各種音律音調(diào)相互關(guān)系的探究(共11頁)

1、各種( zhn)音律(ynl)音調(diào)(yndio)相互關(guān)系的探究吳敏金 本文將用一些初等數(shù)學(xué)與簡(jiǎn)單的物理常識(shí)來探討各種音律音調(diào)的相互關(guān)系，并引入一種新潁的音調(diào)-“超調(diào)”，供樂理專業(yè)人士及業(yè)余愛好者進(jìn)一步研究。眾所周知，聲音是空氣振動(dòng)形成的，并以波的形式傳播，就單音而言，可簡(jiǎn)化為正弦波Asin(2ft+)表示。其中，振幅A決定了聲音的響度，頻率f決定了聲音高度，而人耳對(duì)于聲波的相位不敏感。音律學(xué)研究的重點(diǎn)是聲波的頻率。一般來說，人耳能聽到的聲波頻率范圍是20Hz到20000Hz之間（Hz為每秒振動(dòng)次數(shù)）。聲波的振動(dòng)頻率越快，聽起來就越“高”；反之，越低。物理定律表明：弦長與其振動(dòng)頻率成反比。以二胡

2、為例，通常外弦定音為440Hz（即鋼琴上的a1）。設(shè)下方的琴馬處為坐標(biāo)0，上方的千斤處為坐標(biāo)1，弦長為1單位長度。此時(shí)，弦的中間處為1/2，其振動(dòng)頻率為2*440=880Hz（即鋼琴上的a2）,它與空弦之間的音程是一個(gè)8度。進(jìn)而，在弦的坐標(biāo)1/4處，其振動(dòng)頻率為2*880=1760Hz（即鋼琴上的a3）,它與空弦之間的音程是二個(gè)8度一. 十二音階平均律生成音律的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)是所謂“等差音高序列與等比頻率序列”。由于人耳對(duì)于聲波的頻率是按指數(shù)敏感的，所以，一組聲音，如果它們的頻率成等比級(jí)數(shù)排列，它們聽起來就是“等差音高“的。如前，設(shè)弦坐標(biāo)1處,基準(zhǔn)頻率為1，而弦坐標(biāo)1/2處，其對(duì)應(yīng)的頻率為2。它們

3、構(gòu)成一個(gè)8度的音程（記為C, C1）。可將其劃分成“等差音高序列”的12個(gè)音階（即，12個(gè)半音），也即要求其對(duì)應(yīng)的“等比頻率序列”的公比d=2(1/12)=2的開12次方=1.059463094（簡(jiǎn)單記為1.059）。于是，按等比級(jí)數(shù)，從弦坐標(biāo)1處（基準(zhǔn)頻率為1）到弦坐標(biāo)1/2處(對(duì)應(yīng)的頻率為2)之間的12個(gè)音階，其相應(yīng)的頻率與弦長(及其近似分?jǐn)?shù)值)互為倒數(shù)，見下面的音律表。此頻率（弦長）序列(xli)稱為十二音階平均律。十二音階平均律適合于音高相對(duì)固定的鍵盤樂器（比如(br)鋼琴、管風(fēng)琴、羽管鍵琴等）。十二(sh r)音階平均律、五度相生律與純律的頻率與弦長對(duì)照表n0123456789101

4、112頻率11.0591.1241.1891.2601.3351.4141.4981.5871.6821.7821.8882弦長10.9440.8900.8410.7940.7490.7070.6680.6300.5950.5610.5300.5弦長11243/2568/927/3264/813/4181/2562/381/12816/279/16128/2431/2弦長2115/168/95/64/53/45/72/35/83/55/98/151/2C大調(diào)CDEFGCBC*C小調(diào)CD#DFGbCbBC*C超調(diào)C#C#DFGbCbBC*（注：弦長1是按“五度相生律”計(jì)算的，其中的181/256

