橫截面上的應(yīng)力三課件

1、第四章 扭轉(zhuǎn)4.1 概述（目錄）4.1 概 述一、定義二、工程實(shí)例三、兩個(gè)名詞4.1 概述一、定義一、定義 變形形式，扭轉(zhuǎn)變形 作用下，桿的各橫截面產(chǎn)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)的在一對(duì)大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶矩簡(jiǎn)稱扭轉(zhuǎn)。4.1 概述二、工程實(shí)例鉆床的鉆桿二、工程實(shí)例鉆床的鉆桿4.1 概述二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸4.1 概述二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸4.1 概述二、工程實(shí)例機(jī)器中的傳動(dòng)軸二、工程實(shí)例軸4.1 概述二、工程實(shí)例直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸二、工程實(shí)例直升機(jī)的旋轉(zhuǎn)軸4.1 概述二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)向軸二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)向柱管4.1 概述二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)

2、向軸二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)向柱管4.1 概述二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)向軸二、工程實(shí)例汽車的轉(zhuǎn)向柱管4.1 概述三、兩個(gè)名詞三、兩個(gè)名詞外扭矩(Me)使得桿產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的外力偶矩扭轉(zhuǎn)角( )兩個(gè)橫截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角第四章 扭轉(zhuǎn)4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形（目錄）4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一、橫截面上的內(nèi)力二、橫截面上的應(yīng)力三、扭轉(zhuǎn)變形4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形一、橫截面上的內(nèi)力一、橫截面上的內(nèi)力 扭矩矢量指離截面為 + ，指向截面為 - 。符號(hào)規(guī)定：用矢量表示，采用右手螺旋法則：繞軸線旋轉(zhuǎn)的由截面法扭矩(T)內(nèi)力偶矩4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形扭矩圖 扭矩圖扭矩沿軸線的變化圖線

3、 2.正值畫在上方，負(fù)值畫在下方。扭矩圖的畫法： 1.橫軸表示橫截面位置，縱軸表示扭矩；一、橫截面上的內(nèi)力4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例1（1.求扭矩AB段）例1 某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，1.求扭矩解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。 對(duì)AB段：(設(shè)正法) 例1（1.求扭矩BC段） 對(duì)BC段：例1 某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，1.求扭矩解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形 對(duì)AB段：(設(shè)正法) 4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例1（2.畫扭矩圖）2.

4、畫扭矩圖例1 某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，1.求扭矩解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。 對(duì)AB段： 對(duì)BC段：(設(shè)正法) 例1（3.討論）(1)畫扭矩圖的規(guī)律4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例1 某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，解： MeB=1000Nm，MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。3.討論 從左到右，上上下下。例1（3.討論）結(jié)論： 為了減小傳動(dòng)軸內(nèi)的扭矩，應(yīng)合理的安排主動(dòng)輪與從動(dòng)輪的位置。(2)將輪B與輪C的位置對(duì)調(diào)4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形例1 某傳動(dòng)軸受力如圖所示，已知：MeA=350Nm，解： M

5、eB=1000Nm，MeC=650Nm。試畫此軸的扭矩圖。3.討論(1)畫扭矩圖的規(guī)律 從左到右，上上下下。4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（1.實(shí)驗(yàn)分析）二、橫截面上的應(yīng)力剛性平截面假設(shè)：1.實(shí)驗(yàn)分析 橫截面在變形后仍保持為平面，且形狀和大小不變，半徑仍保持為直線。推論：橫截面上沒有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。變形現(xiàn)象： 任意兩個(gè)橫截面之間的距離沒有改變，相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)了一個(gè)角度4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（2.應(yīng)力公式推導(dǎo)（1）變形幾何方面）2.應(yīng)力公式推導(dǎo) 取微段dx研究式中(1)變形幾何方面單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角即： (1)對(duì)給定的橫截面，與成正比。二、橫截面上的

6、應(yīng)力4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（2.應(yīng)力公式推導(dǎo)（2）物理方面）(2)物理方面 由剪切胡克定律即： 的方向：與半徑垂直 (2)對(duì)給定的橫截面，與成正比。二、橫截面上的應(yīng)力 與轉(zhuǎn)向一致4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（2.應(yīng)力公式推導(dǎo)（3）靜力學(xué)方面）(3)靜力學(xué)方面由合力矩定理即：式中 GIp圓桿的抗扭剛度 (3) 反映了圓桿抵抗彈性扭轉(zhuǎn)變形的能力二、橫截面上的應(yīng)力4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（2.應(yīng)力公式推導(dǎo)切應(yīng)力公式） 將(3)式代入(2)式，得到式中 T 所求切應(yīng)力點(diǎn)的橫截面 所求切應(yīng)力點(diǎn)到圓心的距離 上的扭矩注意：切

