第三講-拋物線的方程及性質

1、第三講拋物線、知識要點分析:設p 0,拋物線的標準方程、類型及其幾何性質:標準方程y2 2pxy2 2pxx2 2 py2.x 2py圖形 1 y / lyTKJxy人住日 八、八、F(p0)F( f,0)f(0,1)F(0, 9準線x Ixy弓y衛(wèi) 2范圍x 0,y Rx 0, y Rx R, y 0 x R, y 0對稱軸x軸y軸頂點0,0離心率e 1住日 八、八、PFI 2 x1lPFl -2 lx11lPFl -p y11PH p |y1注：p的幾何意義：焦點到準線的距離，故p恒為正數(shù);通徑為2p,這是過焦點的所有弦中最短的.焦點和準線與對稱軸的交點關于原點對稱.二、典型例題考點1、拋

2、物線的定義例1、方程，2(x 3)2 2( y 1)2 |x y 31表示的平面曲線是DA.圓B.橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線練習1、點P到一個定點M與到一條定直線l的距離之比為1:1 ,則點p的軌跡是DA.拋物線B.射線 C. 直線 D.拋物線或直線例2、已知點P3,2在拋物線y2 4x的內(nèi)部，F(xiàn)是拋物線的焦點，在拋物線上求一點 M使|MP|+|MF| 最小，并求此最小值.答案:M1,2，|MP|+|MF| 最小值為 4.練習2、在拋物線y2 2px(p 0)上一點橫坐標為為-9,它到焦點的距離為10,這點坐標為.答案：-9,6和-9 , -6例3、點A、B為拋物線y2 2px(p 0)

3、上任意兩點，假設AB通過拋物線焦點F,則以AB為直徑的 圓與拋物線的準線的位置關系是CA .相交B .相離C.相切D .不確定練習3、點P在拋物線y2 2px(p 0)上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則以 PF為直徑的圓與y軸的位置關系 是CA .相交B .相離C.相切D .不確定考點2拋物線的標準方程例4、拋物線方程為7x 8y2 0的焦點坐標為BA.練習A.(1 ,0)164、拋物線方程為 y1(,0)4B - ( j0)322X的焦點坐標為D1( -,0)4C- (0，32)(0, )16D.1(0，4)例5、設a 0,aR,則拋物線y 4ax2的焦點坐標為CA.(a,0)(0, a)(0, )1

4、6aD.隨a的符號而定練習A.5、拋物線x(喘)2py2(p 0),則拋物線的焦點坐標是 DB.(旦0)2C. (0當2例6、拋物線x(2a 1)y的準線方程為y=l,則實數(shù)a的值等于DA.練習A.526、拋物線182ax的準線方程為y=2,則實數(shù)a的值等于BB. 18C. 8例7、假設點PA. y2 8xXy到點F0,2的距離比它到到直線y+4=0的距離小2,則點P的軌跡方程是C練習7、到點F0,-2的距離比它到到直線y=1的距離大1的點的軌跡方程是,2A. y 8xB .例8、動圓與定圓A： (x 2)2 y2y28xx28y8y 一x28y1外切，且和直線 x=1相切，則動圓圓心A的軌跡

5、方程是答案：y2 8x練習8、動圓M和直線x=-4相切，并且經(jīng)過點 F4,0，則動圓圓心 M的軌跡方程是y2 16x.例9、如圖，lp l2是兩條互相垂直的直線，垂足為 M,點N在直線L上.以A、B為端點的曲線段 C上任意一點到l2的距離與到點N的距離相等.假設AMN銳角三角形，|AM | 歷,|AN| 3,|BN| 6.建立適當?shù)淖鴺讼?，求求曲線段C的方程.答案：y2 8x(1 x 4,y 0)練習9、在平面直角坐標系中，拋物線 y x2上異于坐標原點的兩個不同動點A, B滿足OA OB.22求AOBW重心G的軌跡萬程；答案：y 3x2 一3AOBW面積是否存在最小值？假設存在，請求出最小值

6、；假設不存在，請說明理由.答案：1考點3拋物線的幾何性質例10、假設直線l過拋物線y2=4x的焦點，與拋物線交于 A B兩點，且線段A B中點的橫坐標為2 .求 線段AB的長.練習10、拋物線y2 2x上的兩點A、B到焦點的距離之和是 5,則線段AB中點到y(tǒng)軸的距離是.例11、已知拋物線y2 2x和點A(a,0).1假設a ,求拋物線上距離點 A最近的點的坐標；答案：0,0a (a0)2假設a R ,求拋物線上點到點 A的距離的最小值.答案：d a(0 a0上的兩點，且 OA1O01求A、B兩點的橫坐標之積和縱坐標之積；2求證：直線AB過定點；3求弦AB中點P的軌跡方程；4求AOE積的最小值。

7、1解：設 AX1, y，BX2, y2，中點 Px0, y。， TOC o 1-5 h z k七兒二也上融=-JOAOB. .卜皿*二-1町當十力打二口 Kl冷o HYPERLINK l bookmark49 o Current Document 22yi2- 2眄,為2posa,- - + 7)73 - 02P紈 。二一：1 .O2證明：回必=2%吟,-必一%)依f)=2的叼)。,力一為 一, lr 2pa.j。=u4-% + %力4力y-yi(x-kj)直線AB:加_ 2% .2 P笈1一通十巧丫2一力十力 1力十% -yi+n 九十為 。回門 =卻盯必=.、?2 叫 Tp，泊+為 Yif

