三次樣條插值法與最小二值 法的分析及比較

1、數(shù)值計算方法期末論文-同等要求下三次樣條插值法與最小二值法的分析及比較。- 在實際中，常常要處理由實驗或測量所得到的一批離散數(shù)據(jù)插值與擬合方法就是要通過這些數(shù)據(jù)去確定某一類已知函數(shù)的參數(shù)或尋找某個近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合程度如果要求這個近似函數(shù)（曲線或曲面）經(jīng)過已知的所有數(shù)據(jù)點，貝U稱此類問題為插值問題。當所給的數(shù)據(jù)較多時，用插值方法所得到的插值函數(shù)會很復雜，所以，通常插值方法用于數(shù)據(jù)較少的情況但數(shù)據(jù)一般都是由觀測或試驗得到的，往往會帶有一定的隨機誤差，因而，要求近似函數(shù)通過所有的數(shù)據(jù)點也是不必要的如果不要求近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它能較好地反應數(shù)據(jù)的整體變化

2、趨勢，則解決這類問題的方法稱為數(shù)據(jù)擬合.插值和擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。而面對一個實際問題，究竟應該用插值還是擬合，有時容易確定，有時則并不明顯。本文由具體題目為基礎，主要論述了在同等要求下三次樣條插值法與最小二值法的分析及比較。關鍵詞：數(shù)值計算方法、三次樣條插值法、最小二值法TOC o 1-5 h z引言2 HYPERLINK l bookmark4 第一章三次樣條插值4 HYPERLINK l bookmark6 1.1三次樣條插值函數(shù)41.2分段線性插值5 HYPERLINK l bookmark26 1.3插值理論6

3、HYPERLINK l bookmark28 第二章最小二乘法72.1線性最小二乘擬合法72.2一般線性最小二乘擬合法82.3非線性最小二乘擬合法9 HYPERLINK l bookmark30 第三章算法對比與實現(xiàn)103.1對比實例一10 HYPERLINK l bookmark50 3.2對比實例二11 HYPERLINK l bookmark54 3.3結果及分析15 HYPERLINK l bookmark56 第四章總結16第一章三次樣條插值11三次樣條插值函數(shù)：若函數(shù)S(X)ec2a,b,且在每個小區(qū)間x,x上是三次多項式，其jj+1TOC o 1-5 h z中a=xxx=b是給定

4、節(jié)點，則稱S(x)是節(jié)點x,xx上的01n01n三次樣條函數(shù)。若在節(jié)點x上給定函數(shù)值兒=f(x.)(j=0丄,n),并成立jjjs(x)=y(j=0,1,.n,則稱S(x)為三次樣條插值函數(shù)。jj三次樣條插值的計算方法:因為在每個小區(qū)間上S(x)是三次多項式，所以S(x)在每個小i區(qū)間上是直線，可以寫出它的表達式x-xii+1i+1i(xx)3無+cx+6hix-xTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark10 S(x)=mi+mi+1i其中m,m是待定參數(shù)。ii+1把它積分兩次，得到(x-x)3S(x)=m亠ii6hi這里的c和d是積分常數(shù),利用S(x)=y和S(x

5、)iiiii+1y可以確定c,d,于是有i+1(xx)3i6himh2x_1i)6xJ,hi(x-x)3S(x)=mii6himh2xx+(yia)+4+i6將其求導數(shù)得到(X-x)2(x-x)2S(x)二一mi+m*TOC o 1-5 h zi*2h*+12hiiy-ym-m+iI1JiI11h.h6i至此，我們把S(x)以及它的一、二階導函數(shù)都用兩個參數(shù)表示出來。i我們令S(x)=S(x),i=0,1,.n-2,得到一個關于ii+1i+1i+1m,mm的線性方程組01n卩m+2m+Xm=d,ii1iii+1i=1,2,.,n1,(1.1)其中，p1,九=1ih+hiii1yyyyi+1ii