5、為近似分?jǐn)?shù)值。弦長2是按“純律”計(jì)算的。見后文）二. 五度相生律中外(zhngwi)古典音樂理論(lln)（如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派(xupi)）對(duì)音律的研究發(fā)現(xiàn)：弦長比為簡(jiǎn)單整數(shù)比（2:1,3:2,4:3）時(shí)，其發(fā)出的聲音為和諧悅耳之音。例如，當(dāng)空弦與弦坐標(biāo)1/2處的弦長比為2:1，對(duì)應(yīng)的頻率比為1:2，此為8度和音（即可理解為c-c1,d-d1,）；當(dāng)空弦與弦坐標(biāo)2/3處的弦長比為3:2，對(duì)應(yīng)的頻率比為2：3，此為5度和音（可簡(jiǎn)單理解為1-5,2-6，3-7,4-1，5-2，6-3,等等）；當(dāng)空弦與弦坐標(biāo)3/4處的弦長比為4:3，對(duì)應(yīng)的頻率比為3:4，此為4度和音。比如，二胡的內(nèi)外弦是按“5度和音

6、”來定音的，通常取為鋼琴上的d-a1。3:2這個(gè)比例在音樂術(shù)語中叫“純五度”，由此生成的音律叫做“五度相生律”（Pythagorean tuning）。借助”五度相生律”,可在8度音程C, C1中,確定8個(gè)和音點(diǎn)?！拔宥认嗌伞钡姆椒ㄊ牵簭目障业念l率f0=1(弦長1，音高C)出發(fā)，按公比3/2，向上遞升的等比頻率級(jí)數(shù)fn(若fn2,則fn/2。 /2為最佳和音)：f1=1*(3/2), (弦長2/3，音高G);f2=f1*(3/2)/2=9/8, (弦長8/9，音高D);f3=f2*(3/2)=27/16, (弦長16/27，音高A);f4=f4*(3/2)/2=81/64, (弦長81/64

7、，音高E);f5=f5*(3/2)=243/128, (弦長128/243，音高B)。(f6=f5*3/2/2=729/512，弦長512/729，音高(yngo)#F)。從弦正中間的頻率(pnl)g0=2(弦長1/2，音高(yngo)C1)出發(fā)，按公比2/3，向下遞降的等比頻率級(jí)數(shù)gn(若gn1,則gn*2。*2為最佳和音)：g1=2*(2/3)=4/3 (弦長3/4，音高F);g2=g1*(2/3)*2=16/9 (弦長9/16，音高bB);g3=g2*(2/3)=32/27 (弦長27/32，音高#D)g4=g3*(2/3)*2=128/81 (弦長128/81，音高bA)g5=g4*(

8、2/3)=256/243 (弦長243/256，音高#C)。(g6=g5*2/3*2=1024/729,弦長729/1024，音高bG)。在8度音程C, C1 中，如果取6個(gè)頻率上行的和音f0,f1,f2,f3,f4,f5 及2個(gè)基本和音g0,g1, 就獲得音階序列：C-D-E-F-G-A-B-C1，此即構(gòu)成了自然C大調(diào)，其頻率分別為1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2。（見前面音律表中的弦長1及C大調(diào)）。如果取6個(gè)頻率下行的和音g0,g1,g2,g3,g4,g5 及2個(gè)基本和音f0,f1, 就獲得音階序列：C-#C-#D-F-G-bA-bB-C

9、1，其頻率分別為1, 256/243, 32/27，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。這是一種與自然C大調(diào)及C小調(diào)都不同的新調(diào)式，稱之為自然C超調(diào)。（見前面音律表中的弦長1及C超調(diào)。第六節(jié)將詳細(xì)論述）。從上面(shng min)論述中，可看到由“五度(w d)相生律”生成(shn chn)的音階并不完全等于12音階平均律，有一些和音點(diǎn)的頻率僅僅是近似而已。（此外，用有限次的五度相生律無法生成出#F=bG的頻率分?jǐn)?shù)值與弦坐標(biāo)分?jǐn)?shù)值，只能用256/181來近似2的開方。）三. 三分損益律“五度相生律”可用所謂“三分損益律”上下交替增減而得。設(shè)弦坐標(biāo)點(diǎn)x，其和音點(diǎn)的弦坐標(biāo)點(diǎn)y，那么y

