大學(xué)高等數(shù)學(xué)ppt課件第二章4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用PPT課件

1、第四節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)的單調(diào)性的判別學(xué)習(xí)重點(diǎn)函數(shù)極值及最值的確定方法曲線凹凸向的判別及拐點(diǎn)的確定第一頁，共26頁。函數(shù)(hnsh)的單調(diào)性 yxoabyoabx函數(shù)(hnsh)單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)(dndio)遞減，則由Lagrange中值定理：于是有函數(shù)單調(diào)性的判別定理第二頁，共26頁。函數(shù)單調(diào)性的判別(pnbi)定理（1） 如果函數(shù) 在 內(nèi)有 ，則函數(shù)在 上是單調(diào)遞增的。（2） 如果函數(shù) 在 內(nèi)有 ，則函數(shù)在 上是單調(diào)遞減的。設(shè)函數(shù) 在 上連續(xù)，在 內(nèi)可導(dǎo)，則第三頁，共26頁。例1 求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間解 因為令得駐點(diǎn)當(dāng) 時，不存在列表(li bio)：000第四頁，共26頁。 所以，函數(shù)在

2、 及 內(nèi)單調(diào)遞增，在 內(nèi)單調(diào)遞減。續(xù)例1：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法(fngf)：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）將上述點(diǎn)插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)數(shù)的符號；（4）根據(jù)單調(diào)性的判別定理，確定單調(diào)區(qū)間。 小結(jié)：駐點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）或一階導(dǎo)數(shù)不存在(cnzi)的點(diǎn)可將單調(diào)區(qū)間分開。第五頁，共26頁。例5 證明不等式證明 令則所以，當(dāng) 時，不等式 成立。第六頁，共26頁。證明(zhngmng)：證（1） （2）第七頁，共26頁。函數(shù)(hnsh)的極值極值的概念：如果函數(shù) 在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)任意異于 點(diǎn)的 ，都有 ，則稱為函數(shù)的一個極

3、小值；如果有 ，則稱 為函數(shù)的一個極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。 由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖象上會出現(xiàn)(chxin)“峰”與“谷”，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)(chxin)“最大”、“最小”，稱之為函數(shù)的極大、極小值。例如-13第八頁，共26頁。 函數(shù)的極值是一個局部特性(txng)，最值是全局特性(txng)（1）函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可能既無極大值，也無極小值； 如函數(shù)Y=x 在區(qū)間 1，2 內(nèi)既無極大值，也無極小值。（2）可以缺少其一； 如 y=x2 在區(qū)間 -1，2 內(nèi)，只有極小值。（3）極小值可以大于極大值，如某種股票的交易價格函

4、數(shù)；（4）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得。函數(shù)(hnsh)的極值說明第九頁，共26頁。極值存在(cnzi)的必要條件（費(fèi)馬定理） 如果函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，且在點(diǎn) 處有極值，則導(dǎo)數(shù)(do sh)為零的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得(qd)極值時，則在該點(diǎn)的切線平行于x軸。函數(shù)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)。費(fèi)馬定理的逆定理不成立。第十頁，共26頁。極值存在的第一(dy)充分條件設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某個鄰域內(nèi)可導(dǎo)（點(diǎn) 可除外）則 在點(diǎn) 處取得極大值；則 在點(diǎn) 處取得極小值；則 在點(diǎn) 處無極值；第十一頁，共26頁。極小值-1/2極大值0+0_不存在+(1,+)1(0,1)0(-,0)單調(diào)(dndio)增區(qū)間

5、為(-,0)和(1,+)單調(diào)(dndio)減區(qū)間為(0,1)f (0)=0為極大值；f (1)=-1/2 為極小值 o1練習(xí)(linx)解第十二頁，共26頁。極值存在(cnzi)的第二充分條件第十三頁，共26頁。例1 求函數(shù) 的極值解 因為(yn wi)所以(suy)，函數(shù)有駐點(diǎn)而所以(suy)所以，函數(shù)有極大值 ，有極小值 。 注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時，使用第二充分條件判別極值較易；而二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，必須用第一充分條件判別。第十四頁，共26頁。函數(shù)(hnsh)的最大值與最小值由極小值的特性(txng)，可知：極小值 最小值；極大值 最大值 已有結(jié)論：如果函數(shù)在 a,

