學(xué)案4直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課件

1、進(jìn) 入 學(xué)案4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 名師伴你行SANPINBOOK考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 1.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系主要是指直線和圓錐曲線 ，解決的方法是轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組 ，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元（一次或二次）方程解的情況去研究.設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,圓錐曲線方程為f(x,y)=0.相交、相切、相離 解的個(gè)數(shù) 名師伴你行SANPINBOOK Ax+By+C=0 f(x,y)=0若消去y后得ax2+bx+c=0.（1）若a=0，此時(shí)圓錐曲線不會(huì)是 .當(dāng)圓錐曲線為雙曲線時(shí)，直線l與雙曲線的漸近線 .當(dāng)圓錐曲線是拋物線時(shí)，直線l

2、與拋物線的對(duì)稱軸 .（2）若a0，設(shè)=b2-4ac.0時(shí)，直線與圓錐曲線相交于 ；=0時(shí)，直線與圓錐曲線 ；0得- k ，且k1時(shí)，方程（*）有兩解，方程組有兩解.故直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn).【解析】聯(lián)立方程組消去y，得名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （3）當(dāng)1-k20，由=4(4-3k2)=0得k= 時(shí)，方程組有一解，故直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線相切.（4）當(dāng)1-k20，由=4(4-3k2)0得k 時(shí)，方程組無解，故直線與雙曲線無交點(diǎn).綜上所述，當(dāng)k=1或k= 時(shí)，直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)- k-1或-1k1或1k 時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)k 時(shí)，直線與雙

3、曲線無公共點(diǎn).【評(píng)析】研究直線與雙曲線位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意討論二次項(xiàng)系數(shù)為0和不為0兩種情況.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 對(duì)應(yīng)演練在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(diǎn)（0， ）且斜率為k的直線l與橢圓 +y2=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P和Q.（1）求k的取值范圍；（2）設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點(diǎn)分別為A，B，是否存在常數(shù)k，使得向量OP+OQ與AB共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 (1)由已知，得直線l的方程為y=kx+ ,代入橢圓方程，得 +(kx+ )2=1,整理，得( +k2)x2+2 kx+1=0.直線l與橢圓有兩個(gè)不同

4、的交點(diǎn)P和Q等價(jià)于=8k2-4( +k2)=4k2-20,解得k .即k的取值范圍為(-,- )( ,+).名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 （2）設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則OP+OQ=(x1+x2,y1+y2),由方程，得x1+x2= . 又y1+y2=k(x1+x2)+2 ， 而A(2,0),B(0,1),AB=(- ,1).所以O(shè)P+OQ與AB共線等價(jià)于x1+x2=- (y1+y2),將代入上式，解得k= .由（1）知k .故沒有符合題意的常數(shù)k.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 考點(diǎn)二 弦長問題【例2】已知雙曲線C1: =1,拋物線C2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)

5、是雙曲線C1的左焦點(diǎn)F.（1）求拋物線C2的方程；（2）過F作直線（不垂直x軸）交拋物線C2于P，Q兩點(diǎn)，使POQ的面積為6（O為原點(diǎn)），這樣的直線是否存在？若存在，求出直線的傾斜角；若不存在，請(qǐng)說明理由.【分析】（1）求出點(diǎn)F從而確定P，求出C2的方程.（2）利用弦長公式求|PQ|的長度，從而計(jì)算SPOQ.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【解析】（1）C1： =1,c2=a2+2a2=3a2,故c= |a|，依題意，拋物線C2的方程為y2=-4 |a|x.（2）設(shè)存在滿足題意的直線PQ，其方程為y=k(x+ |a|)(k0),即x= - |a|(k0),又設(shè)點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(x1

6、,y1),(x2,y2),把x= - |a|代入拋物線C2的方程，化簡(jiǎn)并整理得ky2+4 |a|y-12ka2=0,于是y1+y2= , y1y2=-12a2,(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2= +48a2= ,名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 又原點(diǎn)O到直線PQ的距離為 且SPOQ =6,故 ,化簡(jiǎn)得 ，即k2(1-a4)=a4. 當(dāng)|a|1時(shí)，不成立，|a|1時(shí)，直線PQ不存在；當(dāng)|a|0.名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 【評(píng)析】 “點(diǎn)差法” 使用的前提是以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在，因此利用此法求出的弦所在直線方程必須驗(yàn)證是否與曲線相交，即要驗(yàn)證的符號(hào).（2）假設(shè)直線

7、l存在，由（1）中方法可求得直線方程為2x-y-1=0. 2x2-y2=2 2x-y-1=0 =16-432=-80，即n2 ,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則x1+x2= ,設(shè)AB中點(diǎn)M(x0,y0)，則x0= n,y0=- x0+n= ,即M( n, n),又點(diǎn)M在直線y=4x+m上， n= +m,n= m,即( m)2 ,- m .由消去y得名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 Ax+By+C=0 f(x,y)=0時(shí)，ax2+bx+c=0，這時(shí)，要考慮a=0 和 a 0兩種情況，對(duì)雙曲線和拋物線而言 ，一個(gè)公共點(diǎn)的情況要考 慮全面，除a0,=0外，當(dāng)直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，只有一個(gè)交點(diǎn) ；當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí) ，只有一個(gè)交點(diǎn)（= 0不是直線和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的充要條件）.1.解方程組若消去y，得到關(guān)于 x 的方程名師伴你行SANPINBOOK返回目錄 2.涉及到直線被圓錐曲線截得的弦的中點(diǎn)問題時(shí)，常用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理），這樣可直接得到兩交點(diǎn)的坐標(biāo)之和，也可用設(shè)而不求的方法（“平方差法）找到兩交點(diǎn)坐標(biāo)之和，直接與中點(diǎn)建立聯(lián)系.3.有關(guān)曲線關(guān)于直線對(duì)稱的問題，只需注意兩點(diǎn)關(guān)于一條直線對(duì)稱