高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題37《利用正態(tài)分布三段區(qū)間的概率值估計(jì)人數(shù)》教師版

1、專題37 利用正態(tài)分布三段區(qū)間的概率值估計(jì)人數(shù)一、單選題 1某小區(qū)有1000戶居民，各戶每月的用電量（單位：度）近似服從正態(tài)分布，則用電量在210度以上的居民戶數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，）A17B23C90D159【答案】D【分析】先求用電量在210度以上的概率，再求用電量在210度以上的居民戶數(shù).【詳解】由題得，所以，所以，所以用電量在210度以上的居民戶數(shù)為【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和數(shù)形結(jié)合的思想方法；（2）對于正態(tài)分布曲線的概率的計(jì)算，不要死記硬背，要結(jié)合其圖像分析求解.2某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績

2、服從正態(tài)分布，正態(tài)分布密度曲線如圖所示，則成績位于區(qū)間(51，69的人數(shù)大約是（ ）A997B954C800D683【答案】D【分析】由題圖知，其中，從而可求出成績位于區(qū)間的人數(shù).【詳解】由題圖知，其中，人數(shù)大約為0.68271000683.故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.3在某市2020年1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約1萬人某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第多少名？（ ）參考數(shù)據(jù)：若，則，A1600B1700C4000D8000【答案】A【分析】利用正態(tài)分布的性

3、質(zhì)及密度曲線特點(diǎn)求解數(shù)學(xué)成績高于的大致人數(shù)，然后估計(jì)他的排名.【詳解】由理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布可知，又，故，所以，又全市理科學(xué)生約1萬人， 故成績高于分的大致有人，所以他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第名.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布及概率計(jì)算，較簡單，只需要根據(jù)正態(tài)分布密度曲線的分布特點(diǎn)及題目所給數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.4已知參加2020年某省夏季高考的53萬名考生的成績近似地服從正態(tài)分布，估計(jì)這些考生成績落在的人數(shù)約為（ ）(附：，則，)A36014B72027C108041D168222【答案】B【分析】由題可求出，即可由此求出，進(jìn)而求出成績落在的人數(shù).【詳解】，這些考生成績落在的人數(shù)約

4、為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的相關(guān)概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.5某地區(qū)有10000名高三學(xué)生參加了網(wǎng)上模擬考試，其中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)服從正態(tài)分布，成績在(117,126之外的人數(shù)估計(jì)有（ ）（附：若服從，則，）A1814人B3173人C5228人D5907人【答案】A【分析】由,可得,進(jìn)而由數(shù)據(jù)及對稱性求得概率,即可求解.【詳解】由題,所以,所以人,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查由正態(tài)分布的區(qū)間及對稱性求概率.6設(shè)隨機(jī)變量，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值是（ ）（注：若，則，）A7539B7028C6587D6038

5、【答案】C【分析】由題意正方形的面積為，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)，求得陰影部分的面積，利用面積比的幾何概型求得落在陰影部分的概率，即可求解，得到答案【詳解】由題意知，正方形的邊長為1，所以正方形的面積為 又由隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，所以正態(tài)分布密度曲線關(guān)于對稱，且，又由，即，所以陰影部分的面積為，由面積比的幾何概型可得概率為，所以落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值是，故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，以及面積比的幾何概型的應(yīng)用，其中解答中熟記正態(tài)分布密度曲線的性質(zhì)，準(zhǔn)確求得落在陰影部分的概率是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題7貴陽市一模考試中，某校高三1500名學(xué)生

6、的數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布，則該校數(shù)學(xué)成績的及格人數(shù)可估計(jì)為（ ）（成績達(dá)到90分為及格）（參考數(shù)據(jù)：）A900B1020C1140D1260【答案】D【分析】根據(jù)題意得，從而得到，故，再估計(jì)及格人數(shù)即可.【詳解】由題得，該校數(shù)學(xué)成績的及格率可估計(jì)為，所以該校及格人數(shù)為（人）.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.8“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”是一個網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)平臺，給人們提供了豐富的學(xué)習(xí)素材某單位為了鼓勵職工加強(qiáng)學(xué)習(xí)，組織了200名職工對“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”中的內(nèi)容進(jìn)行了測試，并統(tǒng)計(jì)了測試成績（單位：分）若測試成績服從正態(tài)分布，且成績在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的，則此次測試成績不低于130分的職工人數(shù)大約為（

7、 ）A10B32C34D37【答案】B【分析】設(shè)測試成績?yōu)?，則，先求出對應(yīng)的概率，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)測試成績?yōu)?，則，又，所以，所以成績不低于130分的職工人數(shù)大約為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布中求指定區(qū)間的概率，屬于基礎(chǔ)題型.9若某單位員工每月網(wǎng)購消費(fèi)金額（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，現(xiàn)從該單位任選10名員工，記其中每月網(wǎng)購消費(fèi)金額恰在500元至2000元之間的人數(shù)為，則的數(shù)學(xué)期望為（ ）參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則，則，.A2.718B6.827C8.186D9.545【答案】C【分析】先求恰在500元至2000元之間概率，再求數(shù)學(xué)期望.【詳解】的數(shù)學(xué)期望為故選：C【

