高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用ppt（鳳山書(shū)屋）

1、第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 第一節(jié) 微分中值定理 第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì) 第三節(jié) 洛必達(dá)法則 1第二節(jié) 函數(shù)的性質(zhì) 一.函數(shù)的單調(diào)性二.函數(shù)的極值本節(jié)主要內(nèi)容:三.函數(shù)的最值四.曲線的凹凸性五.曲線的漸近線六.函數(shù)的分析作圖法2一、函數(shù)的單調(diào)性3 定理3.2.1（函數(shù)單調(diào)性的判定法）設(shè)y=f(x)在a,b上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則（1)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0 ，那么函數(shù)y=f(x)在a,b上單調(diào)增加；（2)如果在(a,b)內(nèi)f (x)0 由函數(shù)圖像可知函數(shù)在(-,+)上是單調(diào)遞增的當(dāng)x=0時(shí)， y=0 當(dāng)f(x)在某區(qū)間內(nèi)僅在個(gè)別點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0或不存在，而在其余各點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)均為正（或負(fù)）時(shí)

2、，f(x)在該區(qū)間仍是單增（或單減）的。 解6例2 討論函數(shù)f(x)=ex-x-1的單調(diào)性.函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加當(dāng)x0時(shí)， y0時(shí)， y0 ,函數(shù)在( 0,+ )上單調(diào)增加當(dāng)x0時(shí)， y0時(shí)，ex1+x f (x)= ex-1所以x 0,+ ),有f(x)f(0)=0，即ex-1-x0 令f(x)=ex-1-x ，則f(x)在0,+ )上連續(xù)、可導(dǎo),且當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加所以當(dāng)x0時(shí)， ex1+x 利用單調(diào)性證明不等式證明12又因?yàn)椋?f(0)=0，所以：當(dāng)x0時(shí)， y0 ,函數(shù)在0,+ )上單調(diào)增加所以x 0,

3、+ ),有f(x)f(0)，即不等式成立.例7 證明：令則證明13oxyy= (x)Mmab設(shè)函數(shù) y = (x)在(a b)內(nèi)圖形如下圖: 在1處的函數(shù)值f(1) 比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要小;而在2處的函數(shù)值f(2)比它附近各點(diǎn)的函數(shù)值都要大;但它們又不是整個(gè)定義區(qū)間上的最小、最大值,為此,我們引入極值與極值點(diǎn)的概念. 二、函數(shù)的極值14 定義3.2.1 設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某領(lǐng)域N(x0,)內(nèi)有定義， ，都有（1）f(x)f(x0)成立，則稱(chēng)f(x0)為函數(shù)f(x)的極小值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極值，使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)注： 1、極值是指函數(shù)值，而極值點(diǎn)是自變量的值；2

4、、函數(shù)的極值概念具有局部性；在小范圍內(nèi)比較，該點(diǎn)的函數(shù)值較大或較小，而不是在整個(gè)定義域上最大或最小，所以函數(shù)的極大值不一定比極小值大；3、函數(shù)極值點(diǎn)必出現(xiàn)在區(qū)間內(nèi)部，而不在區(qū)間的端點(diǎn)。15f(x)的極小值點(diǎn):f(x)的極大值點(diǎn):16 定理3.2.2（極值的必要條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且在點(diǎn) x0處取得極值，那么函數(shù) f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)為零，即 f (x0) =0極值的必要條件171、可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必是它的駐點(diǎn).從而有幾何意義: 可導(dǎo)函數(shù)的圖形在極值點(diǎn)處的切線是與 x 軸平行的 (羅爾定理) .2、對(duì)可導(dǎo)函數(shù)來(lái)說(shuō), 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).即曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定有

5、極值. 如oxy則x =0 為 f (x) = x3 的駐點(diǎn).如圖：x =0 不是f (x) = x3 的極值點(diǎn).說(shuō)明：183、對(duì)于函數(shù)y = |x| , 我們已知 x = 0 是函數(shù)的連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn). 但x = 0是函數(shù)的極小值點(diǎn). 如圖.oxy=|x|實(shí)際上, 連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn). 因而函數(shù)還可能在連續(xù)不可導(dǎo)點(diǎn)處取得極值.19 定理3.2.3（極值的第一充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（ f (x0)可以不存在），x為該鄰域內(nèi)任意一點(diǎn)，（1）當(dāng)x0 ，當(dāng)xx0時(shí)f (x)0 ，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；（2）當(dāng)xx0時(shí) f (x)x0時(shí)f (x)0 ，則f

6、(x0)為函數(shù)f(x)的極小值；（3）當(dāng)xx0時(shí)f (x)的符號(hào)相同，則f(x0)不是函數(shù)f(x)的極值極值的充分條件20(是極值點(diǎn)情形)(不是極值點(diǎn)情形)21 定理3.2.4（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處二階可導(dǎo)，且 f (x0)=0， f (x0) 0 ，則（1）當(dāng)f (x0) 0時(shí)，函 f(x)在點(diǎn)x0 處取得極小值注： 1、第一充分條件適用于駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，而第二充分條件只能對(duì)駐點(diǎn)判定；2、當(dāng)f (x0) =0時(shí)，無(wú)法判定 f(x)在點(diǎn)x0處是否有極值22（1）確定函數(shù)f(x)的考察范圍，（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；（2）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù) f (

