《統(tǒng)計學(xué)概論》第四章-統(tǒng)計指標(biāo)課件

1、. 一、平均指標(biāo)概述 二、算術(shù)平均數(shù) 三、調(diào)和平均數(shù) 四、幾何平均數(shù) 五、眾數(shù)和中位數(shù) 第二節(jié) 平均指標(biāo) （一）平均指標(biāo)的概念 平均指標(biāo)是反映總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在一定時間、地點(diǎn)條件下一般水平的綜合指標(biāo)。例如：工人總體獎金額（元）數(shù)量標(biāo)志460 520 600 700 850標(biāo)志值=（460 + 520 + 600 + 700 + 850）/ 5平均獎金= 626（元）工人姓名 甲 乙 丙 丁 戊 一、平均指標(biāo)概述 （二）平均指標(biāo)的特點(diǎn) 即它是某一數(shù)量標(biāo)志在各單位之間的數(shù)量差異抽象化了的數(shù)值。1.它是一個抽象值；2.它是一個代表值； 即它用一個數(shù)值來代表總體各單位某一數(shù)量標(biāo)志在具體時間地點(diǎn)條

2、件下的一般水平。表 某班學(xué)生統(tǒng)計學(xué)考試成績按考分分組（分）組中值（分）學(xué)生數(shù) （人） 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 55 65 75 85 95 5 15 18 10 2 合 計 50平均考分= 72.8（分）數(shù)據(jù)分布集中趨勢是指一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，也就是次數(shù)分布最多的數(shù)值。測度集中趨勢也就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的代表值或中心值。集中趨勢一般用平均指標(biāo)來表示。平均指標(biāo)3.它反映總體（各單位標(biāo)志值）分布的集中趨勢。 （三）平均指標(biāo)的種類1.按計算方法不同2.按反映時間不同平均指標(biāo)種類算術(shù)平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù) 幾何平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù) 動態(tài)平均數(shù)靜態(tài)平均數(shù)數(shù)

3、值 平均數(shù) （位置平均數(shù)） 算術(shù)平均數(shù)的基本公式。（一）算術(shù)平均數(shù)的基本公式和計算條件工人姓名 甲 乙 丙 丁 戊工人總體例如： 460 520 600 700 850獎金額（元）數(shù)量標(biāo)志數(shù)量標(biāo)志值總體標(biāo)志總量 總體單位總量 平均獎金額= 626（元） 二、算術(shù)平均數(shù) 算術(shù)平均數(shù)的計算條件： 基本公式的分子（總體標(biāo)志總量）與分母（總體單位總量）在數(shù)量上存在著直接的對應(yīng)關(guān)系，即其分子（總體標(biāo)志總量）數(shù)值要隨著分母（總體單位總量）數(shù)值的變動而變動。 算術(shù)平均數(shù)的這一計算要求也是平均指標(biāo)與強(qiáng)度相對指標(biāo)的主要區(qū)別之一。例如：在2004年:我國人均鋼產(chǎn)量 = 年鋼產(chǎn)量/年（平均）人口總數(shù) = 29723

4、.1萬噸/129607.5萬人= 229公斤/人（強(qiáng)度相對指標(biāo)） 某廠工人平均獎金額 = 獎金額總額 / 工人總數(shù) = 3130 / 5 = 626（元）（平均指標(biāo)）有的強(qiáng)度相對指標(biāo)帶有平均的含義；計量單位是雙重單位；其分子與分母在數(shù)量上不存在著直接的對應(yīng)關(guān)系。 判斷下列指標(biāo)哪些屬于平均指標(biāo)，哪些屬于強(qiáng)度相對指標(biāo)：課堂練習(xí)：A.人均擁有糧食產(chǎn)量 B.人均教育經(jīng)費(fèi) C.單位產(chǎn)品成本 D.某企業(yè)生產(chǎn)工人勞動生產(chǎn)率強(qiáng)度相對指標(biāo)與算術(shù)平均數(shù)的區(qū)別： 兩者的含義不同； 兩者的計算方法不同。1、簡單算術(shù)平均法計算公式：其中： 代表算術(shù)平均數(shù)，xi代表各單位標(biāo)志值（變量值），n代表總體單位數(shù)（項數(shù)）。適用條

