數(shù)學(xué)家與函數(shù)——函數(shù)的圖像化及其意義與函數(shù)符號(hào)

1、 數(shù)學(xué)家與函數(shù)函數(shù)的圖像化及其意義與函數(shù)符號(hào) 1. 笛卡兒與坐標(biāo)系文藝復(fù)興使歐洲學(xué)者繼承了 HYPERLINK /view/64778.htm t _blank 古希臘的幾何學(xué)，也接受了東方傳入的 HYPERLINK /view/556393.htm t _blank 代數(shù)學(xué)。力學(xué)技術(shù)的發(fā)展，使得用數(shù)學(xué)方法描述運(yùn)動(dòng)成為人們關(guān)心的中心問(wèn)題。笛卡兒分析了幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)的優(yōu)缺點(diǎn)，表示要去“尋求另外一種包含這兩門科學(xué)的好處，而沒(méi)有它們的缺點(diǎn)的方法”。在幾何學(xué)卷一中，他用平面上的一點(diǎn)到兩條固定直線的距離來(lái)確定點(diǎn)的距離，用坐標(biāo)來(lái)描述空間上的點(diǎn)。他進(jìn)而創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，表明了幾何問(wèn)題不僅可以歸結(jié)成為代數(shù)形式

2、，而且可以通過(guò)代數(shù)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)幾何性質(zhì)，證明幾何性質(zhì)。笛卡兒把幾何問(wèn)題化成代數(shù)問(wèn)題，提出了幾何問(wèn)題的統(tǒng)一作圖法。為此，他引入了單位線段，以及線段的加、減、乘、除、開(kāi)方等概念，從而把線段與數(shù)量聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)線段之間的關(guān)系，“找出兩種方式表達(dá)同一個(gè)量，這將構(gòu)成一個(gè)方程”，然后根據(jù)方程的解所表示的線段間的關(guān)系作圖。在卷二中，笛卡兒用這種新方法解決帕普斯問(wèn)題時(shí)，在平面上以一條直線為基線，為它規(guī)定一個(gè)起點(diǎn)，又選定與之相交的另一條直線，它們分別相當(dāng)于x軸、原點(diǎn)、y軸，構(gòu)成一個(gè)斜坐標(biāo)系。那么該平面上任一點(diǎn)的位置都可以用(x,y)惟一地確定。帕普斯問(wèn)題就化成了一個(gè)含兩個(gè)未知數(shù)的二次不定方程。笛卡兒指出，方程

3、的次數(shù)與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，因此可以根據(jù)方程的次數(shù)將曲線分類。幾何學(xué)一書提出了解析幾何學(xué)的主要思想和方法，標(biāo)志著解析幾何學(xué)的誕生。此后，人類進(jìn)入變量數(shù)學(xué)階段。在卷三中，笛卡兒指出，方程可能有和它的次數(shù)一樣多的根，還提出了著名的笛卡兒符號(hào)法則：方程正根的最多個(gè)數(shù)等于其系數(shù)變號(hào)的次數(shù)；其負(fù)根的最多個(gè)數(shù)(他稱為假根)等于符號(hào)不變的次數(shù)。笛卡兒還改進(jìn)了 HYPERLINK /view/5356.htm t _blank 韋達(dá)創(chuàng)造的符號(hào)系統(tǒng)，用a,b,c,表示已知量，用x,y,z,表示未知量。解析幾何的出現(xiàn)，改變了自古希臘以來(lái)代數(shù)和幾何分離的趨向，把相互對(duì)立著的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一了起來(lái)，使幾何曲線與代數(shù)方

4、程相結(jié)合。笛卡兒的這一天才創(chuàng)見(jiàn)，更為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，從而開(kāi)拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊領(lǐng)域。正如 HYPERLINK /view/4486.htm t _blank 恩格斯所說(shuō)：“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡兒的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)，有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要了?！痹诮馕鰩缀沃?，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對(duì)實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。坐標(biāo)系將幾何對(duì)象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對(duì)空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對(duì)于解析幾何是重要的，就是對(duì)于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。2歐拉的符號(hào)在普及教育和科研中，歐拉意識(shí)到符號(hào)的簡(jiǎn)化和規(guī)則化既有有助于學(xué)生的學(xué)習(xí)，又有助于數(shù)學(xué)的發(fā)展，所以歐拉創(chuàng)立了許多新的符號(hào)。如用sin 、cos 等表示三角