試驗(yàn)2離散傅里葉變換DFT1

1、實(shí)驗(yàn)2離散傅里葉變換(DFT)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?1)加深對(duì)離散傅里葉變換(DFT)基本概念的理解。(2) 了解有限長(zhǎng)序列傅里葉變換 (DFT)與周期序列傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)、離散時(shí)間傅里葉變 換(DTFT)的聯(lián)系。(3)掌握用MATLAB語(yǔ)言進(jìn)行離散傅里葉變換和逆變換的方法。 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容.有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換 (DFT)和逆變換(IDFT).有限長(zhǎng)序列DFT與周期序列DFS的聯(lián)系.有限長(zhǎng)序列DFT與離散時(shí)間傅里葉變換 DTFT的聯(lián)系 三、實(shí)驗(yàn)環(huán)境MATLAB7.0四、實(shí)驗(yàn)原理1.有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)和逆變換(IDFT)在實(shí)際中常常使用有限長(zhǎng)序列。如果有限長(zhǎng)序列信號(hào)為 x(n),則該

2、序列的離散傅里葉變 換對(duì)可以表示為N(2-1)(2-2)-.nkX(k) =DFTx(n) =、x(n) Wn , k =0,1, ,N-1n =0N _1x(n) =IDFTX(k)X(k)W；k,n = 0,1, ,N-1Ng從離散傅里葉變換定義式可以看出，有限長(zhǎng)序列在時(shí)域上是離散的，在頻域上也是離散2兀j -的。式中， W N = e N即僅在單位圓上 N個(gè)等間距的點(diǎn)上取值，這為使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行 處理帶來(lái)了方便。由有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換和逆變換定義可知，DFT和DFS的公式非常相似，因此在程序編寫(xiě)上也基本一致。例 2-1 已知 x(n) = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,求

3、 x(n)的 DFT 和 IDFT。要求：(1)畫(huà)出序列傅里葉變換對(duì)應(yīng)的 |X(k)|和arg X(k)圖形。(2)畫(huà)出原信號(hào)與傅里葉逆變換IDFT X(k)圖形進(jìn)行比較。解 MATLAB程序如下：“造PM23凡56刃; N=lengthfxrL); ti=0:(N-l)pk=0：(N-l) Xk=xn*exp (-j * 2*pi/N), A(n1*k);WWv WvHr WWWW*產(chǎn) 、產(chǎn) xQgk* exp (j * 2 *p i/N), ft(n *k)/N;% suhploK2,2J工優(yōu)em(分期；期氏虱可加 subplot(2,2t2)Pstcm(n,abs(x)J titlefl

4、DFT|X(k)|)A uhplotQ23)劇em(區(qū)池sQ);%建立信號(hào)序列*%離散傅里葉變故%離散傅里葉逆變換，%顯示原信號(hào)序列u%顯示逆變換結(jié)果；? L title(|X(k)|);%顯示則照K)卜心ubpk224)，就um(白蛔虱黝);小地式則豺)1加運(yùn)行結(jié)果如圖|X(k)|arg|X(k)|圖2-1例2-1有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換和逆變換結(jié)果從得到的結(jié)果可見(jiàn)，與周期序列不同的是，有限長(zhǎng)序列本身是僅有N點(diǎn)的離散序列,相當(dāng)于周期序列的主值部分。因此，其頻譜也對(duì)應(yīng)序列的主值部分，是含N點(diǎn)的離散序列。2.有限長(zhǎng)序列DFT與周期序列DFS的聯(lián)系將周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)變換與有限長(zhǎng)序列離散傅里葉變換

5、對(duì)(式(2-1)和式(2-2)進(jìn)行比較，可以看出兩者的區(qū)別僅僅是將周期序列換成了有限長(zhǎng)序列。例2-2已知周期序列的主值 x(n)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,求x(n)周期重復(fù)次數(shù)為4次時(shí)的DFS。要求:(1)畫(huà)出原主值和信號(hào)周期序列信號(hào)。, 、. 、 一 S ,一(2)回出序列傅里葉變換對(duì)應(yīng)的X(k)和argX(k)的圖形。解 MATLAB程序如下:%即xnl=即爾n,豺，藕卜 離散傅里葉變換，%顯示序列主值，%顯不周期序列4%顯示序列的幅度譜%顯示序列的相位譜， 斯口123乩5,6,7;， N=kngth(xn);*J n=0:4*N-l4k=0:4*N-b* Vwr加

6、仁期(mod(知由+1)，*-j*2*pi/N)，Xn*kX subplcit(2,2,(巷n); title (,原主值信號(hào) x(n)1);+J su.bplot(2,2,2)3stem(nn ml); titl周期序列信號(hào) subplot(2JR3)nsttm(kjhs(Xk);觸f區(qū)忖IA wbplot(224),s館m3期坦();蛔打旗(k)產(chǎn)運(yùn)行結(jié)果如圖2-2所示。|X(k)|arg|X (k)|圖2-2例2-2周期序列的傅里葉級(jí)數(shù)(DFS)結(jié)果由這個(gè)周期序列的實(shí)驗(yàn)我們可以看出，與例 2-1相比，有限長(zhǎng)序列x(n)可以看成是周期 序列x(n)的一個(gè)周期；反之，周期序列x(n)可以看成

7、是有限長(zhǎng)序列 x(n)以N為周期的周期 延拓。頻域上的情況也是相同的。從這個(gè)意義上說(shuō)，周期序列只有有限個(gè)序列值有意義。3.有限長(zhǎng)序列DFT與離散時(shí)間傅里葉變換DTFT的聯(lián)系離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)是指信號(hào)在時(shí)域上為離散的，而在頻域上則是連續(xù)的。如果離散時(shí)間非周期信號(hào)為 x(n),則它的離散傅里葉變換對(duì) (DTFT)表示為QODTFTx(n) =X(ej3)= x(n) e-jQQn =兀IDTFTX(e j)=x(n)= fX(ejw) ej wcd coJ-71 j CO X lx/ j co X 中(3)其中X(ejw)稱為信號(hào)序列的頻譜。將頻譜表示為X(e ) = | X(e )

