同濟(jì)大學(xué)大一高等數(shù)學(xué)期末試題

1、學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷課程名稱：高等數(shù)學(xué)試卷類別：A卷考試形式：閉卷考試時(shí)間：120分鐘號(hào)學(xué)適用層次：適用專業(yè)；閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書寫，小題得分寫在每小題題號(hào)前，用正分表示得分則在小題大題得分登錄在對應(yīng)的分?jǐn)?shù)框內(nèi)；考試課程應(yīng)集體閱卷，流水作業(yè)。線課程名稱：高等數(shù)學(xué)A（考試性質(zhì)：期末統(tǒng)考（A卷）題號(hào)（型）-一-一二四核分人得分總分評卷人級-封班-及-級-年-1業(yè)-密專-）院（系A(chǔ).(-1，二、填空題共15分,每小題3分)設(shè)函數(shù)f(x,y)在P(x,y00f(x,y)在P連續(xù)limf(x,y)及l(fā)im0 xxyy0ylnx,則dz等于(ylnxlnyAC若zylnxlnyA.x2yyln

2、xlnyC.ylnxlnydxdyx)的兩個(gè)偏導(dǎo)f(x,y)，f(x,y)都存在，則00B.f(x,y)在P可微D.limf(x,y)存在(x,y)(x0,yo)x00f(x,y)都存在0)ylnxlnyBxylnxlnyylnxlnxD.dxdyxy3.設(shè)是圓柱面x2y22x及平面z0,z1所圍成的區(qū)域，則f(x,y,z)dxdydz()A.2dcEdrf(rcos,rsin,z)dz000C.2dsrdrf(rcos,rsin,z)dz453，4)B.2dosrdrf(rcos,rsin,z)dz000D.sxrdrf(rcos,rsin,z)dz004A若a（x1）“在xl處收斂，則此級

3、數(shù)在x2處（nn1條件收斂B絕對收斂C發(fā)散D斂散性不能確定）xyz2曲線在點(diǎn)(1,1,2)處的一個(gè)切線方向向量為().zx2y2B.(3,-1,4)C.(-1,0,3)D.(3,0,-1)共15分，每小題3分）TOC o 1-5 h z1設(shè)x2y2xyz0，貝0z(1,1)x交換Idxxf(x,y)dy的積分次序后，I10設(shè)u2xyz2,則u在點(diǎn)M(2,1,1)處的梯度為xn已知ex，貝Ixe.xn!nO函數(shù)zx3y33x23y2的極小值點(diǎn)是三、解答題(共54分，每小題6-7分)1.(本小題滿分6分)設(shè)Zyarctan卩求蘭蘭xxy2.（本小題滿分6分）求橢球面2x23y2z29的平行于平面2

4、x3y2z10的切平面方程，并求切點(diǎn)處的法線方程.3.（本小題滿分7分）求函數(shù)zx2y21在點(diǎn)(1,2)處沿向量li22j方向的方向?qū)?shù)。（本小題滿分7分）將f（x）1展開成x3的幕級數(shù)，并求收斂域。xn1n!n1（本小題滿分7分）求由方程2x22y2z28yzz80所確定的隱函數(shù)zz（x,y）的極值。（本小題滿分7分）計(jì)算二重積分x2y2）d,D由曲線xfly2,yaai,y1及x!圍成D（本小題滿分7分）利用格林公式計(jì)算xy2dyx2ydx，其中L是圓周x2y2a2（按逆時(shí)針方向）.L（本小題滿分7分）計(jì)算dxdydz，其中是由柱面x2y21及平面z1,x0,y0所圍成且在第一卦限內(nèi)的區(qū)域

5、.四、綜合題（共16分，每小題8分）1.（本小題滿分8分）設(shè)級數(shù)u,v都收斂，證明級數(shù)（u）2收斂。nnnn33n0nO2.(本小題滿分8分)設(shè)函數(shù)f(x,y)在R2內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且f2x,x證明曲線積分2xydxf(x,y)dy與路徑無關(guān).若對任意的t恒有L(t,1)2xydxf(x,y)dy(1,t)2xydxf(x,y)dy，求f(x,y)的表達(dá)式.(0,0)(0,0)5分，每小題單選題(共填空題(共15分，每小題分)：分)1.C2D3C4B5A1.-12.I1dyef(x,y)dx-4n!3.2i4j2k45.(2,2)解答題(共54分，每小題-分7)”01.解：一x分(x2y

6、2arctanyxxyx2y2(6分).2.解：記切點(diǎn)(x,y,z)0002x則切平面的法向量為n2(2x,3y,z)滿足：r0002注Z0，切點(diǎn)為：(1,1,2)或3(1丄血)分，切平面：2x3y2z9or9分，法線方程分別為:2x1y1z2t或者2324z-1z23分63.解：f(1,2)(2,4)(3分),(；2112J3(7分)4.解：131(3(2分)因?yàn)?1)n0 x(I,1)1(1)x3-3(5分)當(dāng)x0時(shí),級數(shù)為丄發(fā)散；當(dāng)x6時(shí),(7分)x31()3級數(shù)為(l)n01x3)3nO(1)n(-)n!(x3)n其中3n01()n!(x3)”，x(0,6),n!x由解：解54x012

7、z8y得至Ix0與y2z0(2分)4(y2z)012z8y8再代入2x22y2z28yzz80得到772z80即z1,7由此可知隱函數(shù)zz（x,y）的駐點(diǎn)為（0,血）與（0,16）。（4分）7由竺一,1H2zBBy2z2z4160,-，可知在駐點(diǎn)(0,血)與(0,)有H0。(5分)H21HzBy7在（0,2）點(diǎn)，在(0)點(diǎn),7爭12zBy2z41，因此一z0，所以(0,2)為極小值點(diǎn)，極小值為z1;(6分)x215z40，所以(0,16)為極大值點(diǎn)，極大值為z8，(7分)215丫1y2x01y1y2)dy2)d8-,7因此6.解：記D:2X0D11y12y2)d解：L所圍區(qū)域D：D1dy(x2

8、y2)dxd3dri202x2y2a2,由格D2(xy2)(x2y)a)dxdy=x2y2)dxdy=dxD解：如圖，選取柱面坐標(biāo)D.(2分)220-3林公式，7分）xy2dyx2ydxr20rdr分7071,:所以20r1,dydzHdzdrcossinrdr000分4n1cos2=2sin2dlr3dr=()o204四、綜合題(共分，每小題1.證明：因?yàn)閘imu0,limvnnn故存在N,當(dāng)nN時(shí)，（uvn2.證明：因?yàn)榉?0分72分）)2u2v22unnnvnn3u方便,此時(shí)因此（u）2收斂。（8分）nn2x,且）2x，故曲線積分2xydxf（x,y）dy與路徑無關(guān).（4分）因此設(shè)f(x,y)x2g(y)，從而2xydxf(x,y)dy0dx2g(y