彈性力學(xué)及有限元基礎(chǔ)復(fù)習(xí)權(quán)威版

1、彈性力學(xué)及有限元基礎(chǔ)復(fù)習(xí)思考題1 .對彈性體所做的基本假設(shè)？答：連續(xù)性假設(shè)；均勻性假設(shè)；各向同性假設(shè)；彈性假設(shè)；小變形假設(shè)；2.用DAlember原理由平衡方程推導(dǎo)運動微分方程?答：微元體的平衡微分方程的表達(dá)式為： TOC o 1-5 h z 8。8。8。H +21 +31 + f = 0 8x8x8x11 2 38。8。8。匕八 12 +22 +32 + f = 01 2 38。8。8。八8 13 + 8 23 + 8 33 + f = 0I 123根據(jù)DAlember原理，將運動物體看成是靜止的，將慣性力一P(穿)當(dāng)作體力加到微元體上，由上式 8t 2可以直接寫出彈性動力學(xué)問題的運動微分方

2、程：8。 8。 8。 廠 z82u、 H + 21 +31 + f = P () 8x8x8x18t 21238。8。8。82u、 12 +22 +32 + f = P ( )8x8x8x28t 2-1c2c3-8。8。8。0u、13 + 23 + 33 + f = P () 8x8x8x38t 23.什么是應(yīng)力張量？我們說一點的應(yīng)力狀態(tài)是什么涵義？答：應(yīng)力張量是一點應(yīng)力狀態(tài)的完整描述，它有面元方向和分解方向兩個方向性，共有九個分量，由于 存在對稱性，其獨立分量只有六個。應(yīng)力張量是與坐標(biāo)選擇無關(guān)的不變量，但其分量與坐標(biāo)有關(guān)，當(dāng)已知某 坐標(biāo)系中的九個分量時，其他坐標(biāo)系中的分量均可由應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式確

3、定。一點的應(yīng)力狀態(tài)是一個具有雙重方向性的物理量，其中第一個是面元的方向，用其法矢量v表示，第二 個是作用在該面元上的應(yīng)力矢量方向，一般用其三個分量來表示。 在引出Cauchy應(yīng)力公式時，我們假設(shè)四面體處于平衡狀態(tài)，如不處在平衡狀態(tài)則如何？答：如果不處在平衡狀態(tài)，Cauchy應(yīng)力公式仍然滿足，關(guān)系式的成立與是否平衡無關(guān)。在什么情況下剪應(yīng)力互等定律不成立?答：無論在變形體的內(nèi)部或者表面上，若存在體力偶時，剪應(yīng)力互等定律不成立。任意斜截面上的正應(yīng)變和剪應(yīng)變的意義是什么？8小稱為剪應(yīng)變，分別等于變形前沿該分量下答：應(yīng)變張量的三個對角分量8x、e,、七稱為正應(yīng)變，分別等于坐標(biāo)軸方向三個線元的單位伸長率，

4、 伸長為正，縮短為負(fù)。應(yīng)變張量的三個非對角分量8 xy、8義、標(biāo)所示兩坐標(biāo)方向的、相互正交的線元在變形后的夾角減小量之半。剛性位移，剛性轉(zhuǎn)動，剛體位移，剛體轉(zhuǎn)動有何區(qū)別？答：(1)剛性位移：物體內(nèi)任意兩點間無相對位移；(2)剛性轉(zhuǎn)動：應(yīng)變張量為0，轉(zhuǎn)動張量不為0； (3) 剛體位移：運動分為變形運動和剛體運動，每點都發(fā)生相同的位移就叫作剛體位移；(4)剛體轉(zhuǎn)動：用剛性 轉(zhuǎn)動描述剛體轉(zhuǎn)動。協(xié)調(diào)條件的物理意義是什么？答：不開裂、不相互侵入、連續(xù)且不脫離、不重疊。9.變形體和剛體本質(zhì)區(qū)別是什么？變形分析的核心是什么？答：本質(zhì)區(qū)別在于剛體在運動時其上任意兩點的相對距離不發(fā)生變化，僅考慮其整體位置的改變

5、，變形 體在運動時不僅要考慮其位置的改變，還要考慮物體大小及形狀的改變，發(fā)生變形。核心：分析物體任意兩點距離之間的變化。請說明“正應(yīng)力弓|起正應(yīng)變，剪應(yīng)力弓|起剪應(yīng)變”結(jié)論是否正確？為什么？答：不正確。對于各向同性材料，逆彈性關(guān)系表明，正應(yīng)力只引起正應(yīng)變，剪應(yīng)力只引起剪應(yīng)變，它們 是互不耦合的。對于各向異性材料的一般情況，任何一個應(yīng)力分量都可能引起任何一個應(yīng)變分量的變化。各向同性彈性材料和各向異性材料本質(zhì)差別？答：物理差別：各向異性表示物體的全部或部分物理、化學(xué)等性質(zhì)因方向的不同而不同的特性。各向同 性是指物體的物理、化學(xué)等方面的性質(zhì)不會因方向的不同而不同的特性。數(shù)學(xué)差別：彈性模量張量在坐標(biāo)旋