8、點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布及其應(yīng)用，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.10若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.已知某校名學(xué)生某次數(shù)學(xué)考試成績服從正態(tài)分布，據(jù)此估計(jì)該校本次數(shù)學(xué)考試成績在分以上的學(xué)生人數(shù)約為（ ）ABCD【答案】C【分析】由題意，結(jié)合原則可得，乘以得答案.【詳解】由題意，故，以此，估計(jì)該校本次數(shù)學(xué)考試成績在分以上的學(xué)生人數(shù)約為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布中原則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11在某市2020年1月份的高三質(zhì)量檢測考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(99，100)已知參加本次考試的全市理科學(xué)生約1萬人某學(xué)生在這次考試中的數(shù)學(xué)成績是109分，那么他的數(shù)學(xué)成績大約

9、排在全市第多少名？（ ）A1 600B1 700C4000D8 000【答案】A【分析】根據(jù)理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(99，100)，得到，由，求得，即可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)槔砜茖W(xué)生的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N(99，100)，所以，所以，因?yàn)?，所以，即在這次考試中的數(shù)學(xué)成績高于109分的學(xué)生占總?cè)藬?shù)的，所以他的數(shù)學(xué)成績大約排在全市第名.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.12給出下列說法：“”是“”的充分不必要條件；命題“，”的否定是“，”；小趙、小錢、小孫、小李到4個景點(diǎn)旅游，每人只去一個景點(diǎn)，設(shè)事件為“4個人去的景點(diǎn)不相同”，事件為“小趙獨(dú)

10、自去一個景點(diǎn)”，則；設(shè)，其正態(tài)分布密度曲線如圖所示，那么向正方形中隨機(jī)投擲10000個點(diǎn)，則落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值是6587.（注：若，則，）其中正確說法的個數(shù)為( )A1B2C3D4【答案】C【分析】求出使的即可判斷；全稱命題的否定是特稱命題，根據(jù)書寫規(guī)則來判斷；利用條件概率的計(jì)算公式計(jì)算即可；利用正太分布的對稱性計(jì)算即可.【詳解】解：由，故“”是“”的充分不必要條件，正確；命題“，”的否定是“，”， 錯誤；由條件概率的計(jì)算公式得，正確；由已知落入陰影部分的點(diǎn)的個數(shù)的估計(jì)值是，正確.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查充分性必要性的判斷，考查條件概率的求解，考查正太分布對稱性的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

11、13某校1000名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績X服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如圖所示，則成績X位于區(qū)間的人數(shù)大約是（ ）A997B954C683D341【答案】C【分析】由題圖知，其中，所以.從而可求出成績位于區(qū)間的人數(shù).【詳解】由題圖知，其中，所以.所以人數(shù)為.故選：C【點(diǎn)睛】此題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義，屬于基礎(chǔ)題.14某單位有800名員工，工作之余，工會積極組織員工參與“日行萬步”健身活動.經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到全體員工近段時間日均健步走步數(shù)（單位：千步）的頻率分布直方圖如圖所示.據(jù)直方圖可以認(rèn)為，該單位員工日均健步走步數(shù)近似服從正態(tài)分布，計(jì)算得其方差為6.25.由此估計(jì)，在這段時間內(nèi)

12、，該單位員工中日均健步走步數(shù)在2千步至4.5千步的人數(shù)約為（ ）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.A103B105C107D109【答案】D【分析】由頻率分布直方圖估計(jì)其均值，可得，乘以800得答案【詳解】解：由頻率分布直方圖估計(jì)其均值，設(shè)日均健步數(shù)為，則，則，日均健步走步數(shù)在2千步至4.5千步的人數(shù)約為109人，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布中兩個量和的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15某高校高三年級理科共有1500人，在第一次模擬考試中，據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布N（100，100），則這次考試年級數(shù)學(xué)成績超過120分的人數(shù)約為（ ）參考數(shù)據(jù)：若服從正態(tài)分

13、布N（，2），有P（+）0.6826，P（2+2）0.9544，P（3+3）0.9974A32人B34人C39人D40人【答案】B【分析】數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布故數(shù)學(xué)成績關(guān)于直線對稱，再結(jié)合，得到超過的概率，即可得到這次考試年級數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù).【詳解】根據(jù)題意，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，所以.本次考試共有人，所以估計(jì)數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)超過的人數(shù)為：人.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正態(tài)分布，解答此類題關(guān)鍵在于將待求的問題向這三個區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)的概率，考查的是劃歸及數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.16某校高三年級有1000名學(xué)生，其中理科班學(xué)生占80%，全體理科班學(xué)生參加一次考試，

