求最值問題 (2)

1、題型十一二次函數的實際應用題類型一最大利潤問題例1(2018盤錦)鵬鵬童裝店銷售某款童裝，每件售價為60元，每星期可賣100件，為了促銷，該店決定降價銷售，經市場調查反映：每降價1元，每星期可多賣10件已知該款童裝每件成本30元設該款童裝每件售價x元，每星期的銷售量為y件(1)求y與x之間的函數關系式(不求自變量的取值范圍)；(2)當每件售價定為多少元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤是多少？(3)當每件童裝售價定為多少元時，該店一星期可獲得3 910元的利潤？若該店每星期想要獲得不低于3 910元的利潤，則每星期至少要銷售該款童裝多少件？【解答過程】解：(1)y10010(60 x)10 x

2、700；(2)設每星期利潤為W元，W(x30)(10 x700)10(x50)24 000.當x50時，W最大值4 000.每件售價定為50元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤4 000元；(3)由題意得10(x50)24 0003 910解得x53或47.當每件童裝售價定為53元或47元時，該店一星期可獲得3 910元的利潤由題意，10(x50)24 0003 910，解得47x53，y10 x700.170y230，每星期至少要銷售該款童裝170件本題考查二次函數的應用，一元二次不等式，解題的關鍵是構建二次函數解決最值問題，屬于中考常考題型(1)根據售量y(件)與售價x(元/件)之間的函數

3、關系即可得到結論(2)設每星期利潤為W元，構建二次函數，利用二次函數性質解決問題(3)根據方程即可解決問題；列出不等式先求出售價的范圍，即可解決問題類型二最優(yōu)方案問題例2某年我國多地出現霧霾天氣，某企業(yè)抓住商機準備生產空氣凈化設備，該企業(yè)決定從以下兩個投資方案中選擇一個進行投資生產方案一：生產甲產品，每件產品成本為a元(a為常數，且40a100)，每件產品銷售價為120元，每年最多可生產125萬件；方案二：生產乙產品，每件產品成本價為80元，每件產品銷售價為180元，每年可生產120萬件，另外，年銷售x萬件乙產品時需上交0.5x2萬元的特別關稅，在不考慮其它因素的情況下：(1)分別寫出該企業(yè)兩

4、個投資方案的年利潤y1(萬元)，y2 (萬元)與相應生產件數x(萬件)(x為正整數)之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；(2)分別求出這兩個投資方案的最大年利潤；(3)如果你是企業(yè)決策者，為了獲得最大收益，你會選擇哪個投資方案？【解答過程】解：(1)由題意得y1(120a)x(1x125，x為正整數)，y2100 x0.5x2(1x120，x為正整數)；(2)40a100，120a0，即y1隨x的增大而增大，當x125時，y1最大值(120a)12515 000125a(萬元)；y20.5(x100)25 000，0.50，當x100時，y2最大值5 000萬元；(3)由15 00012

5、5a5 000，a80，當40a80時，選擇方案一；由15 000125a5 000，得a80，當a80時，選擇方案一或方案二均可；由15 000125a5 000，解得a80，當80a100時，選擇方案二此題屬于一次函數和二次函數的綜合應用題，考查利用數學知識解決實際問題(1)根據題意直接得出y1與y2與x的函數關系式即可(2)根據a的取值范圍可知y1隨x的增大而增大，可求出y1的最大值因為0.50，可求出y2的最大值(3)第三問要分情況決定選擇方案一還是方案二類型三拋物線型問題例3(2018濱州)如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線如果不考慮空氣阻力，小球的

6、飛行高度y(單位：m)與飛行時間x(單位：s)之間具有函數關系y5x220 x，請根據要求解答下列問題：(1)在飛行過程中，當小球的飛行高度為15 m時，飛行時間是多少？(2)在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是多少？(3)在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？例3題圖【解答過程】解：(1)當y15時，155x220 x，解得x11，x23.答：在飛行過程中，當小球的飛行高度為15 m時，飛行時間是1 s或3 s；(2)當y0時，05x220 x，解得x10，x24，404，在飛行過程中，小球從飛出到落地所用時間是4 s；(3)y5x220 x5(x2)220，當x2時，y取

7、得最大值，此時y20.答：在飛行過程中，小球飛行高度第2 s時最大，最大高度是20 m.本題考查二次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質解答(1)根據題目中的函數解析式，令y15即可解答本題(2)令y0，代入題目中的函數解析式即可解答本題(3)將題目中的函數解析式化為頂點式即可解答本題類型四面積最值問題例4(2018福建)如圖，在足夠大的空地上有一段長為a m的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中ADMN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100 m木欄(1)若a20，所圍成的矩形菜園的面積為450 m2，求所利用舊墻AD的長；(2)求矩形菜園ABCD面積的最大值例4題圖【解答過程】解：(1)設ABx m，則BC(1002x)m，根據題意得x(1002x)450，解得x15，x245，當x5時，1002x9020，不合題意舍去；當x45時，1002x10.答：AD的長為10 m；本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是通過幾何性質確定出二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實