留數(shù)定理和定積分計算上的應(yīng)用

1、留數(shù)定理和定積分計算上的應(yīng)用1 留數(shù)定理2 留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（一）3 留數(shù)在定積分計算上的應(yīng)用（二）如果函數(shù)f (z)在z0的鄰域內(nèi)解析, 根據(jù)柯西積分定理 如果z0為f (z)的一個孤立奇點, 則沿在z0的某個去心鄰域0|z-z0|R內(nèi)，包含z0的任意一條正向簡單閉曲線C的積分一般就不等于零。思考：積分等于多少?1 留數(shù)定理結(jié)論：從上面的討論可知, 積分的計算可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)的羅朗展開式中z- z0的負(fù)一次冪項的系數(shù)c-1?；蛩悸芬?將f (z)在此鄰域內(nèi)展開為羅朗級數(shù) f (z)=.+c-n(z-z0)-n+.+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)

2、n+.后,兩端沿C逐項積分, 右端各項積分除留下 c-1 (z-z0)-1的一項等于2ic-1外， 其余各項積分都等于零，所以若令n=-1, 得思路二 由羅朗級數(shù)系數(shù)公式為函數(shù)f (z)在z0的留數(shù)(Residue)，記作 Resf (z),z0 。一、 留數(shù)的定義 定義 若f (z)在去心鄰域 內(nèi)解析，z0是f (z)的孤立奇點，C是 內(nèi)包圍z0的任意一條正向簡單閉曲線，定義積分即留數(shù)定理： 如果函數(shù)f (z)在一條正向簡單閉曲線C上連續(xù)，在C的內(nèi)部除有限個孤立奇點z1,z2,.,zn外處處解析。 則二、留數(shù)定理證 把在C內(nèi)的孤立奇點zk(k=1,2,.,n)用互不包含的正向簡單閉曲線Ck圍

3、繞起來, 則根據(jù)多連通域的柯西積分定理有根據(jù)留數(shù)的定義，有討論問題：柯西積分定理、柯西積分公式與留數(shù)定理的關(guān)系如何？意義：把計算沿路徑積分的整體問題化為計算各孤立奇點留數(shù)的局部問題。2、求羅朗級數(shù)中c-1(z-z0)-1項的系數(shù)c-1。 三、留數(shù)的計算1、留數(shù)只對孤立奇點而言才有意義。2）如果z0是f (z)本性奇點, 將f (z)在其z0的去心鄰域中展開為羅朗級數(shù)，求c-1 ;如果知道奇點的類型, 對求留數(shù)可能更有利。 1）如z0是f (z)的可去奇點, 則Resf (z), z0=0;3）如果z0是f (z)的極點, 則可以利用以下的規(guī)則：（極點留數(shù)的計算規(guī)則）規(guī)則2 如果z0為f (z)

4、的m級極點， 則規(guī)則1 如果z0為f (z)的一級極點, 則 規(guī)則3 設(shè) , P(z)及Q(z)在z0都解析, 如果P(z0)0, Q(z0)=0, Q(z0)0, 則z0為f(z)的一級極點, 且注意規(guī)則3的應(yīng)用條件例2: 計算z=0是本性奇點例1: 由規(guī)則1, 得我們也可以用規(guī)則III來求留數(shù)：這比用規(guī)則1要簡單些，但要注意應(yīng)用的條件。 如果函數(shù)f(z)的極點z0的級數(shù)不是m, 它的實際級數(shù)要比m低, 這時表達(dá)式的系數(shù)c-m，c-m+1，中可能有一個或幾個等于零, 顯然規(guī)則2的公式仍然有效。一般說來, 在應(yīng)用規(guī)則2時, 為了計算方便不要將m取得比實際的級數(shù)高。注意：在應(yīng)用規(guī)則2時，為了計算

5、方便，可以將m取得比實際的級數(shù)高。方法一、首先應(yīng)定出極點z=0的級數(shù)。由于因此z=0是z-sin z的三級零點，也就是f (z)的三級極點。例6：計算 在z=0處的留數(shù). 應(yīng)用公式得由此可見, 二階導(dǎo)數(shù)的計算過程將十分繁雜。方法三 用洛朗展開式求c-1就比較方便，因為所以考慮：多值函數(shù)的留數(shù)計算。 1. 定義： 設(shè)函數(shù)f (z)在圓環(huán)域R|z|內(nèi)解析，C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點的任何一條簡單閉曲線，則積分稱其為f (z)在點的留數(shù)，記作這里積分路徑的方向是順時針方向，這個方向很自然地可以看作是圍繞無窮遠(yuǎn)點的正向。四、無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)及計算方法將 f (z)在 R|z|+內(nèi)的羅朗展式為則即 f (z)在點

