小波理論譯文

1、研究生英文文獻閱讀翻譯報告姓名：專業(yè)：導師簽字：小波理論Alan B Marc1小波理論的解釋小波理論是：通過一系列的特殊信號為一個信號、系統(tǒng)或者過程建立一個模型，并與數(shù) 學理論相結合。特別信號只是小波。它們必須振蕩和有一定振幅，并能在正負方向上很快衰 減為零。為了滿足所需的振蕩條件，必須選擇正弦信號?？焖偎p的條件是一個放緩或窗口 操作。兩個條件必須同時滿足，才能成為一個小波。小波的周期有限，而且平均值為零。不 像正弦波（傅立葉分析的基礎）是平穩(wěn)和可預見的，小波往往是不規(guī)則的和不對稱的。我們通過一系列小波來逼近一個信號，這個小波集的每個小波都是由同一個函數(shù)，即原 小波通過平移和伸縮來構建的，

2、這個函數(shù)稱為母小波。小波理論是通過把信號分解成許多相 關的部分來代替原信號。當分解的部分是分層并平移的小波時，這個過程就叫做小波分解或 小波變換。小波重構或逆小波變換就是把各部分小波集合到一起，以擷取原有的信號。作為小波變換的一個形象比喻，可以看看用星望望遠鏡觀看天空。通過一個透鏡（母小 波）在多視野（小波系數(shù)）、不同層次（焦距或者分辨率）及多視角上觀察天空。在不同的尺 度和平移（焦距和位置）上，我們得到了天空的一個新視野（小波系數(shù)）。大部分信號屬于一維信號，除了一維信號，小波分析可以應用到兩維數(shù)據（圖像）， 而且可以處理高維數(shù)據。小波分析能夠揭示數(shù)據的不同方面，其他信號分析技術，如信號的 趨

3、勢、間斷點、在較高微分量上的不連續(xù)性和自相似性，這是其他分析工具做不到的。2小波變換和傅立葉變換小波變換與較常用的傅立葉變換或傅立葉級數(shù)有關。傅立葉模型是指數(shù)函數(shù)在不同的頻 率上的函數(shù)的加權總和。每一個不同的頻率上的加權值是該頻率的傅立葉系數(shù)。類似的，小 波模型是母函數(shù)經尺度變換和平移后的函數(shù)的加權之和。小波變換中母小波取代指數(shù)函數(shù)， 尺度和平移取代頻率變換，二維小波系數(shù)取代一維傅立葉系數(shù)。有一種方法可以看看傅立葉變換和小波變換的時頻分析的差別，那就是看看時頻面上基 函數(shù)的覆蓋面。下圖所示窗口傅立葉變換（WFT），那里的窗口是方波。方波窗口截斷正弦或 余弦函數(shù)，以適應一個特定的寬度的窗口。在W

4、FT中，因為一個窗口用于所有頻率，所以在 時頻平面的各個地方該分辨率是相同的。小波變換的一個優(yōu)點是窗函數(shù)是變化的。為了識別出信號的不連續(xù)性，我們需要非常短的基函數(shù)。同樣，為了獲得詳細的頻率分析，我們需要很長的基函數(shù)。達到這種要求的途徑 之一是用短的高頻基函數(shù)和長的低頻基函數(shù)。而通過小波變換就可以達到這種要求。這個圖 顯示了 Daubechies小波在時頻面的覆蓋情況。小波變換有無窮多基函數(shù)。因此，小波能分析 其他時頻分析方法，如傅立葉分析，所處理不了的信號。小波是一種數(shù)學函數(shù)，把信號分成 不同的頻率成分，然后在不同尺度上對每部分進行分辨率分析。概括地說，傅立葉變換提供了一些信息，讓我們知道在何

5、時及在什么頻率信號發(fā)生了。 缺點是窗口大小是固定的，因此，提供的信息只有有限的精度。因此我們更喜歡用這種函數(shù): 在低頻信號處選用較大的時域窗，在高頻部分采用較小的時域窗。這是因為許多信號需要靈 活的處理方法。小波變換可以做到這一點，通過在高頻采用短函數(shù)和在低頻采用長窗函數(shù)。3小波的多分辨率分析由于小波分析可以在時間以及頻率都可以較好的局部化，它可以處理非平穩(wěn)（瞬態(tài)）信 號，即非常自然和人為作出的信號，而且更有效。因此它更緊湊，更容易實現(xiàn)。小波提供多 分辨率分析。它是這樣定義的：我們可以用不同分辨率上的各部分信號的有限和來代替一個 原信號。這樣的話，我們就可以根據應用的目的來處理各個部分信號。這

6、樣就可以緊湊的和 在不同分辨率上代替原信號，用于分解和重構的目的。對于大部分的用戶來說，這是最有趣 的問題。小波有一個或兩個參數(shù)。因為小波有這么多的約束，而且這種約束與信號無關，而 大多與數(shù)學和計算的局限性有關。因此我們不能盲目的選擇小波。小波通常是基于此進行選 擇：“如果您得到您需要的，那就是他了，如果沒有，那么嘗試其他”。最常用的實用小波 是Daubechies小波。Haar小波實際上是一個微分算子。Daubechiesl相當于Haar。如上所述，小波有一非常重要的參數(shù)。這個參數(shù)定義了兩件事：支撐長度和消失矩。支 撐長度是小波的長度，這將影響局部化的能力。小波越長，當計算任何位置的幅度時所

