高等動(dòng)力學(xué)課件：lecture1_Momentum

1、高等動(dòng)力學(xué) Lecture 1 序言， 動(dòng)量定理Introduction about advanced dynamics本課程的目的: 在牛頓力學(xué)框架下，研究和學(xué)習(xí)處理相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)對(duì)象更為復(fù)雜的對(duì)象：剛體動(dòng)力學(xué)問題。主要有兩類對(duì)象 2D剛體動(dòng)力學(xué)問題 3D剛體動(dòng)力學(xué)主要方法： 微分方程組（首次積分形式） 動(dòng)量定理 動(dòng)量矩定理 能量定理數(shù)值計(jì)算方法一些特殊問題的處理方法 碰撞問題 變質(zhì)量問題陀螺系統(tǒng) 小振動(dòng)系統(tǒng) Lagrange 力學(xué)與Hamilton力學(xué)初步 約束與流形Langrange力學(xué)中的基本原理：虛位移原理和達(dá)朗伯原理 Hamilton力學(xué)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)象：?jiǎn)蝹€(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)向多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的復(fù)雜系

2、統(tǒng)；理論基礎(chǔ)：牛頓力學(xué)的框架下（三個(gè)基本定律） 采用力矢量反映物體之間的相互作用。 （注意： 物體之間的相互作用可以采用另外的形式來表達(dá)：將約束作為建立動(dòng)力學(xué)模型的基本要素分析動(dòng)力學(xué)）質(zhì)點(diǎn)系的基本概念及受力的基本分類質(zhì)點(diǎn)系：將多個(gè)質(zhì)點(diǎn)作為一個(gè)力學(xué)系統(tǒng)進(jìn)行分析。質(zhì)點(diǎn)系受力的分析： 外力與內(nèi)力Comments: 1: 質(zhì)點(diǎn)系是認(rèn)識(shí)物理對(duì)象的基本概念；既可以關(guān)注整體性質(zhì)，也可以關(guān)注局部性質(zhì)；2. 外力和內(nèi)力：伴隨質(zhì)點(diǎn)系的概念而產(chǎn)生，區(qū)分外力和內(nèi)力的概念有助于對(duì)系統(tǒng)整體動(dòng)力學(xué)行為的研究。剛體與質(zhì)點(diǎn)系剛體：可以看做由無數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系系統(tǒng)。只是該系統(tǒng)中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間滿足如下的約束：變形體：如果質(zhì)點(diǎn)之間不

3、滿足以上約束方程，則為變形體。質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的性質(zhì)性質(zhì)1：質(zhì)點(diǎn)系的全部?jī)?nèi)力力系的主向量為零。質(zhì)點(diǎn)編號(hào)為：1，2，。，n, 質(zhì)點(diǎn)i上的內(nèi)力為Fij, j=1,2,n and j = i時(shí)，F(xiàn)ii=0.其它質(zhì)點(diǎn)作用在質(zhì)點(diǎn)i上的所有內(nèi)力的合力為：各個(gè)質(zhì)點(diǎn)內(nèi)力合力的主向量為改變求和次序，主向量R應(yīng)保持不變根據(jù)牛頓第三定律，總有質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的性質(zhì)性質(zhì)2：全部?jī)?nèi)力對(duì)任意共同點(diǎn)的主矩等于零。對(duì)質(zhì)點(diǎn)j, 定義如下的相對(duì)于空間點(diǎn)O的位置矢量：rj,第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)j質(zhì)點(diǎn)的內(nèi)力為Fij. 一對(duì)內(nèi)力總表示為：對(duì)這一對(duì)內(nèi)力，求對(duì)O點(diǎn)的力矩通常情況下，質(zhì)點(diǎn)間相對(duì)位置的矢量方向與質(zhì)點(diǎn)間相互作用力的方向在同一條直線上（某些基本粒子之

4、間的相互作用并不滿足以上假設(shè)）。則有質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理：包含n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量p表示為當(dāng)n ,質(zhì)點(diǎn)系可表示某一連續(xù)的物體利用上式，對(duì)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)求和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理的微分形式：質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微分等于外力作用在該質(zhì)點(diǎn)系上主向量。提出了質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量的物理量建立質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)與外部力之間的關(guān)系。質(zhì)點(diǎn)系的沖量定理（積分形式）：質(zhì)點(diǎn)系在某一時(shí)間間隔內(nèi)動(dòng)量的改變量等于外力的主向量的在該時(shí)間間隔內(nèi)的沖量。與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理相關(guān)聯(lián)的守恒定律質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定律提供了從整體到局部分析的基本過程。我們總是可以選擇感興趣的某一部分進(jìn)行分析，進(jìn)而得到作