8、e .|x(ejW)|稱為序列的幅度譜,邛(w) =arg X(e jw )】稱為序列的相位譜。從離散時(shí)間傅里葉變換的定義可以看出，信號(hào)在時(shí)域上是離散的、非周期的，而在頻域上則是連續(xù)的、周期性的。與有限長(zhǎng)序列相比，X(ejw)僅在單位圓上取值，X(k)是在單位圓上N個(gè)等間距的點(diǎn)上取值。因此，連續(xù)譜 X(ejw)可以由離散譜X(k)經(jīng)插值后得到。為了進(jìn)一步理解有限長(zhǎng)序列的傅里葉變換(DFT)與離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的聯(lián)系，我們舉例說(shuō)明離散時(shí)間傅里葉變換的使用方法和結(jié)果。例 2-3 求 x(n)= 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 成500份。要求：(1)畫(huà)出原信號(hào)。(2)畫(huà)出由離散

9、時(shí)間傅里葉變換求得的幅度譜解MATLAB程序如下： 3。2345工力產(chǎn) N-lengthQgi)/ n=0:Nd;+ w=linspace(-2*pi,2*pi,500L X=xn* e xp (-j * *w);7, 0WnW7 的 DTFT,將(一2p , 2p)區(qū)間分X(ejw)和相位譜arg X(ejw)圖形。必將-2p,2p頻率區(qū)間分割為5口(份 %離散時(shí)間俅里葉變換 sub pl at(3,1,1), stexil 1 k1) 外顯示序列的幅度譜| ylabel(x(n),)A LibplotCMZ，pl時(shí)儂熊 “axjsf-2*pi,2*pi; 1. l*min(abs(X),l

10、. 1 *max(absCX)“啾或幅度譜 subplat(3,173),p 1 ot(janglepOPk1);唯顯示序列的相位譜 咄fl1*pi,2*pLL l*miMan 拱),L l*mai(axi 眈 C,加以相位譜A運(yùn)行結(jié)果如圖2-3所示。10 l譜度幅圖2-3例2-3離散時(shí)間傅里葉變換(DTFT)的結(jié)果由圖2-3與DFT的結(jié)果圖2-1相比可以看出，兩者有一定的差別。主要原因在于，該 例進(jìn)行DTFT時(shí)，X(ejw)在單位圓上取250個(gè)點(diǎn)進(jìn)行分割；而圖 2-1進(jìn)彳t DFT時(shí)，X(k)是在 單位圓上N = 8的等間距點(diǎn)上取值，X(k)的序列長(zhǎng)度與X(ejw)相比不夠長(zhǎng)。例2-4仍然用

11、x(n)= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,將x(n)的有限長(zhǎng)序列后面補(bǔ)足至N= 100,求其DFT,并與例2-3進(jìn)行比較。解 將例2-1程序的前2行改為N= 100;xn= 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, zeros(1, N8);則|X(k)|和arg X(k)的圖形接近由離散時(shí)間傅里葉變換求得的幅度譜X(ejw)和相位譜 arg X(ejw)的圖形，如圖2-4所示。注意，此圖對(duì)應(yīng)0, 2p區(qū)間。MATLAB程序如下：電建立信號(hào)序列一3離散傅里葉變換J意離散傅里葉逆變換，目顯示I X(k)”電顯示5X (k) ”運(yùn)加工口” xn=0,lA2,3,4,5,6,7

12、.zeros(lN-81; n=0; k=0 ; (N-l) ; k = xn * exp.A(n*k); xXjc + exp (j *2*pi/N) . A (nT*k) )/N; =ubplot(Z, 1, 1) , stemCkjabstXk);IX (k) r) subplot(2,lf2), stem(kanale (k); ti Ll e f * arQlX ( k.) | ) ;行結(jié)果如圖2-4所示。|X(k)| 五、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容30201000102030405060708090100arg|X(k)|圖2-4增長(zhǎng)有限長(zhǎng)序列的長(zhǎng)度得到|X(k)|和arg X(k).已知有限長(zhǎng)序列

13、x(n)= 7, 6, 5, 4, 3, 2,求x(n)的DFT和IDFT。要求：畫(huà)出序列傅里葉變換對(duì)應(yīng)的|X(k)|和arg X(k)的圖形。畫(huà)出原信號(hào)與傅里葉逆變換IDFT X(k)的圖形進(jìn)行比較。解：運(yùn)行結(jié)果：.已知周期序列的主值x(n)= 7, 6, 5, 4, 3, 2,求x(n)周期重復(fù)次數(shù)為3 次時(shí)的DFS和IDFSo要求：畫(huà)出原信號(hào)序列的主值和周期序列的圖形。一 一 回出序列傅里葉變換對(duì)應(yīng)的 X(k)和argX(k)的圖形。解：.求 x(n)= 7, 6, 5, 4, 3, 21, 00 n& 5 的 DTFT,將(一2p, 2p)區(qū)間分成 500份。要求：求出原信號(hào)。畫(huà)出由離散時(shí)間傅里葉變換求得的幅度譜X(ejw)和相位譜arg X(ejw)的圖形。求有限長(zhǎng)序列x(n)= 7, 6, 5, 4, 3, 2, N=100時(shí)的DFT,并與DTFT 的結(jié)果進(jìn)行比較。解:運(yùn)行結(jié)果：.討論序列補(bǔ)零