7、要考 慮的時間序列就越多。平均的情況會更容易發(fā)生，和DFT中的類似。消失矩的階數(shù)始終與支 撐長度成一定比例。消失矩的階數(shù)定義了序列中將被忽略的多項式階數(shù)。當我們越來越感覺到在不同尺度上測量平均值的方法更能不受噪音影響時，研究人員的 注意力開始從基于頻率分析的傅立葉變換轉到基于尺度分析的小波變換上來。首次提到我們 現(xiàn)在稱之為“小波”的東西，似乎是由阿爾弗雷德哈爾在1909年提出。JeanMorlet首次提 出以現(xiàn)在這種理論形式出現(xiàn)的小波概念。小波分析方法主要由Y. Meyer和他的同事所發(fā)展， 從而確保了小波方法的傳播。主要的方法可以追溯到1988年的Stephane Mallat的著作。從那

8、時開始，國際上開始研究小波，并以 Ingrid Daubechies Ronald Coifman 和 Victor Wickerhauser 為先鋒?；谠囼灲Y果，我們可能需要選擇任何一種小波。我們可以看看小波db1（Daubechies1）， 因為它的細節(jié)系數(shù)給出了信號的急速變化，并給出了過渡狀態(tài)（加速或者減速）。利用小波， 我們可以制定和實施一算法來分解一個信號。在小波基的空間集束性和光滑度之間，不同的 小波集需要作出不同的折中。小波變換包括一無限集合。許多小波，如Daubechies小波，都 有分形結構。小波集內部是由系數(shù)大小和迭代階數(shù)來進行區(qū)分的小波子集合。小波集內部的各個小波 是由

9、消失矩來分類的。信號處理包括以下處理：把一些物理現(xiàn)象（即反射光，緊縮肌肉，空 氣運動）變成一個“信號”（或反之亦然），決定信號的條件和處理信號以提取或編碼所 需的信息，并對提取信息進行解釋或處理。小波去噪4.1噪音在研究不同的降噪技術之前，有必要的澄清什么是噪音。真實世界的數(shù)據采集系統(tǒng)的噪 音分布是未知的。我們已經看到，小波變換在不同的應用領域，如分類，壓縮，和估計中是不可缺少的。 小波的一個關鍵性能是它能為許多不同的信號群提供不受任何影響的小波基。因此，小波擴 展中的大部分信號信息由相當數(shù)量的大小波系數(shù)所表征。小波變換的這一屬性使小波特別適 合于信號去噪。已經表明，小波可以比以前使用的方法更

10、有效地消除噪音。這個噪音可能受到幾個因素 的影響，包括傳輸?shù)闹袛啵瑪?shù)據收集的不完善，錄音質量，實驗誤差等，毫無疑問，在實際 去噪中，小波降噪會繼續(xù)影響這個領域。建立模型的目的不是預測就是分類采樣數(shù)據，在許多情況下，在問題域中可能發(fā)生自然變 化。從分散的數(shù)據中消除噪音會隨著研究的角度不同而不同。如果散亂數(shù)據沒有噪音，那么 問題將是插值。當存在信號時，大部分方法的本質是:我們能用一類提前選擇好的函數(shù)去逼近 我們想逼近的未知信號。在噪聲未知的情況下，有一些函數(shù)已經被提前選擇好進行信號逼近， 該方法被稱為“非參數(shù)回歸”。4.2小波去噪去噪經常是實現(xiàn)一個算法，來得到一個參數(shù)或者一些參數(shù)，這些參數(shù)控制著所

11、得模型的 偏差和方差的折中。方差大概和系數(shù)的個數(shù)成正比，而偏差是由略去一些不為零的系數(shù)造成 的。這些參數(shù)在一些情況下被稱為平滑參數(shù)。如果這些參數(shù)的數(shù)值都過小，則噪聲方差將是 決定性因素。如果這些參數(shù)值選擇過大，那么偏差將會占據數(shù)據內容，從而引起高頻信號的 丟失。小波變換可以用來信號降噪。這是通過在嘈雜的數(shù)據中運用小波變換，對那些低于某一 個數(shù)值的小波系數(shù)進行閾值選擇，然后逆變換得到順暢的原始數(shù)據。這個過程被Donoho和 Johnstone稱為的“小波收縮”。在許多系統(tǒng)中，會用到加性高斯白噪聲這個概念。這種噪音具有高斯概率密度函數(shù)和白 功率譜密度函數(shù)（噪音分布在整個頻譜），并且是線性疊加到我們

12、所要分析的各種信號上。那些與數(shù)據打交道的科學家與工程師在現(xiàn)實生活中所得到的信號都含有噪聲。在理想情 況下，對于很多實際應用，當噪聲小得可以忽略時，就沒有必要去噪。然而，我們常常要去除 噪聲以恢復原信號，以便于進一步分析。那么，應該在時域還是應該在變換域進行去噪呢？ 如果是在變換域，我們應該用傅立葉變換以進行時頻分析還是要用小波變換進行多分辨率分 析呢？ 一些小波的熱衷者這樣說：小波變換給當代信號與圖像處理帶來了新的革命。保守的 人則認為只是對變換庫作了一些補充。一種叫做小波收縮的去噪方法讓這些推崇者成小波就 是我們要找的方法，它擺脫了最優(yōu)化困擾，可以普遍應用。如果沒有真實的具有說服力的證 據，這些持懷疑態(tài)度的人是不會愿意接受這些說法的。另我們高興的是越來越多的文章開始 解決這一問題，從而更能客觀評價小波收縮去噪的用途。讓我們通過一系列的試驗和例子， 來研究這個小波方法。小波的應用小波理論可以應用于許多領域，如語音分析，圖像分析，生物醫(yī)學成像，理論數(shù)學，物 理，數(shù)據壓縮，通信系統(tǒng)，控制系統(tǒng)，石油勘探和地震遙感，聲納，天氣預報