浙江省公立寄宿學(xué)校2022年高三最后一模數(shù)學(xué)試題含解析

1、2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合，若，則的最小值為（ ）A1B2C3D42如圖所示，三國時代數(shù)學(xué)家在周脾算經(jīng)中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設(shè)直角三角形有一個內(nèi)角為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲200顆米粒（大小忽略不

2、計，?。?，則落在小正方形（陰影）內(nèi)的米粒數(shù)大約為（ ）A20B27C54D643已知函數(shù)，對任意的，當(dāng)時，則下列判斷正確的是（ ）AB函數(shù)在上遞增C函數(shù)的一條對稱軸是D函數(shù)的一個對稱中心是4 “哥德巴赫猜想”是近代三大數(shù)學(xué)難題之一，其內(nèi)容是：一個大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)(素數(shù))之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的，我國數(shù)學(xué)家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當(dāng)好的成績.若將6拆成兩個正整數(shù)的和，則拆成的和式中，加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的概率為（ ）ABCD5在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為40，則的最小值是（ ）ABCD26若雙曲線的離心率，則該雙

3、曲線的焦點到其漸近線的距離為（ ）AB2CD17過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A，與準(zhǔn)線在第三象限交于點B，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為.若，則（ ）ABCD8已知函數(shù),關(guān)于的方程R)有四個相異的實數(shù)根,則的取值范圍是()ABCD9已知函數(shù)，若，對任意恒有，在區(qū)間上有且只有一個使，則的最大值為（ ）ABCD10若函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程可以為( )ABCD11用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+n2=n4+n22，則當(dāng)n=k+1時，左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上（ ）Ak2+1Bk+12Ck2+1+k2+2+k+12Dk+14+k+12212若函數(shù)在時取得最小值，則（ ）A

4、BCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，則的值為_14已知各棱長都相等的直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側(cè)面積為_15已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，則_16執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列滿足，其前n項和為.（1）通過計算，猜想并證明數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求常數(shù)t的取值范圍.18（12分）已知函數(shù)f(x)=x-1+x+2，記f(x)的最小值為m.（）解不等式f(x)

5、5；（）若正實數(shù)a，b滿足1a+1b=5，求證：2a2+3b22m.19（12分）在直角坐標(biāo)系中，已知點，的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線與曲線相交于，兩點，求的值.20（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，是正三角形，是的中點.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.21（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，點、分別為，的中點，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.22（10分）如圖，在直角中，點在線段上.（1）若，求的長；（2）點是

6、線段上一點，且，求的值.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】解出,分別代入選項中 的值進(jìn)行驗證.【詳解】解：，.當(dāng) 時,，此時不成立.當(dāng) 時,，此時成立，符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了不等式的解法,考查了集合的關(guān)系.2B【解析】設(shè)大正方體的邊長為，從而求得小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，利用概率模擬列方程即可求解。【詳解】設(shè)大正方體的邊長為，則小正方體的邊長為，設(shè)落在小正方形內(nèi)的米粒數(shù)大約為，則，解得：故選：B【點睛】本題主要考查了概率模擬的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題。3D【解析

7、】利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡，然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期，從而得到，即可求出解析式，然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】，又，即，有且僅有滿足條件；又，則，函數(shù)， 對于A，故A錯誤；對于B，由，解得，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，故C錯誤； 對于D，由，故D正確.故選：D【點睛】本題考查了簡單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4A【解析】列出所有可以表示成和為6的正整數(shù)式子，找到加數(shù)全部為質(zhì)數(shù)的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數(shù)的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加數(shù)全為質(zhì)數(shù)的有(3,3),

8、根據(jù)古典概型知，所求概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.5B【解析】畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到最值點，再利用均值不等式得到答案.【詳解】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)圖像知：當(dāng)時，有最大值為，即，故.當(dāng)，即時等號成立.故選：.【點睛】本題考查了線性規(guī)劃中根據(jù)最值求參數(shù)，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.6C【解析】根據(jù)雙曲線的解析式及離心率，可求得的值；得漸近線方程后，由點到直線距離公式即可求解.【詳解】雙曲線的離心率，則，解得，所以焦點坐標(biāo)為，所以，則雙曲線漸近線方程為，即，不妨取右焦點，則由點到直線距離公式可得，故選：C.【點睛】本題

9、考查了雙曲線的幾何性質(zhì)及簡單應(yīng)用，漸近線方程的求法，點到直線距離公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.7C【解析】需結(jié)合拋物線第一定義和圖形，得為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作，再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出，結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，過點作.由拋物線定義知，所以，所以.故選：C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題8A【解析】=,當(dāng)時時,單調(diào)遞減，時,單調(diào)遞增,且當(dāng),當(dāng),當(dāng)時，恒成立，時,單調(diào)遞增且,方程R)有四個相異的實數(shù)根.令=則,即.9C【解析】根據(jù)的零點和最值點列方程組，求得的表達(dá)式（

