二倍角與半角的余弦、正弦和正切(例題+練習(xí))(教師版)

1、 / 23、倍角公式：（一）知識精講sin2 2sin cos ； cos2 cos2 sin22cos21 1 2sin22 tan tan 22-1 tansin 2a= sin( a+o) = sin ocos a+ cos “sin卡2sinacos a ；建議學(xué)生推導(dǎo)：cos2a= cos(a+a)= cos acos a- sin asina=cos2a-sin2 %2tan a TOC o 1-5 h z tan2 a= tan( a+ a)=-.1 - tan a（二）典型例題【例1】求下列各式的值(1) sin15 cos152 tan 22.5(321 tan2 22.5，

2、一、2. 2(2) cos - sin 一88_2(4) 1 2sin 751c 1OO2【答案】(1) sin15 cos15 = sin 30; (2) cos 一sin 一= cos；248842-322tan22 5o一. 一(3) 2- = tan45 1； (4) 1 2sin 75 = cos1501 tan2 22.5【例 2】16 cos24 cos48 cos96 cos168 =【難度】【答案】-1象限的角?！纠?】已知sin x, cos x-,則角x是第2525【難度】【答案】三1【例4】右sin cos -，則（）2sinsin.2(C) tan 1(D) tan

3、1【例5】已知3sin2 2sin2 1,3sin 2 2sin 20且，都是銳角，求證【難度】【答案】 證明：由3sin21 2sin2 得3sin2 cos2都是銳角由 3sin 2 2sin 2 得 3sin cos sin 2 得sincoscos2sin 2cos cos2 sin sin 20即 cos( 2 ) 0 又Q 03 一 人2 y所以 2-【例6】方程ax2 bx c 0的兩個相等的根為tan ,則tan2 【難度】【例71已知tana,tanb ,則 tan2bab5【例 8】(1)已知 sin ，(-,)，求 sin2 , cos2 , tan2 的值;1321 皿

4、(2) tan 一，貝Ucos2 ;2(3)若 cos48 a ,則 sin 2004 的值是。【答案】(1) sin5(),),cos- 1 sin21213213120八2119sin 22sin cos,cos21 2sin,tan 2169169【難度】(2)35120119(3).2-2a2【例9】(1)化簡：Jl 1cos2,22 22【難度】【答案】因為3-2 ,所以，JI 1cos22 2 221(2cos21) coscos所以，原式=cos 。(2)化簡:1 cos22【答案】因為1cos2 2coscos又因34,所以21 cos2sin sin2,所以，原式=sin 一

5、。2【點評：三角函數(shù)式的化簡通常原則是:“變名、變角、變次數(shù)”，緊抓這個原則，仔細(xì)觀察題目所給的條件,找到解決題目的突破口【例10】2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會，會標(biāo)是我國以古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖是由四個全等直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖).如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25 ,直角三角形中較小的銳角為,那么cos2的值等于【答案】圖中小正方形的面積為 1,大正方形的面積為 25,每一個直角三角形的面積是6,設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為兩條直角邊的長分別為3,4,直角三角形中較小的銳角為，cos2-2a b2 ab254一,cos2 =2

6、cos 571 一。25【例11】f x1 cosx sin x 1 cosx sin x1 sin x cosx1 sin x cosx(1)化簡f x ； (2)是否存在x,使得2 xtan 一tan -gf x 2 ,若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由。sin x【難度】【答案】(1) f x2cscxM x 2k-k Z ； x 2k 2【鞏固訓(xùn)練】.條件 A： “sincosB： “sin233”的4(A)充分而不必要條件(C)充要條件(B)必要而不充分的條件(D)既不是充分條件，又不是必要條件【難度】【答案】A13.的值是sin10 cos10(A) 1(B) 2(C) 41

7、(D)一4【難度】【答案】C.513.已知cos，3B么cos2 2394.化簡下列各式:(1) 4sin cos44(2)tan 402 T1 tan 402sin2157.E 1sin一sin 1212【答案】（1） 4sin - cos一2 2sin cos2sin 一 ； 2(2)tan40o1 tan2 40o2tan40otan240o1 tan802(3)2sin 2 157.50一 20(1 2sin 157.5 )cos(3150)(4).5sin sin 1212sin12cos 1 sin12 26知為第二象限的角，sin3,則 tan 25所以tan 22 tan1 t

8、an2247【難度】【答案】因為為第二象限的角,又 sin3所以cossin,5cos126 .右 sin ，貝U cos - 2=633【難度】137963 / 23sincos22cos -37.已知sin cos 16,0,2sin4 ；298.11 cos 22 23T2。, 一 3【答案】因為2所以,1 1cos2|sin |sin1 .一 sin2122(sin cos 一 2222sin - cos) 222.y |sin- cosa|，又因,所以 sin cos 022所以，原式,2/.、(sin cos)。222、半角公式和萬能公式（一）知識精講1 cos1 cos1 cos

9、12 / 23sin 2；cos 2tan 一 2cos(tan 2sin1 cos1 cos )sin2 tan 2sin - ,cos1 tan2 一221 tan 一2 ,tan1 tan2 一22 tan21 tan2 2建議學(xué)生自己推導(dǎo)（通過倍角公式逆推半角公式）（二）典型例題1,且 ,2 ,則 sin 3235,（一,0），求 tan的值；223日5，且是第二象限角，求 cos-2已知cos(3)已知sin【例12（1）已知cos,sin , tan 的值。22；cos 2tan 一 2【答案】（1） sin2 21 cos22 cos21 cos2sin2tan222cos2 一,2 ,-,，位于第二象限, 2故sincos2（2）（方法一）由,0)2一,0）,位于第四象限, 4tan 一 1的常數(shù))，求tan 的值。 tan a 12【答案】見解析5.21 cos1. 1 sin 4cos4sin 421sin 41sin 41 sin 4 cos4cos41 sin 42.設(shè) tan t( 0 k 冗 t 1)22t 1 1 ttan 0 a 12tan 0 a 12t1 t22(1 t2)_22t (a 1)(1 t )一2一Qt 1 2t (1 t2)(a 1) 2(1 t)(a 1)t2