《不等式》專題5 基本不等式-最值分析（基礎(chǔ)）（Word版含答案）

1、不等式專題5-1 基本不等式最值分析（基礎(chǔ)）（6套8頁(yè)）知識(shí)點(diǎn)：基本不等式：若a，b都為正數(shù)，那么 (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)a2b22ab (當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，等號(hào)成立)一正二定三相等：一正： a，b為正數(shù)或零時(shí)不等式都可以成立；二定： 運(yùn)用過(guò)程中式子要出現(xiàn)定值；三相等： 當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取“”號(hào)；常用變型: 型：“和定積最大，積定和最小” 這個(gè)不等式可以把平方和、和、積的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，方便變型。典型例題：若，的最小值為 答案：，； ，此時(shí)x 。若，的最小值為 答案：； 若，的最大值為 答案：，； ，此時(shí)x 。若，函數(shù)的最小值為 答案：，； ，此時(shí)x 。隨堂練習(xí)：若，的最小值為 答案：，； ，

2、此時(shí)x 。已知x，yR，且滿足 eq f(x,3)eq f(y,4)1.則xy的最大值為_ 答案：3；解析：eq f(y,4)1eq f(x,3)，01eq f(x,3)1，0 x3.而xyx4(1eq f(x,3)eq f(4,3)(xeq f(3,2)23.當(dāng)xeq f(3,2)，y2時(shí)，xy最大值為3._若，的最小值為 答案：； 若，函數(shù)的最大值為 答案：4； 若，函數(shù)的最小值為 答案：，； ，此時(shí)x 。典型例題2（一些簡(jiǎn)單變型、湊數(shù)）：已知x0，y0，2x3y6，則xy的最大值為 答案：eq f(3,2)；解析：因?yàn)閤0，y0，2x3y6，所以xyeq f(1,6)(2x3y)eq f

3、(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2x3y,2)eq sup12(2)eq f(1,6)eq blc(rc)(avs4alco1(f(6,2)eq sup12(2)eq f(3,2).當(dāng)且僅當(dāng)2x3y，即xeq f(3,2)，y1時(shí)，xy取到最大值eq f(3,2)._已知x0，y0，且xy8，則 (1x)(1y)的最大值為( 解析：B)A16 B25 C9 D36設(shè)，則函數(shù)的最小值是 答案：9，1；提示： ，此時(shí)x .若，則的最小值是_ 答案：2；_若，的最小值為 答案：； （多選）設(shè)a1，b1且ab(ab)1，那么( 答案：AC；ab1(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào)

4、)，即(ab)24(ab)40且ab2，解得ab22eq r(2)，ab有最小值22eq r(2)，知A正確；由ab(ab)1，得ab1ab2eq r(ab)(當(dāng)且僅當(dāng)ab1時(shí)取等號(hào))，即ab2eq r(ab)10且ab1，解得ab32eq r(2)，ab有最小值32eq r(2)，知C正確)Aab有最小值22eq r(2) Bab有最大值22eq r(2)Cab有最小值32eq r(2) Dab有最大值1eq r(2)隨堂練習(xí)2：已知，則的最大值為（ 【答案】D【解析】因?yàn)?，所以有，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故本題選D. ） A1BCD若x5，則x+4x+5的最小值為（ 【答案】A【解析】x+4x+

5、5=x+5+4x+55225=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立，故選A. ）A-1 B3 C-3 D1若 在處取得最小值，則（ 【答案】B【解析】：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立;所以,故選B. ）A B3 C D4設(shè)x0，則函數(shù)yxeq f(2,2x1)eq f(3,2)的最小值為( A 解析：選A.因?yàn)閤0，所以xeq f(1,2)0，所以yxeq f(2,2x1)eq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)eq f(1,xf(1,2)22eq r(blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)f(1,xf(1,2)20，當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(1,2)eq f(1,xf(

6、1,2)，即xeq f(1,2)時(shí)等號(hào)成立，所以函數(shù)的最小值為0.)A0 B.eq f(1,2) C1 D.eq f(3,2)若，的最小值為 答案：8； 若正實(shí)數(shù)x，y滿足x2y2xy80，則x2y的最小值( 解析：B)A3 B4 Ceq f(9,2) Deq f(11,2)第一頁(yè)答案：，；，； ，； 答：，；3； ； 4； ，； 第二頁(yè)答案： eq f(3,2)；B； 9，1； 2； ；AC； 答：D； A；B；A；8；B；知識(shí)點(diǎn)：分式型湊數(shù)法： 記一下這個(gè)特殊的湊數(shù)方式，出現(xiàn)分式，多數(shù)用該法。典型例題：設(shè)為正數(shù)，則的最小值為_ 答案：4；_.已知，且滿足，那么的最小值為（ 答案：B； ）

7、A B C D已知的最小值為 答案：9；_.隨堂練習(xí)：已知x0，y0，且eq f(1,x)eq f(9,y)1，求xy的最小值 答案：解方法一eq f(1,x)eq f(9,y)1，xy(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(9,y)10eq f(y,x)eq f(9x,y).x0，y0，eq f(y,x)eq f(9x,y)2 eq r(f(y,x)f(9x,y)6.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(y,x)eq f(9x,y)，即y3x時(shí)，取等號(hào)又eq f(1,x)eq f(9,y)1，x4，y12.當(dāng)x4，y12時(shí)，xy取最小值16.方法二由eq f(1,x)eq f(9,y)

