11級研究生數(shù)值分析考試知識點

1、1知識點有效數(shù)字，穩(wěn)定性非線性方程求解：不動點法、牛頓法應(yīng)用Lagrange、牛頓插值及其余項、插商表的構(gòu)造；樣條概念；線性最小二乘擬合代數(shù)精度、高斯型求積公式；龍貝格積分向量、矩陣范數(shù)；線性方程組的收斂性、J，GS方法求解；線性方程組的一般求解方法。微分方程的改進(jìn)歐拉法求解。注：請同學(xué)們根據(jù)所列知識點，在教材上找到相應(yīng)的例題或者習(xí)題認(rèn)真進(jìn)行練習(xí)。下文所列習(xí)題僅備做題模式所用，請同學(xué)們補齊所有知識點例題。寫出有效數(shù)字的概念，并計算1.41近似空2有幾位有效數(shù)字。解：設(shè)X*是X的近似數(shù)，可表示為c*=0.aa.axlOk,12n每個x均為0,1,2,9中的數(shù)字，且a豐0,i11如果X-X*_-1

2、0k-n,則稱X*近似X具有n位有效數(shù)字。21.41近似J2有3位有效數(shù)字。求積分I=11上dx可得遞推公式nox+51=-5In=1,2,.nnn-1給定初始近似值I*=0.2,計算,計算到I時，誤差是多少？008分析該遞推式的穩(wěn)定性。解：二I*-1r1r1s二I*-1二_-5I*-_-5Innnnn-1丿5n-1=52I*-I二二=5nn-2n-2I二J1dx=0.1823,s0ox+500二51*-1二5n0.0177丿I*I=5nS00二0.0177,n-1n-1s二580.0177=6914.06258因此計算到I時誤差為6914.0625，利用遞推公式8步計算誤差擴大了839062

3、5倍，故該公式數(shù)值計算不穩(wěn)定。3.證明計算的牛頓迭代公式為乂丘2x+上,并用xk丿此迭代公式計算要求精確到10-6。解：令x=3c，則它是方程X3c=0的根,取f(x)=X3-C,則f(x)=3x2，代入牛頓迭代公式X=xk+11xk+12x+一。kx2丿kc=65時，由于f(4)0，f(5)0,故x(4,5)，選x=4代入x0k+1：65)2x+kx2丿kx=4,x=4.020833333,x=4.020725761,x=4.0207257590123故x=4.020725。4已知函數(shù)f(x)=sinx,x需,;利用二次插值方法計帥竽,給出誤差估計。解：取(兀)x_一L(x)=122(兀兀、

4、64丿x一3丿(K6_T丿則二次Lagrange插值多項式為5(2(kK1(K13丿(K_K146丿143丿(K116丿(K114丿2兀K、36JK、34丿R(x)21一3!K1x_6丿K1x_4丿K1x_3丿sinHL92(2K1=0.643425(2K1一|cos|2KK1(2KK1(2KK13！6丿4丿3丿=0.886096x10_55.給定f(x)=3x數(shù)據(jù)表如下，求作一個三次牛頓插值多項式，并計算30.75的近似值。x0123yi13927解：由數(shù)據(jù)點做差商表，如下01TOC o 1-5 h z32962427186-3所以牛頓插值函數(shù)N(x)=1+2x+2x(x一1)+4x(x一1

5、)(x-2).3330.75=f(0.75人N(0.75)=2.437536.已知線性方程組匚1131-5,212-19人廠-3、-76丿1）討論用JacobiGuass-Seide1法求解時的收斂性;2）若1）中方法收斂，則取x（o）=（0,0,0萬為初始點計算到x（3）;3）試寫出另外一種迭代格式，并分析收斂性；(03112、112)J=10255212011919丿Jacobi方法計算數(shù)據(jù)：解：1)系數(shù)陣嚴(yán)格對角占優(yōu)；00.27270.1818、0.200000.6000、0.10530.63160丿00.00000.00000.27271.40000.59711.26510.72631

6、.87770.0000-0.31580.59710.546100.27270.1818、G-S=00.05450.6364、00.06320.4211丿G-S方法計算數(shù)據(jù)：00.00000.00000.000010.27271.45450.631620.78431.93580.989430.98062.18971.17043）如x（k+1）=（1+A）x（k）+b,迭代基本收斂定理;7.煉鋼脫碳過程，鋼液含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，下表是某平爐的生產(chǎn)紀(jì)錄，x是含碳量iy是出鋼所需時間，試確定函數(shù)關(guān)系。ixi165123150123141y.i187126170125148解由數(shù)據(jù)知，擬合曲線可設(shè)為y二a+bx,由條件得,5a+702b=756702a+99864b=108096解之得，a=-59.26,b=1.499。8用Romberg積分計算I(f)=20j1e-xdx的近似值，計算到T。33解f(x)=e-x,a=0,b=1,f(a)=1,f(b)=e-1=0.367879T=baf(0)+f(1)=0.683939(0.771743)112T=b-af(0)+2ff-+f(1)=0.645205(0.728036)212212丿T31b-a13二+2fl；+2fl；+f(1)2丿4丿=0.63539(5