6、i1hhp,d=6ii1ii該方程有n+1個未知數(shù)，n1個方程。針對不同的邊界條件可以有相應的附加方程，最常用到的是m=a,m=卩.解出(1.1)及其附加方程得到TOC o 1-5 h z0nm再代進S(x)的表達式，就得到了全部解。ii12分段線性插值:所謂分段線性插值就是通過插值點用折線段連接起來逼近f(x).設已知節(jié)點a=xxx=b上的函數(shù)值f，/，,f,記h=xx,h=maxh,求01n01nkk+1kkk一折線函數(shù)I(x)滿足：h101(x)ea,b,h0I(x)=f(k=0,1,n)，kkk0I(x)在每個小區(qū)間x,x上是線性函數(shù)。hkk+1則稱I(x)為分段線性插值函數(shù)。h1.3

7、插值理論:設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，在a,b上有互異點x,x,x處取值TOC o 1-5 h z01ny,y,，y。如果函數(shù)屮(x)在點x上滿足屮(x)=y(i=0,1,2,n)，則稱屮01niii(x)是函數(shù)y=f(x)的插值函數(shù)，x,x,X是插值節(jié)點。若此時屮(x)是代數(shù)多01n項式P(x),則稱P(x)為插值多項式。顯然f(x)f(x),xWa,b。_ 第二章最小二乘法在實際生活中，往往需要從一組實驗數(shù)據(jù)(x,y)中尋找出變量x,y之間的ii函數(shù)關系.由于觀測數(shù)據(jù)不可避免出現(xiàn)誤差，因此并不需要y=f(x)定要經(jīng)過所有的點，而只要求在給定點x上誤差i=f(x)-y按某種標準達到

8、最小通常用iii歐式范數(shù)I|2作為誤差量度的標準.這就是所謂的最小二乘擬合法最小二乘擬合法可以分為線性最小二乘擬合法和非線性最小二乘擬合法。2.1線性最小二乘擬合法設W(x)m是一個線性無關的函數(shù)系，則稱線性組合Q(x)=為aQ(x)kk=0kkk二0為廣義多項式如三角多項式：0(x)=Tacoskx+bsinkxTOC o 1-5 h zkkk二0k二0設由給定的一組測量數(shù)據(jù)(x,y)和一組正數(shù)w(i=1,2,n),求一個廣義多iii項式0(x)=Za0(x)使得目標函數(shù)kkk二0S=為w0(x)一y2(3.1)iiii二1達到最小，則稱函數(shù)0(x)為數(shù)據(jù)(x,y)1.,.2n,關于權函數(shù)i

9、iw(i=1,2,n的最小二乘擬合函數(shù)，由于0(x)關于待定系數(shù)a是線性的，故此ii問題又稱為線性最小二乘問題.要使最小二乘問題的目標函數(shù)(3.1)達到最小,則由多元函數(shù)取得極值的必要條件得空=0(k=0,1,2,2,m)dak即為w為a0(x)一y0(x)=0(k=0,1,2,，m)TOC o 1-5 h zikkiikii=1k=0亦即工工w0(x0(x)a=工wy(x(k=0,1,2,2,m)是未知量為ijikijiikij=0i=1i=0a,a，,a的線性方程組，稱之為正規(guī)方程組。01m實際中可適當選擇函數(shù)系W(x)m,由正規(guī)方程組解出a,a，,a,于是可kk=001m得最小二乘擬合函

10、數(shù)(x)=fae(x)。kkk二02.2般線性最小二乘擬合法將上面一元函數(shù)的最小二乘擬合問題推廣到多元函數(shù),即為多維線性最小二乘擬合問題.假設已知多元函數(shù)y=f(x,x,x)的一組測量數(shù)據(jù)(x,x,，xy)12n1i2ini;i(i=1,2,m)和一組線性無關的函數(shù)系(x,x,x)n,求函數(shù)k12nk=0(x,x，,x)=乙a(x,x，,x)TOC o 1-5 h zk12nkk12nk二0對于一組正數(shù)w,w,.,w，使得目標函數(shù)12mS=乙wy-(x,x，,x)2ii1i2inii二1達到最小,其中待定系數(shù)a,a,a,a由正規(guī)方程組012Nf(,)a=(,y)(k=0,1,2,N)jkjkj

11、二0確定，此處(,)=fw(x,x，,x)(x,x，x),jkij1i2inik1i2inii=1(,y)=乙w(x,x,，x)ykik1i2iniii=1上面的函數(shù)關于a都是線性的,這就是線性最小二乘擬合問題，對于這類i問題的正規(guī)方程組總是容易求解的如果關于a都是非線性的，則相應的問題i稱為非線性最小二乘擬合問題。- 2.3非線性最小二乘擬合法假設已知多元函數(shù)y=f(x,X,X)的一組測量數(shù)據(jù)12n(X,X,Xy)(i=1,2,m)，1i2ini;i要求一個關于參數(shù)鋼(j=0丄2,N)是非線性的函數(shù)0=0(x,x,x;a,a,a)，TOC o 1-5 h z12n01N對于一組正數(shù)w,w,.