5、件： 原始資料（或資料未分組）； 各變量出現(xiàn)次數(shù)相等的情況下應(yīng)用；（二）算術(shù)平均數(shù)的計算方法(有兩種形式，簡單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù))男性女性2222222225252525252525252525303030305030年齡人數(shù)（人）Xf2242510305501合計20表1解：采用簡單算術(shù)平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（單位：周歲）分組數(shù)據(jù)不能簡單平均！因為各組變量值的次數(shù)不等！若采用簡單平均：表22、加權(quán)算術(shù)平均法計算公式：加權(quán)為了體現(xiàn)各變量值輕重不同的影響作用，對各個變量值賦予不盡相同的權(quán)數(shù)（ f ）其中： 代表算術(shù)平均數(shù)，x 代表各單位標(biāo)志值（變量值），f 代表各組單位數(shù)（項

6、數(shù)）。權(quán)數(shù)的含義和表現(xiàn)形式權(quán)數(shù)（f）也稱權(quán)重，計算總體平均數(shù)或綜合水平的過程中對各個數(shù)據(jù)起著權(quán)衡輕重作用的變量。權(quán)數(shù)的表現(xiàn)形式：可以是絕對數(shù)形式，也可以是比重形式（如頻率）來表示：事實上比重權(quán)數(shù)更能夠直接表明權(quán)數(shù)的權(quán)衡輕重作用的實質(zhì)。加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就成了簡單算術(shù)平均數(shù)，也就是說簡單算術(shù)平均數(shù)是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的一種特殊形式。當(dāng)權(quán)數(shù)完全相等時例3-1正確的計算是：年齡人數(shù)（人）Xf2242510305501合計20由單項數(shù)列計算算術(shù)平均數(shù)可直接用加權(quán)算術(shù)平均法進(jìn)行計算。由組距數(shù)列計算算術(shù)平均數(shù)各組變量值用組中值來表示；假定條件是各組內(nèi)數(shù)據(jù)呈均勻分布或?qū)ΨQ分布；計算結(jié)果是近似值。在組距分組的情況下，

7、由于各組的組限只表明各組標(biāo)志值的上下界限，因此由組距數(shù)列計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)時，必須先計算各組的組中值，以組中值代表該組標(biāo)志值，然后再計算加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。使用壽命（小時）組中值xi數(shù)量fixifi頻率fi/fixi fi/fi1000以下900218000.020181000-12001100888000.080881200-1400130016208000.1602081400-1600150035525000.3505251600-1800170023391000.2303911800-2000190012228000.1202282000以上2100484000.04084合計100154

8、2001542某批次節(jié)能燈泡使用壽命的分組數(shù)據(jù) 三、調(diào)和平均數(shù)思考：某菜市場分為早市、中市、晚市3個市場，假設(shè)某種蔬菜早、中、晚3個市場的價格分別為1.5元/斤、1.2元/斤、0.8元/斤，某人早、中、晚3個市場各買了1元錢的蔬菜。計算蔬菜的平均購買價格。分析：上述思考題中，因為缺乏蔬菜的購買數(shù)量，蔬菜的平均購買價格不能直接用算術(shù)平均數(shù)計算，這個問題要由調(diào)和平均數(shù)來解決。 它是分布數(shù)列中各單位標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，又稱“倒數(shù)平均數(shù)”。設(shè)有n個標(biāo)志值分別為： x1 , x2 , x3 , xn其調(diào)和平均數(shù)為：1.調(diào)和平均數(shù)的概念 （一) 調(diào)和平均數(shù)的概念和計算方法 三、調(diào)和平均數(shù)2.調(diào)和

9、平均數(shù)的計算方法 根據(jù)所掌握資料的不同，調(diào)和平均數(shù)計算分為簡單調(diào)和平均數(shù)和加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。（1）簡單調(diào)和平均數(shù) 適用于未分組資料計算公式：接上述思考題，蔬菜的平均價格就要采用簡單調(diào)和平均數(shù)計算，蔬菜的平均購買價格為：（2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù) 適用于分組數(shù)列資料此公式實際中運(yùn)用較多,作為算術(shù)平均數(shù)的變形形式來應(yīng)用的。 如果統(tǒng)計資料中，對統(tǒng)計資料進(jìn)行了分組且各組標(biāo)志總量不相等時，就要采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)，其計算公式如下：3.應(yīng)用調(diào)和平均數(shù)應(yīng)注意問題1、變量x的值不能為0。2、調(diào)和平均數(shù)易受極端值的影響。3、要注意其運(yùn)用的條件。（已知各組的標(biāo)志總量和標(biāo)志值，而權(quán)數(shù)未知） 某企業(yè)工人各級別獎金額及相對應(yīng)獎金