8、 ,2?yi + ya3（工-4） .AB過定點2p, 0,設 M2p, 0。解：設 OA： y = kx ,.A（組瑪 葉廣，同理,/=p0c3 +&以H代k得忙L型）。2即=辭口 -卻，中點M的軌跡方程丫口 一功，.50與人網(wǎng)4 $小口m :|四|（|八|斗|力。=P伽陰力I）,卻出為I = 4/4解：2當且僅當|yi| =|y2| =2p時，等號成立。練習14、如圖，過點F1,0的直線l與拋物線C: y2=4x交于A、B兩點.1假設|AB|=8 ,求直線AB的方程；2記拋物線C的準線為l ,設直線OA OB分別交l于點N、M求 OM ON的值.解 1設 Ax1, y1，Bx2, y2，|

9、AB|=8,即 x1+x2+p=8, . x1+x2=6., |AB| 2p, 直線l的斜率存在，設其方程為y=k(x-1).,)y24x 、，一 ，口由萬程組 y , 消去 y,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0,y k(x 1), TOC o 1-5 h z 一2一,2 6,得 k= 1.,c 2k 4 日口 2k- x1+x2=即k2, I，直線 AB的方程是 x-y-1=0 或x+y-1=0.2當直線l的斜率不存在時，OM ON OA OB=x1x2+y1y2=1-4=-3.當直線l的斜率存在時,由1知，x1x2=1,y1y2=-16x1x24,設 M-1 , y3,N(-1,y

10、4),B,O, M三點共線,與血y31 x2在，同理可得y4 幺 x2為 OM ON = -1y3 -1 , y4=1+y3y4=1+ y1 y2 x1x23.綜上，=-3.練習一、填空題.拋物線x2 4y上一點A的縱坐標為4,則點A與拋物線焦點的距離為 o.拋物線y 2x2的焦點坐標是 o.已知拋物線的頂點在原點，焦點在 y軸上，其上的點P(m, 3)到焦點的距離為5,則拋物 線方程為 o.頂點在原點，坐標軸為對稱軸的拋物線過點 (一2,3),則它的方程是.動圓M經(jīng)過點A 3,0且與直線l : x3相切，則M的軌跡方程為 。.邊長為1的等邊AOB O為原點，AB! x軸，以O為頂點且過A、B

11、的拋物線方程 是。.在拋物線y28x中，以-1 , -1為中點的弦所在的直線的方程為 。.拋物線頂點在原點，對稱軸是坐標軸，焦點在直線 x y 2 0上，則拋物線的方程為。.過拋物線y2 2px p 0焦點，且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，假設AB 8 , 則拋物線方程為。.假設點A的坐標為3, 2，F(xiàn)為拋物線y2 2x的焦點，點P是拋物線上的一動點，則PA PF取得最小值時點P的坐標是 o.已知圓x2 y2 6x 7 0,與拋物線y2 2PMp 0）的準線相切，則p 。.拋物線y2=2pxp0上一點M與焦點F的距離|FM | Dp,則點M的坐標是。2.拋物線y2 8x上兩點M、N到焦點

12、F的距離分別是d1，d2,假設d d2 5,則線段MN的中點P到y(tǒng)軸的距離為。.拋物線y2 4x的焦點為F ,準線為l ,經(jīng)過F且斜率為73的直線與拋物線在x軸上方的 部分相交于點A , AKl ,垂足為K ,則 AKF的面積為二、解答題15.已知拋物線的頂點在原點，焦點在y軸上，且拋物線上一點（3,m）到焦點的距離為5,求拋物線的方程。.拋物線y2 2Px(p 0)有一內(nèi)接直角三角形，直角的頂點在原點，一直角邊的方程是y 2x ,斜邊長是5J3 ，求此拋物線方程。.假設拋物線y2 2 Px上三點的橫坐標城等差數(shù)列，求證：該三點的焦半徑也成等差數(shù) 列。.已知拋物線x2 4y的焦點為F, A、B

13、是拋物線上的兩動點，且 AF FB( 0).過A、B兩點分別作拋物線的切線，設其交點為 MI證明FMAB為定值；II設ABM的面積為S,寫出S f()的表達式，并求S的最小值、填空題拋物線參考答案11 .2 . (0, -)3. x 8y829 f 24. y 一 x或 x - y23. y2 12x6. y2.3x627. 4x y 3 08 . y8x 或 x2 8y9. y2 4x10.2, 211. 212.p, =,且有 xiX2=一入x2 = 4入y2= 4, 1c1拋物線方程為y=-x2,求導得V =X.所以過拋物線上A、B兩點的切線方程分別是1y = 2X1（x X1）+y1,

14、 y=/X2（x X2）+y2,日門 11 211 2即 y=2X1x 4X1, y=2X2X 4X2.解出兩條切線的交點M的坐標為（f, 等）=（3薩，-1）.4分一一.、，二 一一X1 + x2-1 2 2 _ 1 2 12 _所以 FM - Ab=（2, 2）（X2 X1, y2y1）=5（X2 X1） 2（4X2 4X1）=0-一 一 所以FM AB為定值，其值為0.7分.（H）由（I ）知在 ABMI, FML AB,因而 S= 21ABi FM ._/ x+X2 _1FT1 . 1 FM = Aj（ -2-） 2+（ 2）2= Aj 4X*+4x22+ 于的+ 4=1丫1 + 丫2+1*（ 4） +47 V+2=g+/.因為|AF|、|BF|分別等于A、B到拋物線準線y= 1的距離，所以| AB =| AF +| BF =y1 + y2+2=入 +；+2=（近 + ）2.于是S= 1|AB| FM =