量子復習要求

1、量子力學復習要求第二章 波函數(shù)和薛定調(diào)方程.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋：波函數(shù)在空間某一點的強度里（r ,t J和在該處找到粒子的幾率成正比，描寫粒子的波是幾率波.*2其中W = *中代表幾率密度.態(tài)疊加原理：如果中1和空2是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加 手=i+C2中2,也是體系的一個可能狀態(tài).薛定謂方程和定態(tài)薛定調(diào)方程.廣；r,t 0,4含時薛定調(diào)方程歷二H：r，tt定態(tài)薛定調(diào)方程伊 r = E r方2田 2 u r 2 / 12.波函數(shù)的標準條件：有限性，連續(xù)性（包括中及其一階導 數(shù)）和單值性.波函數(shù)的歸一化，彳 d 二 1oO TOC o 1-5 h z .求解一維薛定調(diào)方程的幾個例子.一

2、維無限深勢阱對應的波函數(shù)和本征值，一維線性諧振子對應的波函數(shù)和本征值；第三章 量子力學中的力學量.坐標算符，動量算符及角動量算符；構成量子力學力學量的法則；.本征值方程，本征值，本征函數(shù)的概念F =.厄密算符的定義，性質及與力學量的關系.盧dx: 百 dx實數(shù)性：厄密算符的本征值是實數(shù).正交性：厄密算符的屬于不同本征值的兩個本征函數(shù)相互正交.完全性：厄密算符 白的本征函數(shù)”（X）和3Jx）組成完全系，即任一函數(shù)中（X）可以按（X）和二（ X）展開為級數(shù)：x = cn n x c x d n展開系數(shù)：2 / 12cn =n x x dxc ， x x dx/ufij2Cn是在中（乂）態(tài)中測量力學

3、量F得到，的幾率，2c九d九是在中（x）態(tài)中測量力學量F，得到測量結果在人到九十d九范圍內(nèi)的幾率. I?和LZ算符的本征值方程，本征值和本征函數(shù).I? = 11 i 力2 ,iz= m本征函數(shù)Ym（e,e ）.氫原子的哈密頓算符及其本征值，本征函數(shù),nlm的數(shù)學結構， L 二 R r Y 1nlm ， ， nl lm ，主量子數(shù)n,角量子數(shù)l和磁量子數(shù)m的取值范圍，簡并態(tài)的概 念.氫原子的能級公式和能級的簡并度2n2 n = 1,2,3,不考慮電子的自旋是n2度簡并的；考慮電子的自旋是 2n2度簡并的. / 12.給定電子波函數(shù)的表達式，根據(jù)電子在(幾日J)點周圍的體積元內(nèi)的幾率中 nim (

4、r,e ,* ) r2sin0 drde d* TOC o 1-5 h z 計算電子幾率的徑向分布和角分布.計算在半徑r到r dr的球殼內(nèi)找到電子的幾率.給定態(tài)函數(shù)，計算力學量平均值，平均值的計算公式.F = x 盧 x dx注意(11)式對波函數(shù)所在的空間作積分.算符的對易關系及測不準關系.(1)如果一組算符相互對易，則這些算符所表示的力學量同時 具有確定值(即對應的本征值),這些算符有組成完全系的共 同的本征函數(shù).例如：氫原子的哈密頓算符H?，角動量平方算符I?和角動量算符LZ相互對易，則 (i)它們有共同的本征函數(shù)nlm , (ii)在態(tài) nlm中,它們同時具有確定值：e4En一喜,l

5、l 1力，m力. / 12(2)測不準關系：如果算符P和(?不對易，則一般來說它們 不能同時有確定值.F? (?- G? f?=必則算符P和3的均方偏差滿足： TOC o 1-5 h z 222盧 G?-4其中 F 2 二 F - F 2 ) F2- 2FF F2 = F=2- F2一2_ 2= 2-222 HYPERLINK l bookmark23 o Current Document F= F2F2,G = G2G2(a)利用測不準關系估計氫原子的基態(tài)能量，線性諧振子的零點能等.(b)給定態(tài)函數(shù)中，計算兩個力學量F?和(？的均方偏差 的乘積q 2q 2F?G ;？第四章態(tài)和力學量的表象1

6、.對表象的理解(1)狀態(tài)空:態(tài)矢量(2) Q表象：力學量Q的本征函數(shù)u1(x),u2(x),.un(x),.5 / 12構成無限維希耳伯特空間（坐標系）的基矢量（4）將態(tài)矢量按照上述基矢量展開：P x,t 八 an t Un X nai（t）,a2（t）,.an（t）,.是態(tài)矢量空在Q表象中沿各 基矢量的分量.（5） an（tj2是在中（x,t）所描寫的態(tài)中，測量力學量Q得到結果為Qn的幾率.2.算符在Q表象中的表示（i）算符白在Q表象中是一個矩陣，F(xiàn)nm稱為矩陣元_ w f fl -Fnm 一Un（X）F X,Um（ X）dx I Xj（ii）算符在自身表象中是一個對角矩陣，其對角矩陣元為該

