單調(diào)區(qū)間；,，一.一 .A, 一一一(2)在銳角 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a, b, c.若f 2 = 0, a=1,求 ABC面積的最大值.解(1)由題意知，兀f (x)=sin 2 x21 + cos 2x+ 2sin 2 x 1 sin 2 x12 2= sin 2 x-2.,兀兀,1兀兀由一萬+2k 兀 W2 xw 萬+2k 兀，kCZ,可彳#- -+ k % x2 bc,即bcw2+43,當且僅當b = c時等號成立.1.2 + /3因止

12、匕 2bcsin Aw 4-.所以 ABC面積的最大值為 彳.解三角形的最值問題常需結合基本不等式求解，關鍵是由余弦定理得到兩邊關系，再結 合不等式求解最值問題，或者將所求轉(zhuǎn)化為某個角的三角函數(shù)，借助三角函數(shù)的值域求范圍.2017 江西臨川一中模擬 已知 f (x) =J3cos 2x+2sin 32+x sin(兀一x), xC R求f (x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間;(2)已知銳角 ABC勺內(nèi)角A, B, C的對邊分別為a, b, c,且f(A) = 43, a=3,求BC邊上的高的最大值.解：(1) f(x) = J3cos 2 xsin 2 x兀=2sin 2x-, 3，f(x)的最小正周期為兀，令 2k 兀 +2 x-T-2 k Tt +(kCZ),得23211k兀十萬兀wxwkTt + 行兀 (kCZ),，單調(diào)遞增區(qū)間為k兀+ 5f，k兀+ 器(kCZ). TOC o 1-5 h z (2)由