三次樣條插值法與最小二值 法的分析及比較

1、數(shù)值計(jì)算方法期末論文-同等要求下三次樣條插值法與最小二值法的分析及比較。- 在實(shí)際中，常常要處理由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量所得到的一批離散數(shù)據(jù)插值與擬合方法就是要通過(guò)這些數(shù)據(jù)去確定某一類已知函數(shù)的參數(shù)或?qū)ふ夷硞€(gè)近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合程度如果要求這個(gè)近似函數(shù)（曲線或曲面）經(jīng)過(guò)已知的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，貝U稱此類問(wèn)題為插值問(wèn)題。當(dāng)所給的數(shù)據(jù)較多時(shí)，用插值方法所得到的插值函數(shù)會(huì)很復(fù)雜，所以，通常插值方法用于數(shù)據(jù)較少的情況但數(shù)據(jù)一般都是由觀測(cè)或試驗(yàn)得到的，往往會(huì)帶有一定的隨機(jī)誤差，因而，要求近似函數(shù)通過(guò)所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)也是不必要的如果不要求近似函數(shù)通過(guò)所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它能較好地反應(yīng)數(shù)據(jù)的整體變化

2、趨勢(shì)，則解決這類問(wèn)題的方法稱為數(shù)據(jù)擬合.插值和擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。而面對(duì)一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，究竟應(yīng)該用插值還是擬合，有時(shí)容易確定，有時(shí)則并不明顯。本文由具體題目為基礎(chǔ)，主要論述了在同等要求下三次樣條插值法與最小二值法的分析及比較。關(guān)鍵詞：數(shù)值計(jì)算方法、三次樣條插值法、最小二值法TOC o 1-5 h z引言2 HYPERLINK l bookmark4 第一章三次樣條插值4 HYPERLINK l bookmark6 1.1三次樣條插值函數(shù)41.2分段線性插值5 HYPERLINK l bookmark26 1.3插值理論6

3、HYPERLINK l bookmark28 第二章最小二乘法72.1線性最小二乘擬合法72.2一般線性最小二乘擬合法82.3非線性最小二乘擬合法9 HYPERLINK l bookmark30 第三章算法對(duì)比與實(shí)現(xiàn)103.1對(duì)比實(shí)例一10 HYPERLINK l bookmark50 3.2對(duì)比實(shí)例二11 HYPERLINK l bookmark54 3.3結(jié)果及分析15 HYPERLINK l bookmark56 第四章總結(jié)16第一章三次樣條插值11三次樣條插值函數(shù)：若函數(shù)S(X)ec2a,b,且在每個(gè)小區(qū)間x,x上是三次多項(xiàng)式，其jj+1TOC o 1-5 h z中a=xxx=b是給定

4、節(jié)點(diǎn)，則稱S(x)是節(jié)點(diǎn)x,xx上的01n01n三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點(diǎn)x上給定函數(shù)值兒=f(x.)(j=0丄,n),并成立jjjs(x)=y(j=0,1,.n,則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。jj三次樣條插值的計(jì)算方法:因?yàn)樵诿總€(gè)小區(qū)間上S(x)是三次多項(xiàng)式，所以S(x)在每個(gè)小i區(qū)間上是直線，可以寫出它的表達(dá)式x-xii+1i+1i(xx)3無(wú)+cx+6hix-xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 S(x)=mi+mi+1i其中m,m是待定參數(shù)。ii+1把它積分兩次，得到(x-x)3S(x)=m亠ii6hi這里的c和d是積分常數(shù),利用S(x)=y和S(x

5、)iiiii+1y可以確定c,d,于是有i+1(xx)3i6himh2x_1i)6xJ,hi(x-x)3S(x)=mii6himh2xx+(yia)+4+i6將其求導(dǎo)數(shù)得到(X-x)2(x-x)2S(x)二一mi+m*TOC o 1-5 h zi*2h*+12hiiy-ym-m+iI1JiI11h.h6i至此，我們把S(x)以及它的一、二階導(dǎo)函數(shù)都用兩個(gè)參數(shù)表示出來(lái)。i我們令S(x)=S(x),i=0,1,.n-2,得到一個(gè)關(guān)于ii+1i+1i+1m,mm的線性方程組01n卩m+2m+Xm=d,ii1iii+1i=1,2,.,n1,(1.1)其中，p1,九=1ih+hiii1yyyyi+1ii