7、x)；求出函數(shù) f(x)的所有駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出f (x)=0的根和 f (x)不存在的點(diǎn)； （3）列表，利用第一充分條件或第二充分條件，判定上述駐點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)是否為函數(shù)的極值點(diǎn)，并求出相應(yīng)的極值 求極值的方法：23例8 求函數(shù) 的極值（3）列表（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；(-,-2) 0(-2,-4/5)-4/5(1,+ )+極大值 0-0+所以f(x)在x=0處取得極大值為0，在x=-4/5 處取得極小值為-8.4（2） ,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)令f (x)=0 ，得 0極小值 -8.4(-4/5，1)+10無(wú)極值解24例9 求函數(shù) 的極值令f (x)=0 ，得（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；

8、 所以f(x)在x=-1處取得極大值為17，在x=3 處取得極小值為-47（2） ,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)（3）因?yàn)榻?5 定義3.2.2 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義，x1,x2I ， （1）若xI ，都有f(x)f(x1) 成立，則稱(chēng)f(x1)為函數(shù) f(x)的最大值， x1為函數(shù)f(x)的最大值點(diǎn)；（2）若xI ，都有f(x)f(x2)成立，則稱(chēng)f(x2)為函數(shù)f(x)的最小值，x2為函數(shù)f(x)的最小值點(diǎn) 函數(shù)的最大值與最小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的最值，使函數(shù)取得最值的點(diǎn)稱(chēng)為最值點(diǎn)三、函數(shù)的最值26271. 最值是一個(gè)整體概念，在某一范圍內(nèi)，最值若存在，只能是唯一的；2. 最值點(diǎn)可以是 I 內(nèi)部的點(diǎn)，也可

9、以是端點(diǎn)；3. 如果最值點(diǎn)不是I 的端點(diǎn)，那么它必定是極值點(diǎn)；極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)4. 當(dāng)函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)的極大（?。┲稻褪呛瘮?shù)的最大（小）值.說(shuō)明：28（2）求出函數(shù) f (x)在內(nèi)的所有可能極值點(diǎn)：駐點(diǎn)及不可導(dǎo)點(diǎn)，即求出 f (x)=0的根和 f (x)不存在的點(diǎn)； （3）計(jì)算函數(shù)f (x)在駐點(diǎn)、不可導(dǎo)點(diǎn)處及端點(diǎn)a，b處的函數(shù)值； （4）比較這些函數(shù)值，其中最大者的即為函數(shù)的最大值，最小者的即為函數(shù)的最小值 （1）確定函數(shù)f(x)的考察范圍（除指定范圍外，考察范圍一般是指函數(shù)定義域）；求最值的方法（一）：29例10 求函數(shù) 在區(qū)間0,4 上的最值.（3）計(jì)算得f(-1)=32

10、,f(2)=5,又f(0)=25,f(4)=57（1）考察區(qū)間為0,4 ； 所以f(x)在區(qū)間 0,4上的最大值是f(4)=57 ,最小值是 f(2)=5 （2） ,無(wú)不可導(dǎo)點(diǎn)令f (x)=0 ，得解30（1）當(dāng)f (x0) 是極大值時(shí)， f (x0) 就是區(qū)間I上的最大值； （2）當(dāng)f (x0) 是極小值時(shí)， f (x0) 就是區(qū)間I上的最小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)可導(dǎo)，且只有唯一駐點(diǎn)x0，又x0是f(x)的極值點(diǎn)，則（）（）求最值的方法（二）：31xR,有令 f (x)=0有唯一駐點(diǎn)假設(shè)例11 證明：xR,有又所以函數(shù)f(x)在x=1/2 處取得極小值，即最小值因而xR,有f(x)0

11、即證明32 在實(shí)際問(wèn)題中,往往根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)就可以斷定可導(dǎo)函數(shù)f(x) 必存在最大值(或最小值),而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取到.這時(shí),如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有唯一駐點(diǎn)x0,那么,可以斷定f(x0)就是最大值(或最小值). (不必討論f(x0)是否為極值).求最值的方法（三）：33例12 要做一個(gè)容積為V的有蓋圓柱形水桶，問(wèn)半徑r與桶高h(yuǎn)如何確定，可使所用材料最省？假設(shè)水桶表面積為S，則容積要使所用材料最省，就要使水桶表面積最小解34令S(r)=0,得唯一的駐點(diǎn)此時(shí)h=2r0 ，所以當(dāng)半徑r為 ，桶高h(yuǎn)為 時(shí)，可使所用材料最省35(1)根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)；(2)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題確