6、轉(zhuǎn)時，各分量不發(fā)生變化時為各向同性材料，反之則為各向異性材料。(不考)12.各向同性材料的彈性常數(shù)應(yīng)有幾個？如何從廣義如血定律的81個彈性常數(shù)推導(dǎo)各向同性材 料的常數(shù)？13 .請寫出彈性力學(xué)的全部方程，并用張量指標(biāo)符號表示？ TOC o 1-5 h z 廠八1/、答：平衡方程：b. + F = 0，幾何方程：e = 3(.+u .) ij, jij 2j,i 1, j協(xié)調(diào)方程：e+e e e 0 =Hooke定律：b =尚 e + 2e，i , j k l , k l i, ji , k j l j l i Li ji j1e = (1+ v)b - v05 式中e=e.，應(yīng)力邊界S/的條件：

7、_T = a V - U J以及位移邊界上Su上的條件為：_巳=禮以上為彈性力學(xué)的全部方程，共21個，這些方程含有的未知數(shù)是勺e.和b”共15個。14 .請寫出應(yīng)用位移法求解彈性力學(xué)問題的步驟？ J J1上答：選擇ui作為基本未知數(shù)，由Cauchy幾何方程e. =3 (u . . + u. )可解得e .，再由Hooke定律 i 2j,ii, jijb. = *8 .e + 2Pe .得到b，再由平衡方程b. . + F = 0在一定的邊界條件下求解，得出位移u o Cauchy ijijijijij, j ii幾何方程有6個，Hooke定律有6個，平衡方程有3個，即15個方程可求得15個未知

8、數(shù)，u.，%, b 。15.請寫出應(yīng)用應(yīng)力法求解彈性力學(xué)問題的步驟？答：選擇氣作為基本未知數(shù)，由Hooke定律氣=*8旨+ 2e ,可得匕，應(yīng)滿足協(xié)調(diào)方程 e. +氣.一氣.e. = 0，再加上平衡方程b. . + F = 0聯(lián)力求解，可得b .，然后再由相應(yīng)求得e.ij ,klkl ,ijik, jljl ,ikij, jiijij1利用Cauchy幾何方程e.=今(u . . + u .)積分得到u。ij 2j ,ii, ji前一個過程：由Hooke定律6個加諧調(diào)方程6個再加平衡方程3個可得6個未知數(shù) 和烏6個未知數(shù)。后一個過程，由Cauchy兒何方程6個，積分得未知數(shù)。結(jié)果21個方程 皆

9、要用到。16 .請說明工程應(yīng)變與理性(理論)應(yīng)變的根本區(qū)別？答：理論應(yīng)變的計算公式為E = ；(* + !匕+ * * )；工程剪應(yīng)變計算公式為 j 2 da da da da-1 /淑.，湖、e. = 2(會+彼)工程剪應(yīng)變無法精確的表示應(yīng)變非線性部分而當(dāng)小變形時二者卻可以近似相等。i j 丑、17.從Cauchy應(yīng)力公式推導(dǎo)最大剪應(yīng)力：T啞=方(max Gmin)v解：從Cauchy應(yīng)力公式得到V方向上的應(yīng)力矢量T，將其投影到v方向和與V垂直的平面上，將分解 成正應(yīng)力 s和剪應(yīng)力T (v)，%) = T v =骸=七此時將坐標(biāo)軸取成應(yīng)力主軸方向，應(yīng)該無剪應(yīng)力分量，Cauchy應(yīng)力公式簡化為

10、T= v .(i=1, 2,3)其中加上表示不求和，故：可得到希)二(。凹尸+即丁 - &+g+% 捋 r 利用V 2 v 4 = v 2(1-v 2) = v 2(v 2 + V 2)T 2 = v2v2( )2 + v2v2( )2 + v2v2( )2 TOC o 1-5 h z (v)1 2 122 3 233 1 31、.、.1I _、當(dāng)適當(dāng)選取v的值，如七七=2，v3 = 0，可得到T(v) = 2( 2，從而推求得到t= i( )max 2 max min 18 .請說明應(yīng)用伽遼金法求解微分方程的一般步驟？答：(1)建立問題的控制微分方程L和邊界條件G，其表達(dá)式為：Lu f =