10、=x+x*1/3，此時(shí)y:x=4:3, y是x的向上和音點(diǎn)。或者y=x-x*1/3，此時(shí)y:x=2:3，y是x的向下和音點(diǎn)。具體方法如下：首先，在弦坐標(biāo)1/2處，弦長向上增加它的1/3。此時(shí)的弦長為1/2+1/2*1/3=2/3，其對(duì)應(yīng)的頻率為3/2=1.5, 此處為和音G。（也可理解為在弦坐標(biāo)1處，弦長向下減少1/3，其弦長也是1-1/3=2/3。）其次，在弦坐標(biāo)2/3處，把弦長向上增加它的1/3。此時(shí)的弦長為2/3+2/3*1/3=8/9，其對(duì)應(yīng)的頻率為9/8=1.125，近似于1.260, 可認(rèn)定此處為和音D。(如在弦坐標(biāo)2/3處，把弦長向下減少它的1/3，此時(shí)的弦長為2/3-2/3*1

11、/3=4/9。由于4/91,可將其除以2，得和音點(diǎn)的坐標(biāo)也是16/27。)然后，在弦坐標(biāo)16/27處，把弦長向上增加它的1/3。此時(shí)的弦長為16/27+16/27*1/3=64/81，其對(duì)應(yīng)的頻率為81/64=1.266，近似于1.260, 可認(rèn)定此處為和音E。(如在在弦坐標(biāo)16/27處，把弦長向下減少它的1/3，此時(shí)的弦長為16/27-16/27*1/3=32/81。 由于321,可將其除以2，得和音點(diǎn)的坐標(biāo)也是128/243。)如此，我們?cè)?度音程C, C1中，依次得到和音點(diǎn)G,D,A,E,B。再加上前面已經(jīng)講到的弦長坐標(biāo)3/4處的4度和音點(diǎn)F。此時(shí)獲得的音階序列C-D-E-F-G-A-B

12、-C1 構(gòu)成了自然C大調(diào)。四. 四度相生律用類似(li s)“五度(w d)相生律”方法(fngf)，將音階序列生成過程中的公比3/2改為4/3，（無妨叫“四度相生律”），可得 f0=1; C;f1=4/3, F;f2=f1*4/3=16/9, bB;f3=f2*4/3/2=32/27, #D;f4=f3*4/3=128/81, bA;f5=f4*4/3/2=256/243, #C;及 g0=2, C1;g1=3/2, G。此音階序列為C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1，其頻率分別為1, 256/243, 32/27，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2。與前面第二節(jié)的頻率下

13、行的“五度相生律”所生成的調(diào)式一樣，這是一個(gè)全新的音調(diào)自然C超調(diào)，（第六節(jié)將詳細(xì)討論.）五. 純律除了12音階平均律與五度相生律，還有一種“純律”，對(duì)于自然C大調(diào)：C-D-E-F-G-A-B-C*，其對(duì)應(yīng)的頻率序列為：1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2，.這是由于“純律”遵照基本原理：“弦長比（頻率比）為簡(jiǎn)單整數(shù)比（2/1,3/2,4/3,5/3,5/4）時(shí)，其發(fā)出的聲音為和諧悅耳之音”，得5個(gè)基本和音；再通過和音的和音：3/2*3/2*2=9/8及3/2*5/4=15/8獲得2個(gè)和音。 由于“純律”的重點(diǎn)是讓各個(gè)音盡量與主音和諧起來，也就是說讓各個(gè)音和主音的頻率比較為簡(jiǎn)

14、單，所以，“純律”音階的諧波豐富，音響和諧，悅耳動(dòng)聽，故稱之為“純律”。因此(ync)，與“五度(w d)相生律”比較(bjio)，“純律”更適合于多聲部樂曲。對(duì)于弦樂而言，“純律”所生成的音階的弦間距）分別為：（設(shè)弦長為1，見前面音律表中的弦長2）C-D,1-8/9=1/9 全音; D-E, 8/9-4/5=1/11全音; E-F, 4/5-3/4=1/20半音; F-G, 3/4-2/3=1/12全音; G-A, 2/3-3/5=1/15 全音;A-B, 3/5-8/15=1/15 全音;B-C*, 8/5-1/2=1/30 半音。值得注意的是，在8度音程C, C1中，5個(gè)全音弦間距并不相