14、考試成績近似地服從正態(tài)分布N（72，36），若考試成績不低于60分為及格，則此次考試成績及格的人數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：若ZN（，2），則P（Z+）0.6826，P（2Z+2）0.9544，P（3Z+3）0.9974）A778B780C782D784【答案】C【分析】依題意，參加考試的人數(shù)為800人，考試成績近似地服從正態(tài)分布N（72，36），根據(jù)根據(jù)3原則，以及正態(tài)分布的特點(diǎn)進(jìn)行求解即可.【詳解】依題意，參加考試的人數(shù)為800人，考試成績近似地服從正態(tài)分布N（72，36），所以72，6，根據(jù)3原則，P（Z60）=11P（7226Z72+26）0.9772，所以此次考試成績及格的人數(shù)約為800

15、0.9772782故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了正態(tài)分布，主要考查了正態(tài)曲線的對稱性以及3原則，本題屬于基礎(chǔ)題17本次高三數(shù)學(xué)考試有1萬人次參加，成績服從正態(tài)分布，平均成績?yōu)?18分，標(biāo)準(zhǔn)差為10分，則分?jǐn)?shù)在內(nèi)的人數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：，）A6667人B6827人C9545人D9973人【答案】C【分析】正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于的概率為，根據(jù)概率乘以總體得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)閿?shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，所以數(shù)學(xué)成績關(guān)于對稱，因?yàn)椋苑謹(jǐn)?shù)落在內(nèi)的人數(shù)為人，故選：C.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)正態(tài)分布的問題，涉及到的知識點(diǎn)有正態(tài)總體概率密度曲線的對稱性，屬于基礎(chǔ)題目.18已知服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在

16、區(qū)間、和內(nèi)取值的概率分別為、和.某企業(yè)為名員工定制工作服，設(shè)員工的身高（單位：）服從正態(tài)分布，則適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制（ ）A套B套C套D套【答案】B【分析】由可得，則恰為區(qū)間，利用總?cè)藬?shù)乘以概率即可得到結(jié)果.【詳解】由得：，又適合身高在范圍內(nèi)員工穿的服裝大約要定制：套本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)分布進(jìn)行估計(jì)的問題，屬于基礎(chǔ)題.19某學(xué)校高三模擬考試中數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計(jì)數(shù)學(xué)成績在75分到86分之間的人數(shù)約為（ ）人參考數(shù)據(jù)：，）A261B341C477D683【答案】B【解析】分析：正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于之間的概率是0.6826，根據(jù)

17、概率求出位于這個范圍中的個數(shù)，根據(jù)對稱性除以2 得到要求的結(jié)果詳解：正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于之間的概率是，則估計(jì)數(shù)學(xué)成績在75分到86分之間的人數(shù)約為人.故選B .點(diǎn)睛：題考查正態(tài)曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績關(guān)對稱，利用對稱寫出要用的一段分?jǐn)?shù)的頻數(shù)，題目得解二、解答題20已知某校共有1000名學(xué)生參加體能達(dá)標(biāo)測試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的成績，將他們的測試成績(滿分：100分)分為6組：40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100，得到如下頻數(shù)分布表.成績/分40，50)50，60)60，70)70，80)80

18、，90)90，100頻數(shù)101520301510（1）求這100名學(xué)生的體能測試平均成績(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表).（2）在這100名學(xué)生中，規(guī)定：測試成績不低于80分為“優(yōu)秀”，成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的22列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為體能測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生30女生50總計(jì)（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可認(rèn)為該校全體學(xué)生的體能測試成績X近似服從正態(tài)分布N(，14.312)，其中近似為樣本平均數(shù)，則這1000名學(xué)生中體能測試成績不低于84.81分的估計(jì)有多少人？參考公式及數(shù)據(jù)：XN(，2)，P(-X+)0.6827，P(-2X+

19、2)0.9545；，其中n=a+b+c+d.P(K2k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）；（2）列聯(lián)表答案見解析，有99.9%的把握認(rèn)為體能測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)；（3）159人.【分析】（1）用各組區(qū)間的中點(diǎn)值乘以該組的頻率再相加可得結(jié)果；（2）根據(jù)頻數(shù)分布表可得完整的22列聯(lián)表，計(jì)算出觀測值，結(jié)合臨界值表可得結(jié)果；（3）根據(jù)P(-X+)=P(56.19X84.81) 0.6827，可求得.【詳解】（1）由題意得這100名學(xué)生的體能測試平均成績?yōu)?（2）在抽取的100名學(xué)生中，測試成