12、定函數(shù)的定義域；(3) 求出駐點(diǎn)；若定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間且駐點(diǎn)只有一個(gè)，則該駐點(diǎn)所對(duì)應(yīng)函數(shù)值就是所求. 如果駐點(diǎn)有多個(gè)，且函數(shù)既存在最大值也存在最小值，則需比較這幾個(gè)駐點(diǎn)處的函數(shù)值，其中最大值即為所求最大值，其中最小值即為所求最小值.實(shí)際問(wèn)題求最值36曲線的凹凸性是描述函數(shù)性狀的一個(gè)更深入的概念.例如：yxo四、曲線的凹凸性37（1）（2）xyoxyo曲線(1)上任意兩點(diǎn)(x1,f(x1),(x2,f(x2)之間的弦上的點(diǎn)位于曲線相應(yīng)點(diǎn)的下面，即曲線在弦之上；曲線(2)則相反，曲線在弦之下.幾何解釋38 定義3.2.3 設(shè)f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù) 如果對(duì)(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1 x2 恒有 那么稱(chēng)

13、f(x)在a,b上的圖形是凹的（記為“”）；如果恒有那么稱(chēng)f(x)在a,b上的圖形是凸的（記為“ ”）；39(1)觀察切線與曲線的位置關(guān)系.(1) 凹曲線位于其任一點(diǎn)切線的上方；凸曲線位于其任一點(diǎn)切線的下方(2)觀察切線斜率的變化與曲線凹凸性的關(guān)系.(2) 凹切線斜率單調(diào)遞增；凸切線斜率單調(diào)遞減觀察與思考40 定義3.2.4 曲線凹與凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)如果(x0, f(x0)是拐點(diǎn)且f (x0)存在, 問(wèn)f (x0)=？如何找可能的拐點(diǎn)？如何確定曲線yf(x)的拐點(diǎn)？oxyy= (x)aABbcC討論41(1)在拐點(diǎn)(x0, f(x0)處f (x0)=0或f (x0)不存在. (2)只有

14、f (x0)等于零或不存在, (x0, f(x0)才可能是拐點(diǎn).(3) 如果在x0的左右兩側(cè)f (x)異號(hào), 則(x0, f(x0)是拐點(diǎn). (2)拐點(diǎn)是曲線上的點(diǎn), 從而拐點(diǎn)的坐標(biāo)需用橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)同時(shí)表示, 不能僅用橫坐標(biāo)表示. 這與駐點(diǎn)及極值點(diǎn)的表示方法不一樣.(1)拐點(diǎn)一定是f (x)=0或不存在的點(diǎn)，但是f (x)=0或不存在的點(diǎn)不一定都是拐點(diǎn).結(jié)論注意42 定理3.2.5 設(shè)f(x)在a b上連續(xù) 在(a b)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù). 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凹的 若在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上的圖形是凸的 曲線凹凸性判定定理43若曲線

15、y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)， f (x0)=0或不存在， f (x)在x0兩側(cè)異號(hào)，則點(diǎn)(x0, f(x0)是曲線的一個(gè)拐點(diǎn)(1)確定函數(shù)的定義域；(2)在定義域內(nèi)求 f (x)=0的點(diǎn)和f (x)不存在的點(diǎn)；(3)用上述點(diǎn)劃分定義域，并列表判別函數(shù)的凹凸性拐點(diǎn)的判定：求曲線凹向區(qū)間和拐點(diǎn)的步驟：44f (x) 沒(méi)有為0的點(diǎn)，但是x=4時(shí)， f (x)不存在，例13 討論曲線 的凹向區(qū)間與拐點(diǎn)xf (x)f (x)(-,4)4(4 ,+)+-不存在拐點(diǎn)(4,2)（1）函數(shù)的定義域?yàn)?-,+)；解45 定義3.2.5 若曲線L上的動(dòng)點(diǎn)P沿著曲線無(wú)限地遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),點(diǎn)P與一條定直線C的距離趨于零,則稱(chēng)

16、直線 C為曲線L的漸近線當(dāng)C垂直于x軸時(shí),稱(chēng)C為曲線L的垂直漸近線; 當(dāng)C垂直于y軸時(shí),稱(chēng)C為曲線L的水平漸近線五、曲線的漸近線46例如，對(duì)于曲線 來(lái)說(shuō)，所以直線 y = 0 是曲線的水平漸近線若 或 則稱(chēng)直線 y = b 為曲線 y = f (x) 的水平漸近線 .yxOy = 0（1）水平漸近線47所以直線都是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線yxOy = arctan x48例如，對(duì)于曲線y = ln x來(lái)說(shuō)，所以直線 x = 0 是曲線y = ln x的垂直漸近線若 ,或 或 則稱(chēng)直線 x = x0 為曲線 y = f (x) 的垂直漸近線.yxOy = ln x（2）垂直漸近線49所以直線x=1是該曲線的水平漸近線 .又如，曲線1yxO50所以，y=2為水平漸近線;例14 求曲線 的漸近線.所以，x=1為垂直漸近線.解51所以，x=0為垂直漸近線;例15 求曲線 的漸近線.所以，y=-2為水平漸近線.解52作函數(shù)y=f(x)圖象的一般步驟為：（1）確定函數(shù)y=f(x)的定義域，分析函數(shù)的奇偶性、周期性；（2）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)，二階導(dǎo)數(shù)，并求出一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）列表求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，確定