7、應(yīng)力公式的適用范圍：max p Ip橫截面對(duì)圓心O的極慣性矩二、橫截面上的應(yīng)力4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（3.最大切應(yīng)力）3.最大切應(yīng)力即：式中與橫截面的形狀和尺寸有關(guān)，是橫截面的幾何性質(zhì)二、橫截面上的應(yīng)力抗扭截面系數(shù)單位：m34.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形二、橫截面上的應(yīng)力（極慣性矩環(huán)形截面）常用截面的抗扭截面系數(shù)(1)環(huán)形截面(2)圓形截面 在環(huán)形截面中，令 = 0，得到4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形三、扭轉(zhuǎn)變形（1.單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角）三、扭轉(zhuǎn)變形1.單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角單位：rad/m 由(3)式，即4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形三、扭轉(zhuǎn)變形（2.扭轉(zhuǎn)角）2

8、.扭轉(zhuǎn)角 相距 dx 的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為 相距 l 的兩橫截面間的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為單位：rad三、扭轉(zhuǎn)變形4.2 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和變形三、扭轉(zhuǎn)變形（2.扭轉(zhuǎn)角）對(duì)于扭矩為常量的等直圓桿對(duì)于扭矩分段為常量等直圓桿或等直階梯圓桿注意：變形公式的適用范圍：maxp三、扭轉(zhuǎn)變形第四章 扭轉(zhuǎn)4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度的計(jì)算（目錄）4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度一、外扭矩的計(jì)算二、強(qiáng)度條件三、剛度條件 和剛度的計(jì)算四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題*4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算一、外力偶矩的計(jì)算一、外扭矩的計(jì)算 n 轉(zhuǎn)速， 單位：r/min P 傳遞功率， 單位：kW式中由此可見：汽車上坡應(yīng)該用

9、慢擋。4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算二、強(qiáng)度條件二、強(qiáng)度條件式中材料的許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力1.強(qiáng)度條件 (2)選擇截面； (1)校核強(qiáng)度； (3)確定許用載荷。2.強(qiáng)度計(jì)算的三類問題4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算三、剛度條件三、剛度條件式中許用單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角，常用單位：/m。1.剛度條件 (2)選擇截面； (1)校核剛度； (3)確定許用載荷。2.剛度計(jì)算的三類問題4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例2例2 一直徑為D1的實(shí)心圓軸和另一外徑為 D2、內(nèi)徑為d2 許用扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力= 50MPa。若兩軸在兩端承受相 (d2/D2 = 0.8)的空心圓軸，長(zhǎng)度和所用材料均相同， 同的外扭

10、矩均為Me = 5kN.m作用，試求： 1.兩軸所用的材料之比； 2.兩軸的重量相同時(shí)，兩軸的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比。4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例2（1.求直徑求Wp）解：1.求兩軸所用的材料之比 由強(qiáng)度條件可得 (1)求D1、D2和d24.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例2（1.求直徑求D1、D2、d2） a)實(shí)心圓軸 b)空心圓軸4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例2（1.求直徑（3）所用材料之比）(2)所用材料之比即：兩軸的橫截面面積之比計(jì)算表明：空心軸比實(shí)心軸省材4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例2（2.求相對(duì)扭轉(zhuǎn)角之比）2.求兩軸的重量相同時(shí)兩軸的最大相對(duì)扭轉(zhuǎn)角

11、之比 兩軸的重量相同，即A實(shí)= A空，故由得到，于是有計(jì)算表明：空心軸的扭轉(zhuǎn)變形比實(shí)心軸小4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例2（結(jié)論）結(jié)論： 在扭轉(zhuǎn)變形中，采用空心軸比采用實(shí)心軸合理。4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例3（1.計(jì)算外扭矩）例3 某傳動(dòng)軸的轉(zhuǎn)速為 n = 183.5r/min，輸出功率為 = 40MPa， = 1.5/m。試設(shè)計(jì)軸的直徑 d。 PA = 0.756kW，PC = 2.98kW，材料的 G = 80GPa，解：1.計(jì)算外扭矩由，得到4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例3（2.畫扭矩圖，3.按強(qiáng)度條件求d）2.畫扭矩圖，確定危險(xiǎn)截面由扭矩圖可知由和3.

12、按強(qiáng)度條件求 d得到4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例3（4.按剛度條件求d）4.按剛度條件求 d由和得到 取 d = 29.5 mm。 可見：此軸的直徑是由剛度條件控制的4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題四、扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題僅由平衡方程不能求出支反力偶矩 1.平衡方程； 或扭矩的扭轉(zhuǎn)問題解扭轉(zhuǎn)超靜定問題需要從三方面考慮，即： 2.變形協(xié)調(diào)方程； 3.物理方程。4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例4（1.求支反力偶矩）例4 兩端固定的階梯形圓軸AB，在C處作用一外力 試求軸兩端的支反力偶矩和C截面的扭轉(zhuǎn)角C。 偶矩。已知CB段軸的抗扭剛度為AC段的二

13、倍，解：1.求支反力偶矩(1)平衡方程(2)變形協(xié)調(diào)方程(3)物理方程 (1) (2) (3)為一次超靜定問題4.3 等直圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算例4（2.求扭轉(zhuǎn)角） 將(3)式代入(2)式，并考慮到由(1)和(4)式求得可得 (4)2.求C截面的扭轉(zhuǎn)角第四章 扭轉(zhuǎn)4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)（目錄）4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念（1.實(shí)驗(yàn)分析）一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念1.實(shí)驗(yàn)分析4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念（1.實(shí)驗(yàn)分析）一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念1.實(shí)驗(yàn)分析變形現(xiàn)象：橫向和周向線已變成