20、績優(yōu)秀的有25人，由此可得完整的22列聯(lián)表：優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)男生203050女生54550總計(jì)2575100K2的觀測值，故有99.9%的把握認(rèn)為體能測試成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān).（3）依題意，X服從正態(tài)分布N(70.5，14.312)，因?yàn)镻(-X+)=P(56.19X84.81)0.6827，所以，所以這1000人中體能測試成績不低于84.81分的人數(shù)估計(jì)為0.158651000159人.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)頻數(shù)分布表求平均值，考查了完善列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了正態(tài)分布，屬于中檔題.21某省2015年全省高中男生身高統(tǒng)計(jì)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：全省100000名男生的身高服從正態(tài)分布現(xiàn)從某校高

21、三年級男生中隨機(jī)抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學(xué)生身高全部介于和 之間，將測量結(jié)果按如下方式分成6組：第一組，第二組， ，第6組，下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖（1）試評估我校高三年級男生在全省高中男生中的平均身高狀況；（2）求這50名男生身高在以上（ ）的人數(shù)；（3）在這50名男生身高在以上（含 ）的人中任意抽取2人，該2人中身高排名（以高到低）在全省前130名的人數(shù)記為，求的數(shù)學(xué)期望（參考數(shù)據(jù)：若， ，）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估計(jì)平均數(shù)；(2)由；（3）先求得人中

22、以上人數(shù)，然后令取，可得其概率，最后得到期望.試題解析：（1）由直方圖，經(jīng)過計(jì)算我校高三年級男生平均身高為高于全省的平均值（2）由頻率分布直方圖知，后兩組頻率為，人數(shù)為，即這50名男生身高在以上(含)的人數(shù)為10人 （3），所以，全省前130名的身高在以上，這50人中以上的有5人隨機(jī)變量可取，于是， 考點(diǎn)：用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征、頻率分布直方圖、數(shù)學(xué)期望.22為了解學(xué)生課余學(xué)習(xí)時間的多少是否與成績好壞有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取某校高三年級30名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表（以平均每天課余學(xué)習(xí)時間是否達(dá)到4小時，最近一次月考總成績是否在年級前100名（含）為標(biāo)準(zhǔn)）：4小時以上不足4小時合計(jì)

23、前100名（含）2100名以后18合計(jì)30已知在這30人中隨機(jī)抽取1人，抽到最近一次月考總成績在前100名的學(xué)生的概率為.（1）請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并據(jù)此判斷是否有的把握認(rèn)為課余學(xué)習(xí)時間達(dá)到4小時和成績在年級前100名有關(guān)？說明你的理由；（2）通過統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，這30位同學(xué)最近一次月考數(shù)學(xué)成績（分）近似服從正態(tài)分布，若這30位同學(xué)所在的高三年級有800人，試以這30人的成績分布情況估計(jì)高三年級最近一次月考數(shù)學(xué)成績在130分及以上的大概有多少人？（最后結(jié)果小數(shù)部分四舍五入成整數(shù)）參考公式：，其中，.【答案】（1）答案見解析，有，答案見解析；（2）127人.【分析】（1）根據(jù)抽到最近一次月考總成

24、績在前100名的學(xué)生的概率為，設(shè)這30人中有人在前100名，由，解得，完成列聯(lián)表，然后利用，求得，與臨界表對照下結(jié)論.（2）根據(jù)數(shù)學(xué)成績（分）近似服從正態(tài)分布，則由由題可知求解.【詳解】（1）設(shè)這30人中有人在前100名，則由題可得：，解得，故聯(lián)表補(bǔ)充如下：4小時以上不足4小時合計(jì)前100名（含）628100名以后41822合計(jì)102030所以，故有的把握認(rèn)為課余學(xué)習(xí)時間達(dá)到4小時和總成績在年級前100名有關(guān).（2）由題可知故高三年級800人中超過130的大約有（人）.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)和正態(tài)分布的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.23振華大型電子廠為了解每位工人每天制造某

25、種電子產(chǎn)品的件數(shù)，記錄了某天所有工人每人的制造件數(shù)，并對其進(jìn)行了簡單隨機(jī)抽樣統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：制造電子產(chǎn)品的件數(shù)工人數(shù)131141（1）若去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)，則件數(shù)的平均數(shù)減少2到3（即大于等于2，且小于3），試求樣本中制造電子產(chǎn)品的件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)用該組區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值作代表）（2）若電子廠共有工人1500人，且每位工人制造電子產(chǎn)品的件數(shù)，試估計(jì)制造電子產(chǎn)品件數(shù)小于等于48件的工人的人數(shù)附：若，則，【答案】（1），；（2）30【分析】（1）先設(shè)樣本中所有制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，再設(shè)樣本中去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，由題可得，進(jìn)而列出滿足題意的不

26、等式求解即可；（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式計(jì)算即可得解.【詳解】（1）設(shè)樣本中所有制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，設(shè)樣本中去掉內(nèi)的所有數(shù)據(jù)后制造電子產(chǎn)品的件數(shù)的平均值為，則，依題可得，即，解得，所以件數(shù)在的人數(shù)的取值范圍為，；（2）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以所以，所以估?jì)1500人中每天制造產(chǎn)品件數(shù)小于等于50的人數(shù)為【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)的應(yīng)用，考查正態(tài)分布概率的計(jì)算問題，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于常考題.24十九大提出：堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧.某縣積極引導(dǎo)農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該縣農(nóng)民經(jīng)濟(jì)收入.2019年年底，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從該縣種植這種名貴中藥材的農(nóng)戶