12、,w，使得目標函數(shù)12mS(a,a,a)=wy-0(x,x,x;a,a,a)201Nii1i2ini01Ni=1達到最小，則稱之為非線性最小二乘問題。L 第三章算法對比與實現(xiàn)3.1對比實例一對函數(shù)，在-5,5上對函數(shù)作插值計算。用三次樣條插值選取10個基點計算插值Matlab程序如下：xO=linspace(-5,5,10);yO=1./(1+2O*xO42);x=linspace(-5,5,100);用分段線性插值法求插值，并觀察插值誤差在-5,5中平均選取11個點作插值Matlab程序如下：x=linspace(-5,5,100);y=1./(20*x42+1);x1=linspace(-

13、5,5,11);y1=1./(20*x1.A2+1);plot(x,y,x1,y1,x1,y1,o,LineWidth,1.5),gtext(n=10)結果如下:3.2對比實例二給出函數(shù)：X1.a3456-789101112131415y1.12,2.3,a.5.S4.76.67.18.08.910.411-612.313.014.9.16.2分別用一次、二次、三次多項式來擬合這些數(shù)據(jù)點，并通過作圖，找出哪一種擬合多項式對這些數(shù)據(jù)點的擬合效果最好。用一次多項式來擬合這些數(shù)據(jù)點時，可在MATLAB命令空間鍵入以下命令：x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y

14、=1.1,223O584.7,667.1,8.0,8.9,10.4,11612313.0,14.9,16.2;p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)plot(x,y,x)holdonplot(x,y1)得到圖形用二次多項式來擬合這些數(shù)據(jù)時，可在MATLAB命令空間鍵入以下命令:x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,2.2,3.0,5.8,4.7,6.6,7.1,8.0,8.9,10.4,11.6,12.3,13.0,14.9,16.2;p1=polyfit(x,y,1)y1=polyval(p1,x)holdonp2

15、=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);plot(xyx)holdonplot(x,y2)得到圖形：用三次多項式來擬合這些數(shù)據(jù)時，可在MATLAB命令空間鍵入以下命令:x=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15;y=1.1,223O584.7,667.1,8.0,8.9,10.4,11612313.0,14.9,16.2;y1=polyval(p1,x)holdonp2=polyfit(x,y,2);y2=polyval(p2,x);holdonp3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);plot(x,y,x)

16、holdonplot(x,y3)得到圖形:3.3結果及分析從題中可以看出，插值點的個數(shù)、精度、插值點的選擇都會影響實驗的結果;我們通常會選擇與插值點最接近的節(jié)點，可以提高精度；在可以計算出結果的情況下，插值點越多，結果越精確。由于曲線擬合的最小二乘法一般是經(jīng)過描點，確定其近似多項式的形式，但由于給定的點有誤差，所以擬合曲線的數(shù)學模型并不是一開始就能選的好的，往往要通過分析確定若干模型后，再經(jīng)過實際計算，才能選到較好的模型。第四章總結計算方法中插值與擬合的區(qū)別與聯(lián)系是：插值和擬合都是函數(shù)逼近或者數(shù)值逼近的重要組成部分，他們的共同點都是通過已知一些離散點集M上的約束，求取一個定義在連續(xù)集合S（M包含于S）的未知連續(xù)函數(shù)，從而達到獲取整體規(guī)律的目的。簡單的講，所謂擬合是指已知某函數(shù)的若干離散函數(shù)值fl,f2,fn,通過調整該函數(shù)中若干待定系數(shù)f（入1,入2,，入3）,使得該函數(shù)與已知點集的差別（最小二乘意義）最小。如果待定函數(shù)是線性，就叫線性擬合或者線性回歸（主要在統(tǒng)計中），否則叫作非線性擬合或者非線性回