14、空間曲線實(shí)驗(yàn)表明：矩形截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持為平面 即：發(fā)生翹曲4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念（2.非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的類型）一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念2.非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的類型自由扭轉(zhuǎn)各橫截面的翹曲不受任何限制的扭轉(zhuǎn) 即：橫截面上只有切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)各橫截面的翹曲受到約束限制的扭轉(zhuǎn) 各橫截面的翹曲程度不同 各橫截面的翹曲程度相同 即：橫截面上不僅有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)（切應(yīng)力分布特點(diǎn)1）二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分布特點(diǎn)： (1)橫截面周邊上各點(diǎn)的切應(yīng)力 方向與周邊相切； (2)橫截面四個(gè)角點(diǎn)上的切應(yīng)力 為零。4

15、.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)（切應(yīng)力分布特點(diǎn)2）根據(jù)彈性力學(xué)的分析結(jié)果，可知： (1)切應(yīng)力沿橫截面周邊形成與 (2)最大切應(yīng)力發(fā)生在長(zhǎng)邊中點(diǎn)短邊中點(diǎn)的切應(yīng)力為 T 同向順流二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)（單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角）單位長(zhǎng)度扭轉(zhuǎn)角為式中矩形截面桿的抗扭剛度 、是與 h/b 有關(guān)的系數(shù)，如表4-1所示。二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)4.4 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)（狹長(zhǎng)矩形截面桿）對(duì)于h/b10 的狹長(zhǎng)矩形截面桿： = = 1/3， = 0.74故二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)第四章 扭轉(zhuǎn)4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算（目錄）4.

16、5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧二、彈簧的內(nèi)力三、彈簧的應(yīng)力四、彈簧的變形4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧 螺旋角d 簧絲橫截面的直徑密圈螺旋彈簧 螺旋角5時(shí)的圓柱形彈簧R 彈簧圈的平均半徑4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算一、密圈螺旋彈簧一、密圈螺旋彈簧4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算二、彈簧的內(nèi)力二、彈簧的內(nèi)力 用過彈簧軸線O-O的截面將彈簧截開4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算二、彈簧的內(nèi)力（剪力和扭矩）二、彈簧的內(nèi)力 用過彈簧軸線O-O的截面，將彈簧截開可近似地認(rèn)為： 該截面為彈簧的橫截面 剪力 扭矩4.5 密圈螺旋彈

17、簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力（1.FQ對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力）三、彈簧的應(yīng)力1.FQ 對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力1 按照實(shí)用計(jì)算法則， 認(rèn)為1在橫截面上均勻分布即：4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力（2.T對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力）三、彈簧的應(yīng)力2.T 對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力2 認(rèn)為2在橫截面上的分布與等直圓桿相同即：4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力（3.FQ和T對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力）三、彈簧的應(yīng)力3.FQ 和 T 對(duì)應(yīng)的切應(yīng)力 等于1和2的矢量和4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力（4.最大切應(yīng)力）三、彈簧的應(yīng)力4.最大切應(yīng)力 max即： max發(fā)生在截面的內(nèi)側(cè)B點(diǎn)處4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力（4.最大切應(yīng)力修正公式）

18、 當(dāng)考慮彈簧曲率的影響時(shí)式中 修正系數(shù) 彈簧指數(shù)三、彈簧的應(yīng)力4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算三、彈簧的應(yīng)力（5.強(qiáng)度條件）5.彈簧的強(qiáng)度條件式中 彈簧材料的許用切應(yīng)力三、彈簧的應(yīng)力4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形四、彈簧的變形彈簧的變形彈簧在軸向拉(或壓)力作用下沿彈簧 軸線O-O的伸長(zhǎng)(或縮短)4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形（取微段）四、彈簧的變形 取出微段ds就是簧桿的橫截面 忽略FQ的影響 近似認(rèn)為微段兩端的截面4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形（1.微段的變形）四、彈簧的變形1.微段ds的變形4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形（2.整個(gè)彈簧的變形）四、彈簧的變形2.整個(gè)彈簧的變形彈簧的有效圈數(shù)(n)考慮支承的影響，扣除兩端 與簧座接觸部分后的圈數(shù)彈簧簧桿的有效長(zhǎng)度(s)彈簧展開后的長(zhǎng)度即：兩個(gè)名詞：4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算四、彈簧的變形（彈簧剛度）四、彈簧的變形令上式可寫成式中K彈簧剛度，反映了彈簧抵抗彈性變形的能力即：使彈簧產(chǎn)生單位長(zhǎng)度彈性變形所需要的力 可通過改變d、R、n和G來調(diào)整， 單位：N/m。4.5 密圈螺旋彈簧的計(jì)算例5（1.校核彈簧強(qiáng)度）1.