27、中隨機(jī)抽取了100戶，統(tǒng)計(jì)了他們2019年種植中藥材所獲純利潤（單位：萬元）的情況，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組頻數(shù)1015452010（1）該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤（單位：萬元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值），近似為樣本方差.若該縣有1萬戶農(nóng)戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)；（2）為答謝廣大農(nóng)戶的積極參與，該調(diào)查機(jī)構(gòu)針對參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農(nóng)戶從箱子中隨機(jī)取出一個小球，若取到紅球，則停止取球；若取到黑球，則將黑球放回箱中，繼續(xù)取球，但取球次數(shù)不超過1

28、0次.若農(nóng)戶取到紅球，則中獎，獲得2000元的獎勵，若未取到紅球，則不中獎.現(xiàn)農(nóng)戶張明參加了抽獎活動，記他取球的次數(shù)為隨機(jī)變量.求張明恰好取球4次的概率；求的數(shù)學(xué)期望.（精確到0.001）參考數(shù)據(jù)：，.若隨機(jī)變量，則，.【答案】（1）8186；（2），.【分析】（1）先求樣本平均數(shù)，再判斷，接著求，最后求落在區(qū)間的戶數(shù)；（2）先確定每次取球都恰有的概率取到紅球，再求；先求概率當(dāng)時，再求的數(shù)學(xué)期望，最后用錯位相減法求和化簡求出答案.【詳解】解：（1）由題意知：中間值246810概率0.10.150.450.20.1所以樣本平均數(shù)（元），所以，所以，而.故1萬戶農(nóng)戶中，落在區(qū)間的戶數(shù)約為.（2）每

29、次取球都恰有的概率取到紅球.則有，故張明取球恰好4次的概率為.由可知，當(dāng)時，.故的數(shù)學(xué)期望為設(shè)，則，兩式作差得，【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布、利用二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望、錯位相減法求和，是中檔題.25某大學(xué)為了了解數(shù)學(xué)專業(yè)研究生招生的情況，對近五年的報考人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份2015201620172018201912345報考人數(shù)3060100140170（1）經(jīng)分析，與存在顯著的線性相關(guān)性，求關(guān)于的線性回歸方程并預(yù)測2020年（按計(jì)算）的報考人數(shù)；（2）每年報考該專業(yè)研究生的考試成績大致符合正態(tài)分布，根據(jù)往年統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，錄取方案：總分在400分以上的直接錄取，總分在之間的進(jìn)入面試環(huán)節(jié)

30、，錄取其中的80%，低于385分的不予錄取，請預(yù)測2020年該專業(yè)錄取的大約人數(shù)（最后結(jié)果四舍五入，保留整數(shù)）參考公式和數(shù)據(jù)：，若隨機(jī)變量，則，【答案】（1）；208人；（2）90.【分析】（1）由已知表格中的數(shù)據(jù)求得與的值，則線性回歸方程可求，取求得值即可；（2）研究生的考試成績大致符合正態(tài)分布，求出，乘以208可得直接錄取人數(shù)，再求出，之間的錄取人數(shù)，則答案可求【詳解】解：（1）可求：，由，關(guān)于的線性回歸方程是 當(dāng)2020年即時，人即2020年的報考人數(shù)大約為208人（2）研究生的考試成績大致符合正態(tài)分布，則400=385+15，直接錄取人數(shù)為人之間的錄取人數(shù)為所以2020年該專業(yè)錄取的大

31、約為33+57=90人【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及所表示的意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題26隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動記載每日健步走的步數(shù)，從而為科學(xué)健身提供了一定幫助.某企業(yè)為了解員工每日健步走的情況，從該企業(yè)正常上班的員工中隨機(jī)抽取300名，統(tǒng)計(jì)他們的每日健步走的步數(shù)(均不低于4千步，不超過20千步).按步數(shù)分組，得到頻率分布直方圖如圖所示.（1）求這300名員工日行步數(shù)(單位：千步)的樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果保留整數(shù))；（2）由直方圖可以認(rèn)為該企業(yè)員工的日行步數(shù)(單位：千步)服從正態(tài)分布，其中

32、為樣本平均數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為2，根據(jù)該正態(tài)分布估計(jì)該企業(yè)被抽取的300名員工中日行步數(shù)的人數(shù)；（3）用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率.若工會從該企業(yè)員工中隨機(jī)抽取2人作為“日行萬步”活動的慰問獎勵對象，規(guī)定：日行步數(shù)不超過8千步者為“不健康生活方式者”，給予精神鼓勵，獎勵金額為每人0元；日行步數(shù)為814千步者為“一般生活方式者”，獎勵金額為每人100元；日行步數(shù)為14千步以上者為“超健康生活方式者”，獎勵金額為每人200元.求工會慰問獎勵金額(單位：元)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.【答案】（1）(千步)；（2）人；（3）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望(元).【分析】（1）