6、i1hhp,d=6ii1ii該方程有n+1個(gè)未知數(shù)，n1個(gè)方程。針對(duì)不同的邊界條件可以有相應(yīng)的附加方程，最常用到的是m=a,m=卩.解出(1.1)及其附加方程得到TOC o 1-5 h z0nm再代進(jìn)S(x)的表達(dá)式，就得到了全部解。ii12分段線性插值:所謂分段線性插值就是通過(guò)插值點(diǎn)用折線段連接起來(lái)逼近f(x).設(shè)已知節(jié)點(diǎn)a=xxx=b上的函數(shù)值f，/，,f,記h=xx,h=maxh,求01n01nkk+1kkk一折線函數(shù)I(x)滿足：h101(x)ea,b,h0I(x)=f(k=0,1,n)，kkk0I(x)在每個(gè)小區(qū)間x,x上是線性函數(shù)。hkk+1則稱I(x)為分段線性插值函數(shù)。h1.3

7、插值理論:設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在a,b上有互異點(diǎn)x,x,x處取值TOC o 1-5 h z01ny,y,，y。如果函數(shù)屮(x)在點(diǎn)x上滿足屮(x)=y(i=0,1,2,n)，則稱屮01niii(x)是函數(shù)y=f(x)的插值函數(shù)，x,x,X是插值節(jié)點(diǎn)。若此時(shí)屮(x)是代數(shù)多01n項(xiàng)式P(x),則稱P(x)為插值多項(xiàng)式。顯然f(x)f(x),xWa,b。_ 第二章最小二乘法在實(shí)際生活中，往往需要從一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(x,y)中尋找出變量x,y之間的ii函數(shù)關(guān)系.由于觀測(cè)數(shù)據(jù)不可避免出現(xiàn)誤差，因此并不需要y=f(x)定要經(jīng)過(guò)所有的點(diǎn)，而只要求在給定點(diǎn)x上誤差i=f(x)-y按某種標(biāo)準(zhǔn)達(dá)到

8、最小通常用iii歐式范數(shù)I|2作為誤差量度的標(biāo)準(zhǔn).這就是所謂的最小二乘擬合法最小二乘擬合法可以分為線性最小二乘擬合法和非線性最小二乘擬合法。2.1線性最小二乘擬合法設(shè)W(x)m是一個(gè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)系，則稱線性組合Q(x)=為aQ(x)kk=0kkk二0為廣義多項(xiàng)式如三角多項(xiàng)式：0(x)=Tacoskx+bsinkxTOC o 1-5 h zkkk二0k二0設(shè)由給定的一組測(cè)量數(shù)據(jù)(x,y)和一組正數(shù)w(i=1,2,n),求一個(gè)廣義多iii項(xiàng)式0(x)=Za0(x)使得目標(biāo)函數(shù)kkk二0S=為w0(x)一y2(3.1)iiii二1達(dá)到最小，則稱函數(shù)0(x)為數(shù)據(jù)(x,y)1.,.2n,關(guān)于權(quán)函數(shù)i

9、iw(i=1,2,n的最小二乘擬合函數(shù)，由于0(x)關(guān)于待定系數(shù)a是線性的，故此ii問(wèn)題又稱為線性最小二乘問(wèn)題.要使最小二乘問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)(3.1)達(dá)到最小,則由多元函數(shù)取得極值的必要條件得空=0(k=0,1,2,2,m)dak即為w為a0(x)一y0(x)=0(k=0,1,2,，m)TOC o 1-5 h zikkiikii=1k=0亦即工工w0(x0(x)a=工wy(x(k=0,1,2,2,m)是未知量為ijikijiikij=0i=1i=0a,a，,a的線性方程組，稱之為正規(guī)方程組。01m實(shí)際中可適當(dāng)選擇函數(shù)系W(x)m,由正規(guī)方程組解出a,a，,a,于是可kk=001m得最小二乘擬合函

10、數(shù)(x)=fae(x)。kkk二02.2般線性最小二乘擬合法將上面一元函數(shù)的最小二乘擬合問(wèn)題推廣到多元函數(shù),即為多維線性最小二乘擬合問(wèn)題.假設(shè)已知多元函數(shù)y=f(x,x,x)的一組測(cè)量數(shù)據(jù)(x,x,，xy)12n1i2ini;i(i=1,2,m)和一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)系(x,x,x)n,求函數(shù)k12nk=0(x,x，,x)=乙a(x,x，,x)TOC o 1-5 h zk12nkk12nk二0對(duì)于一組正數(shù)w,w,.,w，使得目標(biāo)函數(shù)12mS=乙wy-(x,x，,x)2ii1i2inii二1達(dá)到最小,其中待定系數(shù)a,a,a,a由正規(guī)方程組012Nf(,)a=(,y)(k=0,1,2,N)jkjkj

11、二0確定，此處(,)=fw(x,x，,x)(x,x，x),jkij1i2inik1i2inii=1(,y)=乙w(x,x,，x)ykik1i2iniii=1上面的函數(shù)關(guān)于a都是線性的,這就是線性最小二乘擬合問(wèn)題，對(duì)于這類i問(wèn)題的正規(guī)方程組總是容易求解的如果關(guān)于a都是非線性的，則相應(yīng)的問(wèn)題i稱為非線性最小二乘擬合問(wèn)題。- 2.3非線性最小二乘擬合法假設(shè)已知多元函數(shù)y=f(x,X,X)的一組測(cè)量數(shù)據(jù)12n(X,X,Xy)(i=1,2,m)，1i2ini;i要求一個(gè)關(guān)于參數(shù)鋼(j=0丄2,N)是非線性的函數(shù)0=0(x,x,x;a,a,a)，TOC o 1-5 h z12n01N對(duì)于一組正數(shù)w,w,.