6、的留數(shù)等于函數(shù)f (z)在點的羅朗級數(shù)中z-1項的系數(shù)c-1的變號。注意：有限可去奇點的留數(shù)為0，z=既便是f (z)的可去奇點，f (z)在z=的留數(shù)也未必是0，為什么？另： 由于f (z)在R|z|+內(nèi)解析，所以在此圓環(huán)域內(nèi)可以展開成洛朗級數(shù)C為R|z|+內(nèi)繞原點任何一條簡單正向閉曲線?？紤]n=-1的情況因此 Resf(z),=-c-1 方法1 如果f(z)在 的洛朗展開式為 則有Resf (z),=-C-12、無窮遠(yuǎn)點留數(shù)的計算方法方法2 z=是f (z)的可去奇點，并且 則f (z)在z=的留數(shù) 方法3 此結(jié)論請同學(xué)們課后自行證明。例 設(shè)f(z)=z5/(1+z6), 求z=的留數(shù)解：

7、（方法一）由于f (z)在1|z|+內(nèi)解析，所以z=是可去奇點， z=的留數(shù)為Resf (z),=-C-1=-1（0）（方法二） z=是可去奇點，并且則 Resf (z), 定理：如果函數(shù)f (z)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個孤立奇點，那末f (z)在所有各奇點(包括點)的留數(shù)總和必 等于零.證 除點外, 設(shè)f (z)的有限個奇點為zk(k=1,2,.,n)。又設(shè)C為一條繞原點的并將zk(k=1,2,.,n)包含在它內(nèi)部的正向簡單閉曲線，則根據(jù)留數(shù)定理與在無窮遠(yuǎn)點的留數(shù)定義，有 留數(shù)定理提供了計算實變函數(shù)定積分的一種方法。2 留數(shù)在計算實積分上的應(yīng)用(一）兩個條件：1）將實變函數(shù)推廣為復(fù)變函數(shù)。

8、2）將定積分變?yōu)榛芈贩e分中的一部分。如圖，對于實積分 ，變量 x 定義在閉區(qū)間 a,b (線段 )，此區(qū)間應(yīng)是回路 的一部分。實積分 要變?yōu)榛芈贩e分，則實函數(shù)必須推廣到復(fù)平面上包含回路的一個區(qū)域中，而實積分 成為回路積分的一部分：1.形如 的積分 為cos與sin 的有理函數(shù)，且在0，2上連續(xù)。 從而，積分化為沿正向單位圓周的積分：令z=ei ，那么dz=ieid, d=dz/iz其中zk(k=1,2,n)為包含在單位圓周 內(nèi)的f (z)的孤立奇點。注意：1）f (z)為z的有理函數(shù)； 2）R(cos, sin )在0，2,則f (z)在單位圓周 上無奇點； 3）積分限可以為- ，。 4）若R

9、(cos, sin )為偶函數(shù)，則例1：計算例2 計算 的值.解：令例3 計算積分解則例4 計算解 令極點為 :(在單位圓內(nèi))(在單位圓外)例5 計算 的值.解 由于0p0，當(dāng)R充分大時，有 即可。 因為分析：可先討論最后令即可 .2. 積分區(qū)域的轉(zhuǎn)化:取一條輔助曲線, 使與區(qū)間一起構(gòu)成一條封閉曲線, 并使R(z)在其內(nèi)部除有限孤立奇點外處處解析. (此法常稱為“圍道積分法”)1. 被積函數(shù)的轉(zhuǎn)化:(當(dāng)z在實軸上的區(qū)間內(nèi)變動時 , R(z)=R(x) 可取 f(z)=R(z) . 如圖所示：1）取輔助路徑CR ，CR與-R,R一起構(gòu)成閉合路徑C，其中CR是以原點為中心, R為半徑的上半平面的半

10、圓周. 2）取R適當(dāng)大, 使R(z)所有的在上半平面內(nèi)的極點zk都包在這積分路線內(nèi). R(z)在C及其內(nèi)部(除去有限孤立奇點zk ）處處解析.z1z2z3yCR-RROx例 1例2 計算積分解 在上半平面有二級極點一級極點例 3 解： 3.形如 的積分(1) Q(z)比P(z)至少高一次 ；(2) R(z)在實軸上沒有奇點;(3) 0;其中zk為R(z)在復(fù)平面上半平面的奇點。則設(shè)z1z2z3yCR-RROx 引理2(Jordan引理) 設(shè)f (z)在CR上連續(xù)，CR： 如果在CR上 ，則證明：設(shè)f (z)在CR上連續(xù)， ， 且滿足 也可寫為不等式, 當(dāng) 時 的圖示yqOpy=sinq1例 計算 的值.解 這里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在實軸上無孤立奇點,因而所求的積分是存在的. 在上半平面內(nèi)有一級極點ai,例 計算積分解 在上半平面只有二級極點又2 留數(shù)在計算實積分上的應(yīng)用(二）當(dāng)被積函數(shù)在積分路徑上存在奇點時，積分如何？例如積分 小圓弧引理：設(shè)f (z)在Cr上連續(xù)，Cr： ，且在Cr上有則 。證明 只需證明對0，當(dāng)r充分小時，有 即可。 因為(1) Q(z)比P(z)至少高一次 ；(2) R(z)在實