33、以每組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值乘以相應(yīng)頻率相加即得均值；（2）由，由得概率，從而可得人數(shù)（3）由頻率分布直方圖求得每人獲得獎金額為0元、100元、200元的概率，的取值為0，100，200，300，400，計(jì)算出概率后可得概率分布列，由期望公式可計(jì)算期望【詳解】（1）由題意有(千步).（2）由，由（1）得，所以.所以300名員工中日行步數(shù)的人數(shù)：.（3）由頻率分布直方圖可知：每人獲得獎金額為0元的概率為：.每人獲得獎金額為100元的概率為：.每人獲得獎金額為200元的概率為：0.1.的取值為0，100，200，300，400.，.所以的分布列為：01002003004000.00040.03520.7

34、7840.1760.01(元)【點(diǎn)睛】本題考查由頻率分布直方圖求均值，考查正態(tài)分布的應(yīng)用，考查隨機(jī)變量的概率分布率和數(shù)學(xué)期望，旨在考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力，運(yùn)算求解能力，屬于中檔題27某次歌手大賽設(shè)有專業(yè)評委組和業(yè)余評委組兩個評委組，每組人.每首參賽歌曲都需要位評委打分（滿分為分，且各評委打分相互獨(dú)立）.從專業(yè)評委組的個分?jǐn)?shù)中去掉一個最高分，去掉一個最低分，可求出剩余個有效得分的平均分，按照同樣的方法可得到業(yè)余評委組打分的平均分.參賽選手該歌曲的最終得分為.在該比賽中，對某選手在初賽中參賽歌曲的得分進(jìn)行整理，得到如下莖葉圖.（1）計(jì)算、兩小組各自有效得分的均值、及標(biāo)準(zhǔn)差、；（2）專業(yè)評委組由于其

35、專業(yè)性，有效打分通常比較集中；業(yè)余評委組由于水平不一，有效打分通常比較分散.利用（1）的計(jì)算結(jié)果推斷、兩個小組中的哪一個更有可能是專業(yè)評委組？請說明理由；在的推斷下，計(jì)算此選手初賽歌曲的最終得分；（3）若（2）的推斷正確，且該選手成功進(jìn)入復(fù)賽，復(fù)賽中位評委所打分?jǐn)?shù)大致服從正態(tài)分布，試估計(jì)位評委中，打分在分以上的人數(shù).參考數(shù)據(jù)：組名評委打分總和為，組名評委打分總和為；若，則，.【答案】（1），；（2）組更有可能是業(yè)評委組，理由見解析；（3）大約為人.【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平均數(shù)公式可求得、，并結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式可求得、；（2）比較、的大小，進(jìn)而可得出結(jié)論；根據(jù)題中公式可求得的值；（3）計(jì)算出正態(tài)

36、分布的均值，標(biāo)準(zhǔn)差，利用原則求得，再乘以可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可知，；（2）因?yàn)?，因此組更有可能是業(yè)評委組；（3）由（1）（2）可知，正態(tài)分布的參數(shù)，.設(shè)某評委打出的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量，則，故.，于是估計(jì)位評委中，打分在分以上的人數(shù)大約為人.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差的計(jì)算，同時也考查了利用正態(tài)分布原則進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題.28湖北七市州高三5月23日聯(lián)考后，從全體考生中隨機(jī)抽取44名，獲取他們本次考試的數(shù)學(xué)成績和物理成績，繪制成如圖散點(diǎn)圖：根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出與之間有線性相關(guān)關(guān)系，但圖中有兩個異常點(diǎn)經(jīng)調(diào)查得知，考生由于重感冒導(dǎo)致物理考試發(fā)揮失常，考生因故未能參加物理考試為了

37、使分析結(jié)果更科學(xué)準(zhǔn)確，剔除這兩組數(shù)據(jù)后，對剩下的數(shù)據(jù)作處理，得到一些統(tǒng)計(jì)的值：其中，分別表示這42名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績、物理成績，2，42，與的相關(guān)系數(shù)（1）若不剔除兩名考生的數(shù)據(jù)，用44組數(shù)據(jù)作回歸分析，設(shè)此時與的相關(guān)系數(shù)為試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由；（2）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)如果考生參加了這次物理考試（已知考生的數(shù)學(xué)成績?yōu)?25分），物理成績是多少？（3）從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律看，本次考試七市州的物理成績服從正態(tài)分布，以剔除后的物理成績作為樣本，用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本方差作為的估計(jì)值試求七市州共50000名考生中，物理成績位于區(qū)間（62.8，85.2）的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望附：回歸方程