15、等，2個(gè)半音弦間距也不相等。掌握這些音階的弦間距，對(duì)于弦樂指法（如小提琴、二胡等）的音準(zhǔn)與演奏很重要。六新式(xnsh)的音調(diào)(yndio)-“超調(diào)”的分析(fnx)音調(diào)由主音與調(diào)式構(gòu)成。調(diào)式由音階間距序列構(gòu)成。首先注意到：自然C大調(diào)以C為主音，音階序列C-D-E-F-G-A-B-C1，音階間距序列：全 全 半 全 全 全 半。如果將自然C大調(diào)的主音C向下移動(dòng)2度，得音階序列：A1-B1-C-D-E-F-G-A, 音階間距序列：全 半 全 全 半 全 全，主音為A，即自然a小調(diào)?？梢姡≌{(diào)可由大調(diào)的調(diào)式平移而得。同樣地，對(duì)于前面的第二、四節(jié)引入的自然C超調(diào)，其音階序列：C-#C-#D-F-G-

16、bA-bB-C1，音階間距序列：半 全 全 全 半 全 全。如果將自然C大調(diào)的主音C向上移動(dòng)2度，得音階序列：E-F-F-A-B-C1-D1-E1, 音階間距序列也是：半 全 全 全 半 全 全，主音為E，即可自然E超調(diào)。這也就是命名之為“超”調(diào)的原因。它即不同于自然E大調(diào)，也不同于自然E小調(diào)。每一個(gè)調(diào)式（大調(diào)：全 全 半 全 全 全 半；小調(diào)：全 半 全 全 半 全 全；超調(diào)：半 全 全 全 半 全 全；）都可結(jié)合12個(gè)的主音，生成12不同的音調(diào)。最簡(jiǎn)單的不帶升降號(hào)的音調(diào)是：C大調(diào)，自然a小調(diào)，E超調(diào)。如下表所示。（紅色表示主音）。不帶升降號(hào)音調(diào)表調(diào)名123456789101112C大調(diào)CD

17、EFGABA小調(diào)CDEFGABE超調(diào)CDEFGAB可以(ky)方便地寫出十二種不同主音(zh yn)的自然超調(diào)，如下(rxi)表所示。十二種不同主音的超音調(diào)表調(diào)名123456789101112E超調(diào)CDEFGABF超調(diào) C#C#DFbGbAbBbG超調(diào)#CDEbGGABG超調(diào)CD#DEGbAbBbA超調(diào)#C#DEbGbAABA超調(diào)CDEFGAbBbB超調(diào)#C#DEbGbAbBBB超調(diào)CDEbGGABC超調(diào)C#C#DFGbAbB#cA超調(diào)#CDEbGbAABD超調(diào)CD#DFGAbB#D超調(diào)#C#DEbGbAbBB人們熟知，大調(diào)明亮堅(jiān)定，小調(diào)暗淡柔美。那么，超調(diào)如何？可能比起大調(diào)更為堅(jiān)實(shí)閃亮，也可

18、能比起小調(diào)更為柔和平淡，要看實(shí)際使用與場(chǎng)合。其詳細(xì)屬性與應(yīng)用有待進(jìn)一步研究。音調(diào)系列-84種音調(diào)的全面論述，見1。七.總結(jié)頻率上行的“五度相生律”及“三分損益律”可生成自然C大調(diào)：C-D-E-F-G-A-B-C1 ，其頻率分別為1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 23/16, 128/243, 2；（見附表的弦長1）。另注：頻率下行“四度相生律”可生成的自然A大調(diào)。頻率(pnl)下行的“五度(w d)相生律”與“四度相生律”(頻率上行)生成(shn chn)同一的自然C超調(diào)：C-#C-#D-F-G-bA-bB-C1， 其頻率分別為1, 256/243, 32/27，4/3, 3/2, 128/81, 16/9，2（見附表的弦長1）。 “純律”雖然可以與頻率上行的“五度相生律”一樣生成自然C大調(diào)：C-D-E-F-G-A-B-C1 ，但其頻率不同，為：1, 9/8, 5/4, 4/3,