10、用表示），根據(jù)在上有且只有一個最大值，求得的取值范圍，求得對應(yīng)的取值范圍，由為整數(shù)對的取值進(jìn)行驗證，由此求得的最大值.【詳解】由題意知，則其中，又在上有且只有一個最大值，所以，得，即，所以，又，因此當(dāng)時，此時取可使成立，當(dāng)時，所以當(dāng)或時，都成立，舍去；當(dāng)時，此時取可使成立，當(dāng)時，所以當(dāng)或時，都成立，舍去；當(dāng)時，此時取可使成立，當(dāng)時，所以當(dāng)時，成立；綜上所得的最大值為故選:C【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的零點和最值，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10B【解析】由點求得的值，化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正

11、確選項.【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據(jù)三角函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)求參數(shù)，考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)對稱軸的求法，屬于中檔題.11C【解析】首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+n1=n4+n22時，當(dāng)n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加上的式子，可以分別使得n=k，和n=k+1代入等式，然后把n=k+1時等式的左端減去n=k時等式的左端，即可得到答案【詳解】當(dāng)n=k時，等式左端=1+1+k1，當(dāng)n=k+1時，等式左端=1+1+k1+k1+1+k1+1+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+（k+1）1故選：C【點睛】本題主要考

12、查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./12D【解析】利用輔助角公式化簡的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時的值【詳解】解：，其中，故當(dāng)，即時，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1356【解析】根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項和公比，再代入等比數(shù)列的通項公式，即可得到答案.【詳解】，.故答案為：.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式和前項和公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.14【解析】只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關(guān)于x的方程，解方程

13、即可解決.【詳解】由已知，解得，如圖所示，設(shè)底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，故，即，解得，故三棱柱的側(cè)面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學(xué)生的空間想象能力，是一道中檔題.15【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可【詳解】.故答案為【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力161【解析】該程序的功能為利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值，模擬程序的運(yùn)行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案【詳解】模擬程序的運(yùn)行，可得：，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時滿足條件，退出循環(huán)，

14、輸出的值為1故答案為：1【點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），證明見解析；（2）【解析】（1）首先利用賦值法求出的值，進(jìn)一步利用定義求出數(shù)列的通項公式；（2）首先利用疊乘法求出數(shù)列的通項公式，進(jìn)一步利用數(shù)列的單調(diào)性和基本不等式的應(yīng)用求出參數(shù)的范圍【詳解】（1）數(shù)列滿足，其前項和為所以，則，所以猜想得：證明：由于，所以，則：（常數(shù)），所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列所以，整理得（2）數(shù)列滿足，所以，則，所以則，所以，所以，整理得，由于，所以，即【點睛】本題考

15、查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，疊乘法的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性在數(shù)列中的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題型18（）x|-3x2（）見證明【解析】()由題意結(jié)合不等式的性質(zhì)零點分段求解不等式的解集即可；()首先確定m的值，然后利用柯西不等式即可證得題中的不等式.【詳解】（）當(dāng)x1時，f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+15，即x2，1x2；當(dāng)-2x1時，f(x)=(1-x)+(x+2)=35，-2x1；當(dāng)x-2時，f(x)=(1-x)-(x+2)=-2x-15，即x-3，-3x-2.綜上所述，原不等式的解集為x|-3x2.（）f(x)=x-1+x+2

16、(x-1)-(x+2)=3，當(dāng)且僅當(dāng)-2x1時，等號成立.f(x)的最小值m=3.(2a)2+(3b)2(12)2+(13)2(2a12+3b13)2=5，即2a2+3b26，當(dāng)且僅當(dāng)2a13=3b12即3a=2b時，等號成立.又1a+1b=5，a=53，b=52時，等號成立.2a2+3b22m.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的解法，柯西不等式及其應(yīng)用，絕對值三角不等式求最值的方法等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19（1）；（2）【解析】（1）消去參數(shù)方程中的參數(shù)，求得的普通方程，利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式，求得的直角坐標(biāo)方程.（2）求得曲線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入的直角坐標(biāo)方

17、程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)直線參數(shù)中參數(shù)的幾何意義，求得的值.【詳解】（1）由的參數(shù)方程（為參數(shù)），消去參數(shù)可得，由曲線的極坐標(biāo)方程為，得，所以的直角坐方程為，即.（2）因為在曲線上，故可設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入化簡可得.設(shè)，對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，所以.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程，考查極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查利用利用和直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義進(jìn)行計算，屬于中檔題.20（1）見證明；（2）【解析】（1）設(shè)是的中點，連接、，先證明是平行四邊形，再證明平面，即（2）以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建空間直角坐標(biāo)系，分別計算各個點坐標(biāo)，計算平面法向量，利用向量的夾角

18、公式得到直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）證明：設(shè)是的中點，連接、，是的中點， ，是平行四邊形，由余弦定理得，平面，；（2）由（1）得平面，平面平面，過點作，垂足為，平面，以為坐標(biāo)原點，的方向為軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)是平面的一個法向量，則，令，則，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查了線面垂直，線線垂直，利用空間直角坐標(biāo)系解決線面夾角問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.21（1）見解析（2）【解析】（1）首先可得，再面面垂直的性質(zhì)可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出線面角；【詳解】解：（1），點為的中點，又平面平面，平面平面，平面， 平面，