10、總額資料，例如，獎金額（元）獎金總額（元）460520600700850 2300 780010800 7000 1700 合 計29600 計算平均獎金額。各組標(biāo)志值各組標(biāo)志總量各組單位數(shù)工人數(shù)（人）5151810250（二）調(diào)和平均數(shù)的應(yīng)用 例：某種蔬菜早、午、晚的價格及購買金額資料如表 時 間 價格（元/斤） 購買金額（元） 早 午 晚0.250.200.10567合 計18 試計算該種蔬菜全天的平均價格。 解：xm購買量（斤）= m/x f 203070120各組標(biāo)志值 各組標(biāo)志總量 各組單位數(shù) 它適合于計算現(xiàn)象的平均比率或平均速度。如銀行平均利率、各年平均發(fā)展速度、產(chǎn)品平均合格率等（

11、一）幾何平均數(shù)的概念和應(yīng)用場合 1.幾何平均數(shù)（G）的概念。 它是n個變量值連乘積的n次方根。 設(shè) n個標(biāo)志值分別為：x1 ，x2， x3 xn，則幾何平均數(shù)為: 2.應(yīng)用場合： 四、幾何平均數(shù)（二）幾何平均數(shù)的計算1.簡單幾何平均數(shù)適用于計算未分組數(shù)列的平均比率或平均速度。計算公式：式中，G：幾何平均數(shù)； x ：各單位標(biāo)志值； n：標(biāo)志值的個數(shù)；：連乘符號。希望機(jī)械廠生產(chǎn)的機(jī)床要經(jīng)過四個連續(xù)作業(yè)車間才能完成。2010年一季度第一車間鑄造產(chǎn)品的合格率為95%，第二車間粗加工產(chǎn)品的合格率為93%，第三車間精加工產(chǎn)品的合格率為90%，第四車間組裝的合格率為86%。試計算該企業(yè)的產(chǎn)品合格率為多少？

12、例解：分析：1、企業(yè)的產(chǎn)品合格率就是各車間產(chǎn)品的平均合格率；2、企業(yè)產(chǎn)品的總合格率是通過各個車間產(chǎn)品合格率相乘得到的。因此： 即當(dāng)標(biāo)志值的次數(shù)不同時，幾何平均數(shù)的計算需要用加權(quán)法。 適用于計算分組數(shù)列的平均比率或平均速度 。 2.加權(quán)幾何平均數(shù) . 計算公式： 將一筆錢存入銀行，存期10年，以復(fù)利計息，10年的利率分配是第1年至第2年為5%、第3年至5年為8%、第6年至第8年為10%、第9年至第10年12%，計算平均年利率。年底累計本息額（設(shè)本金為 ）本利率%第1年105%第2年105%第3年108% 第10年112%分析:各年本金及利息如下表 例解： 本利率x 年數(shù)f 105% 2 108%

13、 3 110% 3 112% 2 合 計 10平均每年利息率=平均本利率一100% =108.77%-100%=8.77%應(yīng)注意的問題1、變量數(shù)列中任何一個變量值不能為0，一個為0，則幾何平均數(shù)為0。2、幾何平均法主要用于動態(tài)平均數(shù)的計算五、眾數(shù)和中位數(shù) 算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù)是根據(jù)總體各單位標(biāo)志值計算的，所以稱為數(shù)值平均數(shù)。 眾數(shù)和中位數(shù)不是根據(jù)總體的全部標(biāo)志值計算的，而是根據(jù)與其所處的特殊位置有關(guān)的一部分標(biāo)志值計算的，故，眾數(shù)和中位數(shù)是兩個位置平均數(shù)。1. 概念: 眾數(shù)（M0）是總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的標(biāo)志值。 例如：某集貿(mào)市場某種商品價格及商戶資料如表，試確定眾數(shù)。商品價格 （元

14、/斤）商戶數(shù)（戶）1.51.61.82.22.4 1 4 15 3 2 合 計 25xf表 即商品價格1.8元就是眾數(shù)。眾數(shù) 總體中最常出現(xiàn)的標(biāo)志值說明該標(biāo)志值最具有代表性，因此可以只反映數(shù)列的一般水平。 （一）眾數(shù) 所以，當(dāng)總體出現(xiàn)極端標(biāo)志值時，眾數(shù)比算術(shù)平均數(shù)更能反映總體各單位標(biāo)志值的一般水平。2.眾數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用條件 眾數(shù)的特點(diǎn)： 它是一種位置平均數(shù)，不受極端標(biāo)志值或開口組的影響。 眾數(shù)的應(yīng)用條件： 在分配數(shù)列中，當(dāng)標(biāo)志值的次數(shù)有明顯集中趨勢的情況下，才能確定眾數(shù)。商品價格（元/斤）商戶數(shù) （戶）x f甲1.51.61.82.22.4 1 415 3 2合 計2556554f乙f丙252

