11：數(shù)值分析試題2009~2010

1、共6頁,第2頁共6頁，第 頁中國石油大學(xué)(北京)2009-2010學(xué)年第一學(xué)期研究生期末考試試題A(閉卷考試)所有試題答案寫在答題紙上，答案寫在試卷上無效題號(hào)一二三四五六總分得分注：計(jì)算題取小數(shù)點(diǎn)后四位一、填空題(共30分，每空3分)1、已知x=0.004532是由準(zhǔn)確數(shù)a經(jīng)四舍五入得到的近似值，則x的絕對(duì)誤差TOC o 1-5 h z界為。2、數(shù)值微分公式f(x)f(t+伴_f()的截?cái)嗾`差為。ih3、已知向量x=(1八：3)T，求Householder變換陣H，使Hx=(-2,0)T。H=。4、利用三點(diǎn)高斯求積公式tf(x)dx0.555f-(07#46)0f8+89(Of0.5556(0

2、.7746)-1導(dǎo)出求積分ff(x)dx的三點(diǎn)高斯求積公。05、若f(x)=5x4+2x2一3,則f01,02,0.3,04,05=.6、以n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)xk(k=0,1,n),(n1)為插值節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)為lk(x)(k=0,1,n),貝01(0)(x+1)=kkkk=07、已知P(x)是用極小化插值法得到的cosx在0,4上的三次插值多項(xiàng)式，則P(x)的33截?cái)嗾`差上界為R(x)=|cosx-q(x)|8、已知向量x=(3,2,-5)t，求Gauss變換陣L，使Lx=(3,0,0)T。L=.9、設(shè)f(x)=(x3-7)2,給出求方程f(x)=0根的二階收斂的迭代格式。1

3、0、下面M文件是用來求解什么數(shù)學(xué)問題的？functionx,k=dd(x0)fork=1:1000 x=cos(x0);ifabs(x-x0)0.00001,breakendx0=x;end二、（15分）已知矛盾方程組Ax=b,其中A=9（1）用施密特正交化方法求矩陣A的正交分解，即A=QR。（2）用此正交分解求矛盾方程組Ax=b的最小二乘解。三、（10分）已知求解線性方程組Ax=b的分量迭代格式X(k+1)iiijjj=1i=1,2,n-1,n,刀ax(k)/aijjiij=i+11）試導(dǎo)出其矩陣迭代格式及迭代矩陣；（2）若a=f1a，推導(dǎo)上述迭代格式收斂的充分必要條件。Ia1丿1四、（15

4、分）證明對(duì)任何初值xoeR，由迭代公式人=1+血X，k=0,1,2,所產(chǎn)生的序列xx都收斂于方程x=1+sinx的根。kk=021迭代公式=2xk-1-2血沐，k=0,1,2,.是否收斂。五、（15分）用最小二乘法確定一條經(jīng)過原點(diǎn)（0,0）的二次曲線，使之?dāng)M合下列數(shù)據(jù)x-2-112iy30.813.4i并求平方誤差15|2。2六、（15分）（1）寫出以0,1,2為插值節(jié)點(diǎn)的二次Lagrange插值多項(xiàng)式篤（x）；（2）以0,1,2為求積節(jié)點(diǎn)，建立求積分I=13f（x）dx的一個(gè)插值型求積公式,0并推導(dǎo)此求積公式的截?cái)嗾`差。中國石油大學(xué)（北京）2009-2010學(xué)年第一學(xué)期研究生期末考試試題標(biāo)準(zhǔn)

5、答案A（閉卷考試）1(30分)1、-x10-6；22、O(h)；3、H=-題號(hào)一二三四五.六總分得分4、5、5；6、1；7、1.12；8、L=9、xk+12(x3一7)2=x一2k=xk6(x5-7x2)kkkx3-7k3x-k10、用簡單迭代法x=cos（x）求方程x=cos（x）的根。k+1k二、15分)(1)u=(1,2,2)T,u=(1,0,1)T121v=u=(1,2,2)t,=(1,2,2)t,111311v=u一(u,)=u-=(2,-2,1)T,=v=(2,-2,1)T132232221u=311u=+212j2_31_2-2_01_21_1A=QR=310分）Jf(x)dx1

6、.1112f4508)+1.7778f+1.1112f(3.5492).0共6頁，第 頁共6頁，第 #頁Rx=QTb=5/31/341935分）x(k+1)=Bx(k)+g(a)11a22,L=-(0a21.00、aaan1a0丿nn-1其中D=121n(0B=(D-L)-1Ug=(D-L)-1b(6分)（2）迭代矩陣（10、-1(0-a、a1丿（10、(0-a、(0-a、-a1丿00丿、0a2丿B=(D-L)-1Up(B)=即a21t0|a|1a2迭,代格式收斂的充分必要條件是pB)1,1,(4分)三、（10分）ax(k+1)=b藝ax-為ax(k+1),i=n,n-1.,2,1iiiiij

7、jijjj=1j=i+1Dx(k+1)=b+Lx(k+1)+Ux(k)(D-L)x(k+1)=Ux(k)+bx(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b迭代法的矩陣形式迭代矩陣右端向量an-1,n0丿11四、（15分）記申（X）=1+嚴(yán)x則3=2cosx。1先考慮區(qū)間0.5,1.5，當(dāng)xe05,15時(shí)，9(x)=1+-sinxe05,15,2TOC o 1-5 h z19(x)|=-cosx-15221所以迭代公式x=2x一1一石sinx,k=0,1,2,不收斂。k+1k2k五、（15分）(3分)-243-1108=,=,Y=1121124349(x)=x,9(x)=x21210分

8、)11100a1a011=274=034b274b0.8059L34s(x)=01x+08059x2|3|；=(Y,Y)-a(%,Y)-be,Y)=222-01-0.8059x274=0.01835分)六、（15分）1)P2(x)=(x一1)(x一2)f(0)+(x一0)(x一2)f(1)+(x1)(x0)(0-1)(0-2)八)(1-0)(1-2)八)(2-1)(2-0)5分)J：/(x)j3x皿=3/(0)+9/(2)=I5分)19取f（x）=x3,代入求積公式，左邊=-X34豐X23=右邊44代數(shù)精度為2構(gòu)造一個(gè)二次插值多項(xiàng)式P2（x）滿足下列條件p(0)=f(0),P(2)=f(2),p(2)=f(2)222f(x)一p(x-=f&-x(x-2)2,abJ3f(x)dx-J3p(x)dx=J3