7、算符對應的本征值.量子力學公式的矩陣表述（1）平均值公式：（2）本征值方程 久期方程F11F21:IFn1F12 .F1m .a1 tF22 .F2m .a2 tFn2 . Fnmam ta1 ta2 t I . Iam(3)薛定調(diào)方程的矩陣形式.d H1dt.么正變換的概念(1)么正變換是兩個表象基矢量之間的變換矩陣(2)么正變換的矩陣元由兩個表象的基矢量共同確定Sn ： = n X : X dX,態(tài)矢量由A表象變換到B表象的公式b = S1a(4)力學量聲由A表象變換到B表象的公式F = S1FS5.么正變換的性質(i)么正變換不改變算符的本征值(ii)么正變換不改變矩陣 F的跡；(iii

8、)么正變換不改變力學量的平均值 第五七章微擾理論(I)求解非簡并定態(tài)微擾問題7 / 12（i）確定微擾的哈密頓算符0.H?= H?（0）+ H?,及與彳（0）對應的零級近似能量E：）和零級近似波函數(shù)，二 0 n ;（2）計算能量的一級修正： TOC o 1-5 h z E 1 i =產(chǎn) 0 L?0 dnnn計算波函數(shù)的一級修正計算能量的二級修正：E0 -E,0nl（II）求解非簡并定態(tài)微擾問題（只要求能量的一級修正） 求解步驟 （1）確定微擾的哈密頓算符 H?.（2）確定微擾算符的矩陣元：后二 H? id（3）求解久期方程得到能量的一級修正HE1 HH11 n12 1kH1 21 H 22 E

9、n H 2kHk1Hk2Hkkkk(III)變分法適用條件 第八-十章自旋與全同粒子.三個實驗和電子的自旋角動量S,它在空間任何方向的投影只能取Sz2.自旋算符的矩陣形式S 0Sx 210JSySA 1 z 2 0-1.泡利矩陣0J?y?z(1)求力學量在某個自旋態(tài)的平均值和均方偏差G G ” =； 1 ” 2G11G1211G222(2)求解自旋角動量算符的本征值方程,本征值和本征函數(shù)4.自旋與軌道角動量的耦合及產(chǎn)生光譜的精細結構的原因5.全同性原理的表述6.描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱或反對稱的它們的對稱性不隨時間改變.實驗證明，微觀粒子按照其波函數(shù)的對稱性可以分為兩 類：（I）

10、費米子：波函數(shù)是反對稱的；（II）玻色子：波函數(shù)是對稱的.名稱自旋波函數(shù)統(tǒng)計規(guī)律舉例It* 子和2的奇數(shù)倍反對稱費密-狄拉克 統(tǒng)計電子，質子，中子（自旋加2）玻色 子0, 1,或司2的偶數(shù)倍對稱玻色-愛因 斯坦統(tǒng)計三（自博1）a粒子（自旋為零）7.泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài).第十一章含時微擾論基本步驟設Hf0的本征函數(shù)為 ,為已知：二0 n n nnt _將于按照總的定態(tài)波函數(shù)n = 3e力展開：；a t :nnn展開系數(shù)的表達式：1 tam tH mke mkt dtmmk而010 / 12其中HmnmF nd是微擾矩陣元，1co3-( w &mn 力 m n為

11、體系由，能級躍遷到& m能級的玻爾頻率.2在t時刻發(fā)現(xiàn)體系處于m態(tài)的幾率是am(t),體系在微 擾的作用下，由初態(tài)k躍遷到終態(tài)m的幾率為2Wjm= am(t)(2)用于周期微擾 甲(t)=臼e +一)得到am t =Fmk力0+ comkco - omk由(36)式，討論并理解發(fā)生躍遷的條件是8=0. z = & 7? mk 取 m k m k(i)表明只有外界的微擾含有頻率。mk時，體系才能從中k態(tài)躍遷到由m態(tài)，這時體系吸收和發(fā)射的能量是力出mk ；(ii)躍遷是一個共振現(xiàn)象.(3)能量時間的測不準關系的含義E” 力11 / 12了解原子的躍遷幾率和三個愛因斯坦系數(shù)：Amk , Bmk和Bkm及相互關系.了解用含時微擾理論計算愛因斯坦發(fā)射和吸收系數(shù)(6)記住對角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則l = 1T = 1, m = m - m = 0, -1.第