8、1，得xeq f(y,y9)，x0，y0，y9.xyeq f(y,y9)yyeq f(y99,y9)yeq f(9,y9)1(y9)eq f(9,y9)10.y9，y90，y9eq f(9,y9)102 eq r(y9f(9,y9)1016，當(dāng)且僅當(dāng)y9eq f(9,y9)，即y12時(shí)取等號(hào)又eq f(1,x)eq f(9,y)1，則x4，當(dāng)x4，y12時(shí)，xy取最小值16.設(shè)為正數(shù)，則的最小值為 答案：； .若正數(shù)x，y滿足x3y5xy，則3x4y的最小值是（ 答案：C； ）A. B. C.5 D.6應(yīng)用題：將一根鐵絲切割成三段做一個(gè)面積為45 m2的直角三角形框架，在下列四種長(zhǎng)度的鐵絲中，

9、選用最合理(夠用且浪費(fèi)最少)的是( 解析：C) A95 m B10 m C105 m D11 m某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車站的距離成正比，如果在距車站10公里處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站_ 5；解析：設(shè)倉(cāng)庫(kù)與車站距離為x公里，由已知y1eq f(20,x)；y208x費(fèi)用之和yy1y208xeq f(20,x)2eq r(0.8xf(20,x)8，當(dāng)且僅當(dāng)08xeq f(20,x)，即x5時(shí)“”成立_公里處宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)一個(gè)三角形

10、，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫-秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，則此三角形面積的最大值為( 【答案】C【解析】由題意，p10，S8，此三角形面積的最大值為8故選：C )A B C D不等式專題5-2 基本不等式最值分析（基礎(chǔ)）若x， y是正數(shù)，且，則xy有（ 答案：C；）最大值16 最小值 最小值16最大值若，的最小值為 答案：7，1； ，此時(shí)x 。若，的最大值為 答案：，； ，此時(shí)x 。若，函數(shù)的最小值為 答案：； 已 答案：當(dāng)，時(shí)，最大值；解析：因?yàn)閤 0，y0，且x 2y1 所以x y 當(dāng)且僅當(dāng)x 2y時(shí)上述不等式取“”號(hào)，由因

11、此，當(dāng)，時(shí)，x y取得最大值知x0，y0且x2y1，求xy的最大值，及xy取最大值時(shí)的x、y的值已知正數(shù)a，b滿足abab30，則ab的最小值是_ 答案：9；解析abab30，abab32eq r(ab)3.令eq r(ab)t，則t22t3.解得t3(t1舍)即eq r(ab)3.ab9.當(dāng)且僅當(dāng)ab3時(shí)，取等號(hào)_已知t0，則yeq f(t24t1,t)的最小值為( 解析：B) A1 B2 C2 D5若，則的最小值是 【答案】9 【解析】因?yàn)?，即所以?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)故第一空填9，第二空填_，此時(shí)_.若，的最小值為 答案：； 若m、n0，則的最小值為（ 答案：D； 因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)

12、，此時(shí)，解得 ） A2B6C9D3 已知x0，y0，且eq f(1,y)eq f(3,x)1，則3x4y的最小值是 25；解析：因?yàn)閤0，y0，eq f(1,y)eq f(3,x)1，所以3x4y(3x4y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,y)f(3,x)13eq f(3x,y)eq f(12y,x)1332eq r(f(x,y)f(4y,x)25(當(dāng)且僅當(dāng)x2y5時(shí)取等號(hào))，所以(3x4y)min25_若x，yR，且2x8yxy0，則xy的最小值為( 答案：D；)A12 B14 C16 D18用一根長(zhǎng)為的鋁合金條做成一個(gè)“目”字形窗戶的框架（不計(jì)損耗），要使這個(gè)窗戶通過(guò)的陽(yáng)

13、光最充足，則框架的寬為_；高為 【答案】 3 【解析】設(shè)窗戶的寬為，則其高為，要使陽(yáng)光充足，只要面積最大，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，這時(shí)高為.故答案為：(1). (2). 3用基本不等式求最值問題:已知，則：(1)如果積是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最小值是 .(簡(jiǎn)記：積定和最小)(2)如果和是定值，那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值是.(簡(jiǎn)記：和定積最大)_.用籬笆圍一個(gè)面積為的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（ 【答案】矩形的長(zhǎng)、寬都為時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為.【解析】設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為，寬為，則，籬笆的長(zhǎng)為.由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)

14、、寬都為時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為.）不等式專題5-3 基本不等式最值分析（基礎(chǔ)）若，的最小值為 答案：； 若x，y是正實(shí)數(shù)，則(xy)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,x)f(4,y)的最小值為( 解析：B) A.6 B.9 C.12 D.15若，的最大值為 答案：，； ，此時(shí)x 。（多選）設(shè)，且，那么（ 答案：AD；解：由題已知得：,故有,解得或（舍）,即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）,A正確;因?yàn)?所以,又因?yàn)? 有最小值,D正確.故選：AD ）A有最小值B有最大值C有最大值 D有最小值若實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1，則xy的最大值為( 【答案】C【解析】實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y=1