5、用在該部分上的外部力系與運(yùn)動(dòng)變化（動(dòng)量）之間的聯(lián)系。質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用：例子1傳動(dòng)皮帶段AB長(zhǎng)s，與水平夾角為。梯上等距離地站立n個(gè)體重均為P的乘客。乘客被帶到最高點(diǎn)A時(shí)無相對(duì)速度地離開傳動(dòng)帶。與此同時(shí)，有另一體重相同的乘客無初速地踏上傳動(dòng)帶的B處。通過半徑為R的滾輪使傳動(dòng)帶保持等速u0，求滾輪上所需的平均力矩。 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用：例子1分析對(duì)象： 皮帶與皮帶上的n個(gè)乘客與將踏上皮帶的一個(gè)乘客。t1時(shí)刻； 一乘客剛離開A點(diǎn)，這時(shí)皮帶上有n個(gè)乘客。t2時(shí)刻：后面一個(gè)乘客剛離開A點(diǎn)，同時(shí)第n+1個(gè)乘客已踏上樓梯 該時(shí)間間隔內(nèi)，皮帶所走過的距離為s/n。質(zhì)點(diǎn)系在t1時(shí)刻的動(dòng)量:質(zhì)點(diǎn)系在t2時(shí)刻的動(dòng)

6、量:質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用：例子1質(zhì)點(diǎn)系在t1至t2時(shí)間間隔內(nèi)的動(dòng)量變化與外部沖量之間的關(guān)系為F為滾輪對(duì)皮帶拉力的大小?？紤]在平均意義上滾輪對(duì)皮帶的拉力根據(jù)動(dòng)量定理的表達(dá)式所需要的平均力矩為例子2：流體彎管動(dòng)壓力設(shè)管道內(nèi)有不可壓的流動(dòng)，流動(dòng)是定常的（管內(nèi)每一點(diǎn)處液體的速度不隨時(shí)間變化）。流量是Q，密度是管子截面積是A。求由于流體的流動(dòng)，彎管對(duì)流體的附加反力R。例子2：流體彎管動(dòng)壓力選擇質(zhì)點(diǎn)系。 t 時(shí)刻占據(jù)a1b1c1d1空間內(nèi)的流體；動(dòng)量為p1t+t 時(shí)刻，以上流體到達(dá)新的空間位置a2b2c2d2;動(dòng)量為p2定常流體的特性使得在a1b1c2d2內(nèi)的流體的動(dòng)量沒有變化。不可壓縮流體使a2b2a1b

7、1和c2d2d1c1內(nèi)的流體速度為Q/A. 體積均為Qt作用在該質(zhì)點(diǎn)系上的外力: 重力W; 兩流體截面處的壓力P1和P2, 彎管的壓力N.例子2：流體彎管動(dòng)壓力t 時(shí)間間隔內(nèi)的動(dòng)量的變化為動(dòng)量定理：設(shè)彎管對(duì)靜止流體提供的約束反力為N0,附加反力 例子3：氣體壓力設(shè)氣體單位體積內(nèi)有n個(gè)分子，每個(gè)分子的質(zhì)量為m，每個(gè)分子碰到容器壁以后彈跳回來的速度大小不變。先考慮x方向的運(yùn)動(dòng)。假設(shè)分子的平均速度是vx，分子的動(dòng)量是mvx，碰撞前后動(dòng)量的增量大小為2mvx，在單位時(shí)間內(nèi)，碰在面積為A的壁面上的分子個(gè)數(shù)是nAvx/2. （1/2是概率分布得到的結(jié)果） 統(tǒng)計(jì)力學(xué)：在平均意義上考慮氣體壓力的產(chǎn)生。例子3：

8、氣體壓力在x方向上的動(dòng)量的變化率壁面對(duì)氣體的作用力 沿x面上的壓力 在y和z方向上氣體的壓力應(yīng)與方向無關(guān) 氣體的壓力(在能量意義上的平均) 例子4：炮彈發(fā)射Uv一輛炮車停在光滑水平導(dǎo)軌上。炮彈的質(zhì)量為m，炮車總質(zhì)量為M。炮身的傾角為，炮彈出口的相對(duì)速度為V。求：炮彈離開炮身時(shí)的絕對(duì)速度及跑車反沖的速度U.例子4：炮彈發(fā)射炮彈運(yùn)動(dòng)學(xué)分析:UVv運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系水平方向動(dòng)量守恒（在慣性參考系下考慮問題）由速度分析圖知根據(jù)余弦定理分析對(duì)象：炮彈 + 跑車絕對(duì)速度相對(duì)速度質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心與重心的概念重心：重力合力的簡(jiǎn)化中心質(zhì)心：質(zhì)點(diǎn)系各點(diǎn)位置矢量的加權(quán)平均對(duì)均勻重力場(chǎng)來說，重心和質(zhì)心是一致的。質(zhì)心的概念適應(yīng)

