六方各向異性介質本構方程課件

1、第二章 六方各向異性介質本構方程 各向異性介質的物性是通過物性矩陣來刻畫的。沉積型地層中普遍存在的基本類型是六方各向異性介質，六方各向異性中主要有 TI 、EDA 和 PTL 三種形式。 六方各向異性介質中存在一個對稱主軸，本章討論的六方各向異性介質，其主軸皆為 Z 軸；與主軸正交的平面為各向同性面。在各向同性面上，介質的速度是同性即相同的。對稱主軸空間分布的任意性可以引出方位各向異性介質。坐標旋轉是各向異性介質研究中的一個特殊的問題。坐標旋轉的核心問題是構造 6 階邦德變換矩陣。本章主要內容六方介質三種典型的物性矩陣應力應變和物性矩陣的坐標變換方位六方各向異性介質2.1 六方介質三種典型的物

2、性矩陣六方各向異性介質本構方程和物性矩陣:1、橫向各向同性介質的物性矩陣2、擴張型裂隙各向異性介質的物性矩陣3、薄互層各向異性介質的物性矩陣2.1.1 六方各向異性介質本構方程 和物性矩陣均勻彈性六方各向異性介質本構方程取單雙角標關系：說明：1.獨立的分量共5個2.Z軸為主軸的柱狀對稱介質，是六方介質的普遍特性3.規(guī)定Z軸垂直向下物性矩陣是3階零矩陣和 分別是 左上和右下三階子矩陣的分塊矩陣形式為2.1.2 橫向各向同性介質的物性矩陣（1）VTI介質另外， 是3階零矩陣，上式Z軸為對稱主軸.因此，也稱其為VTI介質(Vertical Transversely Isatmpical)，即對稱軸是

3、垂向的橫向各向同性介質，簡稱為垂向橫向各向同性介質;或垂向六方各向異性介質。分別是與介質水平性質和垂向性質有關的拉梅系數。式中，是介質的密度； 是qP波垂直于對稱軸即在各向同性面?zhèn)鞑サ乃俣龋?是qP波平行于對稱軸傳播的速度； 是與qP波有關的過渡速度； 是qS波垂直于對稱軸傳播的速度； 是qS波平行于對稱軸傳播的速度。為了與各向同性介質中的縱波和橫波區(qū)別，這里用qP和qS分別表示視縱波和視橫波,也稱為準縱波和準橫波。上述五個速度稱為本構方程的初態(tài)速度。且有用這5個參數可以引出5個速度（2）HTI介質 這種介質的對稱軸是水平的，現在取對稱軸主軸為X軸，這時介質的物性矩陣 中， 是3階零矩陣，另外

4、， （3）VTI介質+HTI介質組成單斜各向異性介質 1） VTI介質與XOZ傾斜HTI介質組成的單斜介質彈性矩陣中有13個彈性參數。初態(tài)時，若介質A即HTI介質對稱主軸是水平X軸，其各向同性面是YOZ，該對稱面含有VTI介質的對稱主軸；因此，這時的介質具有一個垂向的XOZ對稱面。當XOZ面繞Y軸旋轉角度時，則介質的對稱主軸已不再是水平，且其對稱面內不再包含VTI介質的對稱主軸，從而使介質表現為單斜各向異性。2）各向同性與微褶皺表面的垂直裂隙組合 這種模型是Schoenberg等（1989，1995）根據線性滑動理論建立的。裂隙的法向與X軸平行，具有一個垂直對稱面。微褶皺的含義是指裂隙表面在小

5、于地震波波長尺度上觀測是不規(guī)則的。這種不規(guī)則性可以視為一個鋸齒狀的剖面，裂隙表面的小褶皺之間相互有一定的錯動，從側面看呈鋸齒狀。 裂隙表面的不規(guī)則性是相對于垂向而言的，這種不規(guī)則性使得裂隙受到外力的作用時，在法向和切向上位移之間產生相互的聯系，從而使介質表現為單斜各向異性。彈性矩陣中有12彈性參數。介質的物性矩陣如下： 3）各向同性與兩組非正交的垂直裂隙組合 在各向同性介質背景下，存在兩組非正交的HTI介質（據Grechka等，2000）。彈性矩陣中有13個彈性參數，矩陣如下六方介質三種典型的物性矩陣六方各向異性介質本構方程和物性矩陣橫向各向同性介質的物性矩陣擴張型裂隙各向異性介質的物性矩陣薄