38、中：若，則【答案】（1），理由詳見解析；（2），81分；（3）34135【分析】（1）根據(jù)正相關(guān)關(guān)系可判斷，理由可從偏差大小與相關(guān)系數(shù)大小關(guān)系分析；（2）先計(jì)算均值，再代入公式求，即得線性回歸方程，最后令，求出值即為估計(jì)值；（3）先確定區(qū)間（62.8，85.2）為，即可得對應(yīng)概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布公式可得數(shù)學(xué)期望.【詳解】【解】（1）理由如下（任寫一條或幾條即可）：由圖可知，與成正相關(guān)關(guān)系，異常點(diǎn)會降低變量之間的線性相關(guān)程度44個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更大，回歸效果更差，所以相關(guān)系數(shù)更小42個數(shù)據(jù)點(diǎn)與其回歸直線的總偏差更小，回歸效果更好，所以相關(guān)系數(shù)更大42個數(shù)據(jù)點(diǎn)更貼近其回歸直線44個數(shù)據(jù)

39、點(diǎn)與其回歸直線更離散 （2）由題中數(shù)據(jù)可得：，所以 又因?yàn)?，所以，所以?將代入，得，所以估計(jì)同學(xué)的物理成績?yōu)?1 （3），所以，又因?yàn)樗?因?yàn)?，所以，即物理成績位于區(qū)間（62.8，85.2）的的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為34135【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)、線性回歸方程、利用線性回歸方程估計(jì)、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率、利用二項(xiàng)分布求數(shù)學(xué)期望，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.29為響應(yīng)德智體美勞的教育方針，唐徠回中高一年級舉行了由全體學(xué)生參加的一分鐘跳繩比賽，計(jì)分規(guī)則如下：每分鐘跳繩個數(shù)185以上得分1617181920年級組為了了解學(xué)生的體質(zhì)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)了他的跳繩個數(shù)，并繪制了如下

40、樣本頻率直方圖：（1）現(xiàn)從這100名學(xué)生中，任意抽取2人，求兩人得分之和小于35分的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）；（2）若該校高二年級2000名學(xué)生，所有學(xué)生的一分鐘跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計(jì)值（同一組中數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）利用所得到的正態(tài)分布模型解決以下問題：估計(jì)每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)（四舍五入到整數(shù)）若在全年級所有學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記每分鐘跳繩在179個以上的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望與方差（若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布則，）【答案】(1) ；(2)；的分布列為：0123【分析】(1)先分析可得有四種大的情況,再根據(jù)排列組合的方法求概率即可.(2

41、)根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)求解的概率再利用總?cè)藬?shù)求解即可.易得滿足二項(xiàng)分布,再根據(jù)二項(xiàng)分布的公式計(jì)算分布列與數(shù)學(xué)期望和方差即可.【詳解】(1)設(shè)“兩人得分之和小于35分”為事件,則事件包括以下四種情況：兩人得分均為16分；一人得分16,一人得分17；一人得分16,一人得分18；兩人均得17分.由頻率分布直方圖可得,得16分的有6人,得17分的有12人,得18分的有18人.則由古典概型的概率計(jì)算公式可得.故兩人得分之和小于35分的概率為(2)由頻率分布直方圖可得樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計(jì)值為：,又由,得標(biāo)準(zhǔn)差,所以高二年級全體學(xué)生的跳繩個數(shù)近似服從正態(tài)分布.因?yàn)?故.故估計(jì)每分鐘跳繩164個以上的人數(shù)為由

42、正態(tài)分布可得,全年級任取一人,其每分鐘跳繩個數(shù)在179以上的概率為.所以,所有可能的取值為.所以,.故的分布列為：0123【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻率分布直方圖以及排列組合的運(yùn)用,同時也考查了正態(tài)分布與二項(xiàng)分布的特點(diǎn)以及計(jì)算,需要根據(jù)題意分析正態(tài)分布中標(biāo)準(zhǔn)差的運(yùn)用以及概率的求解.屬于中檔題.30某網(wǎng)購平臺為幫助某貧困縣脫貧致富，積極組織該縣農(nóng)民制作當(dāng)?shù)靥禺a(chǎn)臘排骨，并通過該網(wǎng)購平臺銷售，從而大大提升了該縣農(nóng)民的經(jīng)濟(jì)收入.年年底，某單位從通過該網(wǎng)購平臺銷售臘排骨的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了戶，統(tǒng)計(jì)了他們年因制作銷售臘排骨所獲純利潤（單位：萬元）的情況，并分成以下五組：、，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：所獲純利潤（單位：