9、于任何質(zhì)點(diǎn)系系統(tǒng)。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理根據(jù)質(zhì)心的定義，并微分質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心系質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)好象是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于整個(gè)系的質(zhì)量，受到的力是所有外力的主向量。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理在平均意義上考慮質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)，并大大簡(jiǎn)化了對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的處理。根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理外力系的主矢量定義質(zhì)心的速度質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：舉例m甲m乙r乙r甲rC飛石索的運(yùn)動(dòng)飛石索質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)軌跡總是一條拋物線。爆竹、煙花等雖然可以展現(xiàn)豐富多彩的景象，但其在平均意義上的軌跡方程是簡(jiǎn)單的。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：舉例電機(jī)總質(zhì)量為M：轉(zhuǎn)動(dòng)部分（轉(zhuǎn)子）的質(zhì)量為m。轉(zhuǎn)子的質(zhì)心偏離中心軸O的偏心距為e。假定電機(jī)固定部分的質(zhì)心近似地在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上。電機(jī)的轉(zhuǎn)速為勻速，且角

10、速度為。電機(jī)放在水平地面上。分析電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)地面對(duì)電機(jī)提供的約束反力。exymgO(M-m)gPPxPy質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：舉例分析對(duì)象：電機(jī)中的固定部分+轉(zhuǎn)子質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理分量形式物理或工程意義討論：當(dāng)e或較大時(shí)，Py可能出現(xiàn)負(fù)值，需要提供可承受拉力的部件。水平方向如果僅受靜摩擦的作用，要求的條件為有水平振動(dòng)的條件為兩體問題兩體問題：將各個(gè)星體之間的相互作用忽略，僅考慮太陽對(duì)星體的相互作用，這樣行星的運(yùn)動(dòng)可以看做一個(gè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用的孤立系統(tǒng)。分析內(nèi)容：是否可以將太陽作為慣性參考系，建立其它行星的運(yùn)動(dòng)方程？（將兩體問題轉(zhuǎn)化為單體問題）應(yīng)用： 航天工程中的某些軌道動(dòng)力學(xué)問題的分析，粒

11、子的散射等Mm兩體的質(zhì)心C質(zhì)心平動(dòng)參考系rmrM兩體問題Mm兩體的質(zhì)心C質(zhì)心平動(dòng)參考系rmrM建立質(zhì)心平動(dòng)參考系。質(zhì)點(diǎn)m到質(zhì)心C的位置矢量為：其中：r為M到m之間的矢量。兩質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用力為f. 定義：則即為當(dāng)以太陽作為不動(dòng)點(diǎn)參考系時(shí)，考慮地球在萬有引力作用下的折合質(zhì)量。由于地球的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于太陽的質(zhì)量，所以，可近似認(rèn)為=1質(zhì)心平動(dòng)參考系為慣性參考系，質(zhì)點(diǎn)m的動(dòng)力學(xué)方程為粒子的散射rcrv1設(shè)質(zhì)量為m1的質(zhì)點(diǎn)以速度v1被一質(zhì)量為m2的靜止質(zhì)點(diǎn)散射。受與距離平方呈反比的排斥力的作用，在質(zhì)心坐標(biāo)系中觀測(cè)，粒子的散射角度為c求：實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系:靜止坐標(biāo)系，r粒子的散射建立質(zhì)心平動(dòng)參考系。質(zhì)心的速度方向必定沿v1的方向。質(zhì)心平動(dòng)參考系m1m1m2m2V1V2V2V1c質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)質(zhì)心平動(dòng)參考系的速度V1質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)質(zhì)心平動(dòng)參考系下的速度V2在質(zhì)心參考坐標(biāo)系中，動(dòng)量守恒。故散射后質(zhì)點(diǎn)1和2的速度方向必定沿相反方向。粒子的散射在實(shí)驗(yàn)室參考系。質(zhì)點(diǎn)1散射前后的速度為v1， v1質(zhì)點(diǎn)2散射前后的速度0， v2m1m1m2m2v1實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系v2v1rVv1V1cr兩種坐標(biāo)系下的速