6、互層各向異性介質的物性矩陣（1）流體型EDA介質 這種模型介質裂隙內充填物質是流體。其物性矩陣 中，子矩陣2.1.3 擴張型裂隙各向異性介質的物性矩陣其中， 和 是均勻彈性各向同性介質中縱波和橫波的傳播相速度。 是裂隙參數； 是裂隙密度，它表示半徑為b的球體內所含裂隙的數目； 是單位球體內裂隙的數目。是3階零矩陣（2）氣體型EDA介質是3階零矩陣六方介質三種典型的物性矩陣六方各向異性介質本構方程和物性矩陣橫向各向同性介質的物性矩陣擴張型裂隙各向異性介質的物性矩陣薄互層各向異性介質的物性矩陣薄互層各向異性介質即PTL（Periodic Thin-Layers）介質，這種介質模型首先由帕斯特瑪（P

7、ostman，1955）提出，懷特（White，1983）指出其物性矩陣是是3階零矩陣2.1.4 薄互層各向異性介質的物性矩陣2.2 應力應變和物性矩陣的坐標變換三階和六階變換矩陣邦德矩陣及其變換六階矩陣變換的結構和構造方法應變矩陣的六階變換矩陣物性矩陣的坐標變換令變換前老坐標系下的應力矩陣是 或 ，變換后新坐標系下的應力矩陣是 或 。按照第一篇應力和應變矩陣單雙角標關系，有總是存在下面的3階正交變換矩陣2.2.1 三階和六階變換矩陣邦德矩陣及其變換使得：展開于是有同理然后把應力分量按單角標形式整理成或等價應力應變和物性矩陣的坐標變換三階和六階變換矩陣邦德矩陣及其變換六階矩陣變換的結構和構造方

8、法應變矩陣的六階變換矩陣物性矩陣的坐標變換把 對應的6階M變換矩陣劃分成 四個3階子塊矩陣。2.2.2 六階變換矩陣的結構和構造方法（1）六階變換矩陣M的結構和構造方法子矩陣的構造子矩陣的構造子矩陣的構造子矩陣的構造是正交矩陣（2）六階變換矩陣 的結構和構造方法采用構造M的方法可以得到6階變換矩陣 ，它滿足把 式代入上式，得到同理得到于是得到關系 由 派生而來，方法和M的構造等同。三階和六階變換矩陣邦德矩陣及其變換六階矩陣變換的結構和構造方法應變矩陣的六階變換矩陣物性矩陣的坐標變換應力應變和物性矩陣的坐標變換科西方程 有兩種表示形式，做應力矩陣變換時也有同樣的問題第一種情況：應力矩陣的非對角線

9、元素表達式系數為“1/2”時，即應變的變換滿足只要把矩陣 中元素 的角標對換就可以得到2.2.3 應變矩陣的六階變換矩陣第二種情況：應變矩陣的非對角線元素表達式中系數為“1”時，即應變的變換滿足應力應變和物性矩陣的坐標變換三階和六階變換矩陣邦德矩陣及其變換六階矩陣變換的結構和構造方法應變矩陣的六階變換矩陣物性矩陣的坐標變換2.2.4 物性矩陣的坐標變換2.3 方位六方各向異性介質直角坐標系中繞三個坐標軸的旋轉變換直角坐標系任意方向的旋轉變換繞Z軸的旋轉變換直角坐標系下物性矩陣為D，有3階變換矩陣是：繞Y軸的旋轉變換直角坐標系下物性矩陣為D，有3階變換矩陣是：繞X軸的旋轉變換直角坐標系下物性矩陣

10、為D，有3階變換矩陣是： 一般情況下，變換前后物性矩陣中的元素表達形式不同了，原先為零的矩陣元素，有一些元素現在不是零了。對各向同性介質而言，變換前后的物性矩陣是相等的；由此可以知道，研究各向同性介質中地震波傳播規(guī)律時，與坐標系的選擇沒有關系。對各向異性介質，變換前后的物性矩陣是不相同的；研究各向異性介質中地震波傳播規(guī)律時，與坐標系的選擇有密切關系；波的傳播特點與波傳播方向有關系。方位六方各向異性介質直角坐標系中繞三個坐標軸的旋轉變換直角坐標系任意方向的旋轉變換 由空間解析幾何知識可以知道，凡是直角坐標系的任意轉動都能通過繞不同坐標軸的相繼旋轉來完成，下面說明其中的兩種實現方式。第一種方式。第1步，繞原坐標系的 Z 軸逆時針旋轉 角度。第2步，繞第一步變換后得到的 Y 軸逆時針旋轉 角。第3步，再繞第二步后得到的 X 軸逆時針旋轉 角度。三次坐標