12、,w，使得目標(biāo)函數(shù)12mS(a,a,a)=wy-0(x,x,x;a,a,a)201Nii1i2ini01Ni=1達(dá)到最小，則稱之為非線性最小二乘問(wèn)題。L 第三章算法對(duì)比與實(shí)現(xiàn)3.1對(duì)比實(shí)例一對(duì)函數(shù)，在-5,5上對(duì)函數(shù)作插值計(jì)算。用三次樣條插值選取10個(gè)基點(diǎn)計(jì)算插值Matlab程序如下：xO=linspace(-5,5,10);yO=1./(1+2O*xO42);x=linspace(-5,5,100);用分段線性插值法求插值，并觀察插值誤差在-5,5中平均選取11個(gè)點(diǎn)作插值Matlab程序如下：x=linspace(-5,5,100);y=1./(20*x42+1);x1=linspace(-

13、5,5,11);y1=1./(20*x1.A2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,o,LineWidth,1.5),gtext(n=10)結(jié)果如下:3.2對(duì)比實(shí)例二給出函數(shù)：X1.a3456-789101112131415y1.12,2.3,a.5.S4.76.67.18.08.910.411-612.313.014.9.16.2分別用一次、二次、三次多項(xiàng)式來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，并通過(guò)作圖，找出哪一種擬合多項(xiàng)式對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)的擬合效果最好。用一次多項(xiàng)式來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，可在MATLAB命令空間鍵入以下命令：x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y

14、=1.1,223O584.7,667.1,8.0,8.9,10.4,11612313.0,14.9,16.2;p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)plot(x,y,x)holdonplot(x,y1)得到圖形用二次多項(xiàng)式來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)時(shí)，可在MATLAB命令空間鍵入以下命令:x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,2.2,3.0,5.8,4.7,6.6,7.1,8.0,8.9,10.4,11.6,12.3,13.0,14.9,16.2;p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)holdonp2

15、=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);plot(xyx)holdonplot(x,y2)得到圖形：用三次多項(xiàng)式來(lái)擬合這些數(shù)據(jù)時(shí)，可在MATLAB命令空間鍵入以下命令:x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,223O584.7,667.1,8.0,8.9,10.4,11612313.0,14.9,16.2;y1=polyval(p1,x)holdonp2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);holdonp3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);plot(x,y,x)

16、holdonplot(x,y3)得到圖形:3.3結(jié)果及分析從題中可以看出，插值點(diǎn)的個(gè)數(shù)、精度、插值點(diǎn)的選擇都會(huì)影響實(shí)驗(yàn)的結(jié)果;我們通常會(huì)選擇與插值點(diǎn)最接近的節(jié)點(diǎn)，可以提高精度；在可以計(jì)算出結(jié)果的情況下，插值點(diǎn)越多，結(jié)果越精確。由于曲線擬合的最小二乘法一般是經(jīng)過(guò)描點(diǎn)，確定其近似多項(xiàng)式的形式，但由于給定的點(diǎn)有誤差，所以擬合曲線的數(shù)學(xué)模型并不是一開始就能選的好的，往往要通過(guò)分析確定若干模型后，再經(jīng)過(guò)實(shí)際計(jì)算，才能選到較好的模型。第四章總結(jié)計(jì)算方法中插值與擬合的區(qū)別與聯(lián)系是：插值和擬合都是函數(shù)逼近或者數(shù)值逼近的重要組成部分，他們的共同點(diǎn)都是通過(guò)已知一些離散點(diǎn)集M上的約束，求取一個(gè)定義在連續(xù)集合S（M包含于S）的未知連續(xù)函數(shù)，從而達(dá)到獲取整體規(guī)律的目的。簡(jiǎn)單的講，所謂擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值fl,f2,fn,通過(guò)調(diào)整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f（入1,入2,，入3）,使得該函數(shù)與已知點(diǎn)集的差別（最小二乘意義）最小。如果待定函數(shù)是線性，就叫線性擬合或者線性回歸（主要在統(tǒng)計(jì)中），否則叫作非線性擬合或者非線性回