15、555555 故，在分配數(shù)列中，當(dāng)標(biāo)志值的次數(shù)沒有明顯集中趨勢或呈均勻分布的情況下，不存在眾數(shù)。式中： L：眾數(shù)所在組的下限；U：眾數(shù)所在組的上限； 1：眾數(shù)組頻數(shù)與其前一組頻數(shù)之差；2：眾數(shù)組頻數(shù)與其后一組頻數(shù)之差； d：眾數(shù)所在組的組距。 由組距式數(shù)列確定眾數(shù)先確定眾數(shù)組，即次數(shù)最多的一組，而后運(yùn)用下面公式計算眾數(shù)的近似值。. 由組距式數(shù)列確定眾數(shù)。 3.確定眾數(shù)的方法 農(nóng)民家庭按年人均純收入分組（元）家庭數(shù)（戶） 1000120012001400140016001600180018002000200022002200240024002600 240 480 1050 600 270 21

16、0 120 30合 計 3000某鄉(xiāng)農(nóng)民家庭有關(guān)資料如表，試計算眾數(shù)。.fm1fmfm+1L1.中位數(shù)的概念 將總體各單位標(biāo)志值按其大小順序排列，位置居中的那個標(biāo)志值（數(shù)據(jù)）就是中位數(shù)（Me） 。 例如，有7名工人，每人日產(chǎn)零件數(shù)從低到高的順序排列如下： 則中位數(shù)為20件。這個數(shù)字反映了工人總體日產(chǎn)零件數(shù)的一般水平。 中位數(shù)表明，總體中有一半單位的標(biāo)志值小于中位數(shù)，一半單位的標(biāo)志值大于中位數(shù)。15、17、19、20、22、23、23 （二）中位數(shù)2.中位數(shù)的特點(diǎn)它是一種位置平均數(shù)，不受極端標(biāo)志值或開口組的影響。 因為中位數(shù)的確定僅取決于它在數(shù)列中的位置，所以它不受少數(shù)極端標(biāo)志值的影響，在這一點(diǎn)

17、上它優(yōu)于算術(shù)平均數(shù)。因此某些場合，用中位數(shù)來表示現(xiàn)象的一般水平比算術(shù)平均數(shù)更有代表性。由未分組數(shù)列確定中位數(shù) 中位數(shù)根據(jù)下列公式確定：確定中位數(shù)時要注意n為奇數(shù)和偶數(shù)的不同。如某組7名工人日產(chǎn)量件數(shù)如下：17、19、20、22、23、23、24Me = 第（7 + 1）/2個標(biāo)志值 = 第4個標(biāo)志值 = 22（件）中位數(shù) 又如某組8名工人日產(chǎn)量件數(shù)如下： 17、19、20、22、23、23、24、25。 22.5中位數(shù)Me = 第（ 8 + 1）/2個標(biāo)志值 = 第4.5 個標(biāo)志值= 22.5（件）3.確定中位數(shù)的方法 由分組數(shù)列確定中位數(shù)第一步，按f/2確定中位數(shù)的位次；第二步，根據(jù)位次確定中位數(shù)所在組單值數(shù)列確定中位數(shù)。（采用向上或向下累計方法）例：某工廠對生產(chǎn)的食用鹽包裝重量進(jìn)行抽樣檢驗，從中抽取了50袋，每袋的重量如表所示，確定其中位數(shù)。重量/克490495496498500502數(shù)量/袋24710209由分組數(shù)列確定中位數(shù) 第一步，按f/2確定中位數(shù)的位次；第二步，根據(jù)位次確定中位數(shù)所在組：第三步，根據(jù)下列公式確定中位數(shù)的近似值： 式中： L：中位數(shù)所在組下限；U：中位數(shù)所在組上限； f：數(shù)列的頻數(shù)總和； fm：中位數(shù)所在組的頻數(shù)； Sm 1：中位數(shù)所在組之前那組的向上累計頻數(shù)； f/2：