第節(jié)四則運算求導方法

1、第二節(jié)二、反函數(shù)的求導法則 三、復合函數(shù)求導法則 四、初等函數(shù)的求導問題 一、四則運算求導法則 函數(shù)的求導法則 五、隱函數(shù)求導法六、取對數(shù)求導法1解決求導問題的思路:( 構(gòu)造性定義 )求導法則其它基本初等函數(shù)求導公式證明中利用了兩個重要極限初等函數(shù)求導問題本節(jié)內(nèi)容2一、四則運算求導法則 定理1.的和、差、積、商 (除分母為 0的點外) 都在點 x 可導,且那么3此法則可推廣到任意有限項的情形.證: 設(shè) 則故結(jié)論成立.例如,4(2)證: 設(shè)則有故結(jié)論成立.5例2.解：推論:( C為常數(shù) )例1. 求解：6例3. 解:7(3)同理可證. (略) 推論:例4. 求解:8例5. 求證證: 類似可證:小

2、結(jié):9解法一.法二.注在進行求導運算中且也能提高結(jié)果的準這樣使求導過程簡單,盡量先化簡再求導,確性.例6. 10二、反函數(shù)的求導法則 定理2. y 的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導, 證:在 x 處給增量由反函數(shù)y=f (x)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知 因此則11例7. 求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導數(shù).解: 1) 設(shè)則類似可求得, 則122)設(shè)則特別當時,小結(jié):13在點 x 可導,三、復合函數(shù)求導法則定理3.在點可導,則復合函數(shù)且在點 x 可導,證:在點 u 可導,故（當 時 )故有14例如,關(guān)鍵: 搞清復合函數(shù)結(jié)構(gòu), 由外向內(nèi)逐層求導.推廣：此法則可推廣到多個中間變量的情形.15例8.函數(shù)解: 注：復合

3、函數(shù)求導完畢，最后用x的表達式替換掉中間變量u.16例9. 設(shè)求解:17例10. 求下列導數(shù):解: (1)(2)u18例11. 設(shè)求解:注：搞清函數(shù)的復合函數(shù)結(jié)構(gòu)和四則運算結(jié)構(gòu)，分別按照各自的求導法則求導.19四、初等函數(shù)的求導問題 1. 基本初等函數(shù)的導數(shù) 202. 有限次四則運算的求導法則( C為常數(shù) )3. 復合函數(shù)求導法則4. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導,由定義證 ,說明: 最基本的公式其它公式用求導法則推出.且導數(shù)仍為初等函數(shù).21例12. 求解:先化簡后求導22例13. 求解:23顯函數(shù): 因變量是由其自變量的表達式表達出來.五、隱函數(shù)的求導法則例如:故y是 x 的函數(shù) . 但是有些

4、函數(shù)，它們自變量與因變量的對應(yīng)法則是由一個方程所確定.定義. 如果y與 x 的函數(shù)關(guān)系是由方程F (x, y)=0給出，則稱y是x的隱函數(shù) （implicit function ）.例如：24問題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?令y=y (x), 將方程F(x, y)=0兩邊對x求導，隱函數(shù)求導方法: 兩邊對 x 求導( 注意 y = y(x) )(含導數(shù) 的方程)定義：如果y與是 x 的函數(shù)關(guān)系是由方程F (x, y)=0則稱y是x的隱函數(shù) （implicit function ）.隱函數(shù)求導法則:給出，解出25例1.解：解得26例2. 求由方程在 x = 0 處的導數(shù)解: 方程兩邊對 x 求導得因 x = 0 時 y = 0 , 故確定的隱函數(shù)27例3. 求橢圓在點處的切線方程.解: 橢圓方程兩邊對 x 求導故切線方程為即28例4. 求解: 方程兩邊對 x 求導得29 1. 求冪指型函數(shù)的導數(shù)六、取對數(shù)求導法求導方法：兩邊對x求導兩邊取對數(shù)解方程30例5. 求的導數(shù) . 解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱函數(shù)兩邊對 x 求導31例6. 求的導數(shù) . 解: 兩邊取對數(shù) , 化為隱函數(shù)兩邊對 x 求導322.由若干個函數(shù)的積、商及方根組成的函數(shù)，也可以用取對數(shù)求導法求導兩邊對 x 求導對方程兩邊取對數(shù)例7. 求的導數(shù).解：33作業(yè) 練習題2.2: 34備用題