43、萬元）農(nóng)戶戶數(shù)（1）據(jù)統(tǒng)計(jì)分析可以認(rèn)為，該縣農(nóng)戶在該網(wǎng)購平臺上銷售臘排骨所獲純利潤（單位：萬元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.若該縣有萬戶農(nóng)戶在該網(wǎng)購平臺上銷售臘排骨，試估算所獲純利潤在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù).（每區(qū)間數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中間值表示）（2）為答謝該縣農(nóng)戶的積極參與，該網(wǎng)購平臺針對參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎活動，每人最多有次抽獎機(jī)會，每次抽獎的中獎率均為.每一次抽獎，若中獎，則可繼續(xù)進(jìn)行下一次抽獎，若未中獎，則活動結(jié)束，每次中獎的獎金都為元.求參與調(diào)查的某農(nóng)戶所獲獎金的數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，.【答案】（1）；（2）元.【分析】（1）將頻率分布表

44、中每組的中點(diǎn)值乘以對應(yīng)組的頻率，將所得結(jié)果全部相加可得出，結(jié)合可得出，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可計(jì)算出的值，再乘以可得結(jié)果；（2）設(shè)中獎次數(shù)為，則的可能取值為、，則，由此利用錯位相減法可計(jì)算得出的數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）由題意知：中間值頻率樣本的平均數(shù)為，所以，所以，而.故萬戶農(nóng)戶中，落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)約為；（2）設(shè)中獎次數(shù)為，則的可能取值為、，則，所以.令，由得：，所以（元）.所以參與調(diào)查的某農(nóng)戶所獲獎金的數(shù)學(xué)期望為元.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間概率的計(jì)算，同時也考查了隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，考查了錯位相減求和法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.31十九大提出：堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，做到精準(zhǔn)扶貧.某

45、縣積極引導(dǎo)農(nóng)民種植一種名貴中藥材，從而大大提升了該縣村民的經(jīng)濟(jì)收入.2019年年底，該機(jī)構(gòu)從該縣種植的這種名貴藥材的農(nóng)戶中隨機(jī)抽取了100戶，統(tǒng)計(jì)了他們2019年因種植，中藥材所獲純利潤(單位：萬元)的情況(假定農(nóng)戶因種植中藥材這一項(xiàng)一年最多獲利11萬元)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：（1）由表可以認(rèn)為，該縣農(nóng)戶種植中藥材所獲純利潤Z(單位：萬元)近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)(每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值)，近似為樣本方差.若該縣有1萬戶農(nóng)戶種植了該中藥材，試估算所獲純利潤Z在區(qū)間(1.9，8.2)的戶數(shù)；（2）為答謝廣大農(nóng)戶的積極參與，該調(diào)查機(jī)構(gòu)針對參與調(diào)查的農(nóng)戶舉行了抽獎活動，抽獎規(guī)則如下：

46、在一箱子中放置5個除顏色外完全相同的小球，其中紅球1個，黑球4個.讓農(nóng)戶從箱子中隨機(jī)取出一個小球，若取到紅球，則抽獎結(jié)束；若取到黑球，則將黑球放回箱中，讓他繼續(xù)取球，直到取到紅球?yàn)橹?取球次數(shù)不超過10次).若農(nóng)戶取到紅球，則視為中獎，獲得2000元的獎勵，若一直未取到紅球，則視為不中獎.現(xiàn)農(nóng)戶張明參加了抽獎活動，記他中獎時取球的次數(shù)為隨機(jī)變量X，他取球的次數(shù)為隨機(jī)變量Y.證明：為等比數(shù)列；求Y的數(shù)學(xué)期望.(精確到0.001)參考數(shù)據(jù)：.若隨機(jī)變量則.【答案】（1）；（2）證明見解析；.【分析】(1)根據(jù)題意求出樣本平均數(shù)即可得出即,則可根據(jù),求出其所獲純利潤Z在區(qū)間(1.9，8.2)的戶數(shù)；

47、(2) 因?yàn)槊看稳∏蚨记∮械母怕嗜〉郊t球,即，則可證明之.根據(jù)所求的,根據(jù)當(dāng)時,代入,再利用錯位相減求出其值即可.【詳解】（1）由題意知：所以樣本平均數(shù)為（萬元），所以，所以，而.故1萬戶農(nóng)戶中，Z落在區(qū)間的戶數(shù)約為.（2）每次取球都恰有的概率取到紅球.則有，故為以為首項(xiàng)為公比的等比數(shù)列.由可知，當(dāng)時,.故Y的數(shù)學(xué)期望為設(shè)，則，兩式作差得,.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,屬于中檔題.解題時需認(rèn)真審題,結(jié)合題中所給數(shù)據(jù),拿出答案.32某市為了增強(qiáng)民眾防控病毒的意識，舉行了“預(yù)防新冠病毒知識競賽”網(wǎng)上答題，隨機(jī)抽取人，答題成績統(tǒng)計(jì)如圖所示.（1）由直方圖可認(rèn)為答題者的成績服從正態(tài)分布，其中，分別為答題者的平均成績和成績的方差，那么這名答題者成績超過分的人數(shù)估計(jì)有多少人？（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)值作代表）（2）如果成績超過分的民眾我們認(rèn)為是“防御知識合格