11、0 ； Gu g = 0(2)選取試函數(shù)，其表達(dá)式為:Vi為試函數(shù);U M，i ii=1(3)將試函數(shù)代入控制微分方程中，將會出現(xiàn)內(nèi)部殘值Rv和邊界殘值Rs，表達(dá)式為：Rv = LU - /主0，(4)(5)消除殘值，選取內(nèi)部權(quán)函數(shù)吧和邊界權(quán)函數(shù)W,，伽遼金法中的權(quán)函數(shù)就是試函數(shù)中的基函數(shù)，即:(i=1，2，N)，使得Rvdv = 0,(i = 1,2,3,N)；iv據(jù)此得到C后，就確定了近似解u = 勺七 i=119.有限元方法的實質(zhì)和基本思想？答：實質(zhì)：將復(fù)雜的連續(xù)體劃分為有限多個簡單的單元體，化無限自由度問題為有限自由度問題，將連 續(xù)場函數(shù)的微分方程的求解問題轉(zhuǎn)化為有限個參數(shù)的代數(shù)方程組

12、的求解問題?；舅枷耄合然麨榱?，后集零為整。即把一個結(jié)構(gòu)看成由若干通過節(jié)點相連的單元組成的整體，先進 行單元分析，后將這些單元組合起來代表原來的結(jié)構(gòu)進行整體分析。20 .請論述有限元法的分析過程？答：(1)結(jié)構(gòu)物的離散將待分析的結(jié)構(gòu)物從幾何上用線或面劃分為有限個單元，其中單元的大小和數(shù)目根據(jù)計算精度的要求和 計算機容量來決定。步驟為：建立單元，對單元和結(jié)點編號，準(zhǔn)備必需的數(shù)據(jù)信息，建立坐標(biāo)系。確定單元的位移模式將單元中任意一點的位移近似地表示成單元結(jié)點位移的函數(shù)，即位移模式或位移函數(shù)，用d表示，寫成d=N 6 e單元特性分析幾何方程：應(yīng)變與位移之間的關(guān)系 =B 0 e物理方程：應(yīng)力與應(yīng)變之間

13、的關(guān)系z =DB0 e=S0 e利用虛位移或最小勢能原理建立單元剛度方程KeS e = F址FE 建立表示整個結(jié)構(gòu)結(jié)點平衡的方程組KA =Pd+Pe=P21.請詳述先處理法與后處理法的實施過程？答：(一)先處理法：劃分單元，整理數(shù)據(jù)，對單元和結(jié)點進行編號，確定每個單元的局部坐標(biāo)系以及整個結(jié)構(gòu)的整體坐 標(biāo)系。計算局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。確定每個單元的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，計算整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣。根據(jù)各單元的位移分量編號，形成單元定位數(shù)組，按照“對號入座，同號疊加”的方法，集成結(jié)構(gòu) 的整體剛度矩陣。計算總的結(jié)點荷載矩陣。先將非結(jié)點荷載轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點荷載，再與對應(yīng)的結(jié)點荷載疊加，形成總 的結(jié)點荷

14、載矩陣。求解結(jié)構(gòu)的整體剛度方程，計算結(jié)點位移矩陣。計算各單元的桿端力。對計算結(jié)果進行整理，如果需要可計算內(nèi)力圖。（二）后處理法（1）劃分單元，整理數(shù)據(jù)，對單元和結(jié)點進行編號，確定每個單元的局部坐標(biāo)系整個結(jié)構(gòu)的整體坐標(biāo)系;（2）計算局部坐標(biāo)系中的單元剛度矩陣。后根據(jù)單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣計算得出整體坐標(biāo)系下的單元剛度矩 陣，同時集成整體剛度矩陣；（3）計算單元的等效節(jié)點力，集成整體節(jié)點力向量；（4）處理約束條件，修改整體剛度矩陣和節(jié)點力向量；（5）求解方程組，得到整體節(jié)點位移矩陣；（6）計算各單元的桿端力；（7）對計算結(jié)果進行整理，如果需要可計算內(nèi)力圖。22 .請簡述三節(jié)點三角形單元形函數(shù)的特點？答：

15、（1）在單元結(jié)點上形函數(shù)的值為1或為0。（2）在單元中的任意一點上，三個形函數(shù)之和等于1。（不考）23.請詳述虛功原理與伽遼金法的關(guān)系？24.請簡述等參單元的概念及優(yōu)點？答：概念：幾何形狀變換形函數(shù)與位移插值的形函數(shù)相同的單元。優(yōu)點：可模擬較復(fù)雜的邊界條件（可能不考）25.請推導(dǎo)平面桁架單元（拉壓桿單元）的單元剛度矩陣（局部坐標(biāo)系）？答：求單元剛度矩陣。這里考慮利用虛位移原理求單元剛 度矩陣，設(shè)桿端i、j分別產(chǎn)生虛位移可、閩；，則由此引起的桿 軸任意截面的虛位盤為：8u = N8ui 砌=N86 對應(yīng)的虛應(yīng)變?yōu)椋篠s =根據(jù)虛位移原理虛功方程，有：5 町=FTSd + J； q（QN 舫x =用變=f crSeAdx（2-5）J*0=:T B1 EAB