6、b上連續(xù)(linx)，則函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。求函數(shù)最值的一般步驟與方法（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存 在的點(diǎn)；（3）計算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值。第十五頁，共26頁。例2 求函數(shù) 在 上的最值。解 因為(yn wi)令得而所以函數(shù) 在 上的最大值是最小值是第十六頁，共26頁。例3（應(yīng)用題）某細(xì)菌群體的數(shù)量N(t)是由下列函數(shù)模型確定： 其中t是時間，以周為單位。試問細(xì)菌的群體在多少周后數(shù)量最大，其最大數(shù)量的多少？解 因為(yn w

7、i)令得（舍去負(fù)值(f zh)）由問題的實際意義，可知 時，細(xì)菌群體的數(shù)量最大，其數(shù)量為 一般(ybn)地，對于實際應(yīng)用問題，如果可以判斷目標(biāo)函數(shù)的最值存在，函數(shù)在定義域內(nèi)又只有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)。第十七頁，共26頁。曲線的凹凸(o t)向及拐點(diǎn) yxoabyoabx 定義 如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的上方(shn fn)，則稱該曲線弧是（向上）凹的（concave)； 如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線弧是（向上）凸的(convex)凹弧凸弧凹、凸弧的分界點(diǎn)，稱為曲線(qxin)的拐點(diǎn)(inflection point)。 第十八頁，共26頁。凹凸(o t)弧

8、的判別定理定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)間 上具有二階導(dǎo)數(shù) ，則在該區(qū)間上：（1）當(dāng) 時，曲線弧 是向上凹的；（2）當(dāng) 時，曲線弧 是向上凸的。第十九頁，共26頁。解 函數(shù)的定義域為 例1 求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。令得列表(li bio)因為(yn wi)第二十頁，共26頁。所以，曲線在 及 內(nèi)是向上凹的，在 內(nèi)是向上凸的，有拐點(diǎn) 及 。解 函數(shù)的定義域為 例1 求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。令得因為(yn wi)第二十一頁，共26頁。例2 求曲線 的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。 解 因為 所以，當(dāng) 時， ，當(dāng) 時，所以，曲線在 內(nèi)是向上凹的，在 內(nèi)是向上凸的。有拐點(diǎn) 。 小結(jié)：二階導(dǎo)數(shù)為零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，是可能

9、的拐點(diǎn)；這類點(diǎn)可能將凹凸區(qū)間分開，但不是(b shi)絕對分開。如曲線 ，在 內(nèi)是向上凹的，雖然但 不是拐點(diǎn)。第二十二頁，共26頁。微分(wi fn)法作圖 曲線的漸近線：如果曲線 上的點(diǎn)M沿曲線離坐標(biāo)原點(diǎn)無限遠(yuǎn)移時，點(diǎn)M與某一條直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線 的一條漸近線。 （1）若 或 則 為曲線的垂直漸近線。 （2）若 或 則 為曲線的水平漸近線。 （3）若 ，則 為曲線的斜漸近線。 第二十三頁，共26頁。微分(wi fn)法作圖函數(shù)的微分法作圖的一般步驟：（1）求出函數(shù)f(x)的定義域，確定圖形的范圍；（2）討論函數(shù)的奇偶性和周期性，確定圖形的對稱性和周期性；（3）找出漸近線，確定圖形的變化趨勢；（4）計算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，并找出使一階或二階導(dǎo)數(shù)為 零的點(diǎn)，及一階或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（5）將上述點(diǎn)插入到定義域，列表討論函數(shù)的單調(diào)性、曲線的 凹凸向，確定函數(shù)的極值和曲線的拐點(diǎn)；（6）適當(dāng)選取(xunq)一些輔助點(diǎn)，一般常找出曲線和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)；（7）畫圖。第二十四頁，共26頁。例4 作函數(shù)