第八課時基本不等式（一）

1、- PAGE 3 -第八課時 基本不等式（一）教學(xué)目標(biāo)：學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；能夠簡單應(yīng)用定理證明不等式并解決一些簡單的實(shí)際問題。教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧。教學(xué)過程： 重要不等式：如果a、bR，那么a 2b 2 2ab（當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號）證明：a 2b 22ab（ab）2當(dāng)ab時，（ab）20，當(dāng)ab時，（ab）20所以，（ab）20 即a 2b 2 2ab由上面的結(jié)論，我們又可得到定理：如果a，b是正數(shù)，那么 eq f(a b,2) eq r(ab) （當(dāng)且僅當(dāng)ab時取“”號）證明：（ eq r(a) ）2（ eq r(b

2、) ）22 eq r(ab) a b2 eq r(ab) 即 eq f(a b,2) eq r(ab) 顯然，當(dāng)且僅當(dāng)ab時， eq f(a b,2) eq r(ab) 說明：1）我們稱 eq f(a b,2) 為a，b的算術(shù)平均數(shù)，稱 eq r(ab) 為a，b的幾何平均數(shù)，因而，此定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2）a 2b 22ab和 eq f(a b,2) eq r(ab) 成立的條件是不同的：前者只要求a，b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a，b都是正數(shù).3）“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義是充要條件.4）數(shù)列意義問：a，bR？例題講解：例1 已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積

3、xy是定值P，那么當(dāng)xy時，和xy有最小值2 eq r(P) ； （2）如果和xy是定值S，那么當(dāng)xy時，積xy有最大值 eq f(1,4) S2證明：因?yàn)閤，y都是正數(shù)，所以 eq f(xy,2) eq r(xy) （1）積xy為定值P時，有 eq f(xy,2) eq r(P) xy2 eq r(P) 上式當(dāng)xy時，取“”號，因此，當(dāng)xy時，和xy有最小值2 eq r(P) .（2）和xy為定值S時，有 eq r(xy) eq f(S,2) xy eq f(1,4) S 2上式當(dāng)x=y時取“”號，因此，當(dāng)x=y時，積xy有最大值 eq f(1,4) S 2.說明：此例題反映的是利用均值定理

4、求最值的方法，但應(yīng)注意三個條件：）函數(shù)式中各項必須都是正數(shù);)函數(shù)式中含變數(shù)的各項的和或積必須是常數(shù)；）等號成立條件必須存在。師：接下來，我們通過練習(xí)來進(jìn)一步熟悉均值定理的應(yīng)用.例2 ：已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：（abcd）（acbd）4abcd分析：此題要求學(xué)生注意與均值不等式定理的“形”上發(fā)生聯(lián)系，從而正確運(yùn)用，同時加強(qiáng)對均值不等式定理的條件的認(rèn)識.證明：由a、b、c、d都是正數(shù)，得 eq f(abcd,2) eq r(abcd) 0， eq f(acbd,2) eq r(acbd) 0， eq f(（abcd）（acbd）,4) abcd即（abcd）（acbd）4abcd例3

5、某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理.解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得l240000720（x eq f(1600,x) ）2400007202 eq r(x eq f(1600,x) ) 240000720240297600當(dāng)x eq f(1600,x) ，即x40時，l有最小值297600因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元.評述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件.為了進(jìn)一步熟悉均值不等式定理在證明不等式與求函數(shù)最值中的應(yīng)用，我們來進(jìn)行課堂練習(xí).課本P91練習(xí)1，2，3，4.3課堂小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求