15、，y=12x，xy=x12x=2x2+x=2(x14)2+1818，當(dāng)x=14，y=12時(shí)取等號(hào)，故選：C) A1B14C18D116已知x0，y0，x2y2xy8，則x2y的最小值是( 答案：B；解析8(x2y)2xyx(2y)(eq f(x2y,2)2.原式可化為(x2y)24(x2y)320.x0，y0，x2y4.當(dāng)x2，y1時(shí)取等號(hào))已知函數(shù)yx4eq f(9,x1)(x1)，當(dāng)xa時(shí)，y取得最小值b，則ab( 解析：C)A3 B2 C3 D8已知，則的最小值是 【答案】3【解析】因?yàn)?，所以，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）._.若，函數(shù)的最小值為 答案：4； 已知，且，則的最小為 答案：

16、；_.已知正數(shù)x，y滿足eq f(2,x)eq f(1,y)1，則x2y的最小值為( 解析：A) A8 B4C2 D0已知a0，b0，且2abab. (1)求ab的最小值； (2)求a2b的最小值（ 解：因?yàn)?abab，所以eq f(1,a)eq f(2,b)1； (1)因?yàn)閍0，b0，所以1eq f(1,a)eq f(2,b)2eq r(f(2,ab)，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(1,a)eq f(2,b)eq f(1,2)，即a2，b4時(shí)取等號(hào)，所以ab8，即ab的最小值為8；(2)a2b(a2b)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,a)f(2,b)5eq f(2b,a)eq f(2a

17、,b)52eq r(f(2b,a)f(2a,b)9，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(2b,a)eq f(2a,b)，即ab3時(shí)取等號(hào)，所以a2b的最小值為9）如圖，在半徑為4(單位：cm)的半圓形(O為圓心)鐵皮上取一塊矩形材料ABCD，其頂點(diǎn)A，B在直徑上，頂點(diǎn)C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為 答案16解析如圖所示，連接OC，設(shè)OBx(0 xeq f(ab,2) Dxeq f(ab,2)不等式專題5-4 基本不等式最值分析（基礎(chǔ)）已知x，yR，且滿足eq f(x,3)eq f(y,4)1，則xy的最大值為_ 答案：3；解析x0，y0且1eq f(x,3)eq f(y,4)2eq r(f(xy,

18、12)，xy3.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(x,3)eq f(y,4)時(shí)取等號(hào)_若，的最小值為 答案：，； ，此時(shí)x 。若，的最大值為 答案：； 若，函數(shù)的最小值為 答案：； 若，且，則的最大值為 答案：； .已知，則的最小值是（ 答案：B； ）（A）3 （B）4 （C） （D）已知x0，則函數(shù)yeq f(x25x4,x)的最小值為( 解析：B) A9 Beq f(9,2) C3 Deq f(3r(2),2)若，則函數(shù)的最小值是 答案：； 。若，函數(shù)的最小值為 答案：2； 若，且的最小值是 【答案】9【解析】，,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)“=”成立，故答案為9._.已知，且，則的最小值為 答案：9； 已知的最小值為

19、答案：9；_.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( B 解析：設(shè)每件產(chǎn)品的平均費(fèi)用為y元，由題意得yeq f(800,x)eq f(x,8)2eq r(f(800,x)f(x,8)20.當(dāng)且僅當(dāng)eq f(800,x)eq f(x,8)(x0)，即x80時(shí)“”成立，故選B.) A60件 B80件 C100件 D120件若直角三角形斜邊長(zhǎng)是1，則其內(nèi)切圓半徑的最大值是 答案：； .不等式專題5-5 基本不等式最值分析（基礎(chǔ)）若，的最

20、小值為 答案：； 已知，則的最小值為（ 【答案】B【解析】因?yàn)?，由基本不等式可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立故選：B ） AB6CD若，的最大值為 答案：，； ，此時(shí)x 。已知abc，則eq r(abbc)與eq f(ac,2)的大小關(guān)系是 答案eq r(abbc)eq f(ac,2)解析abc，ab0，bc0.eq f(ac,2)eq f(abbc,2)eq r(abbc)，當(dāng)且僅當(dāng)abbc，即2bac時(shí)取等號(hào)_若正實(shí)數(shù) 滿足， 則的最小值是 答案：18； 已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 【答案】6【解析】由題得,所以，所以，所以x+y6或x+y-2(舍去)，所以x+y的最小值為6.當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3

21、時(shí)取等.故答案為：6_若，則的最小值是（ 答案：D； ） .2.3 若，則的最小值是 答案：； ；若，的最小值為 答案：； 已知實(shí)數(shù)x，y滿足x0，y0，且eq f(2,x)eq f(1,y)1，則x2y的最小值為( D 解析：因?yàn)閤0，y0，且eq f(2,x)eq f(1,y)1，所以x2y(x2y)eq blc(rc)(avs4alco1(f(2,x)f(1,y)4eq f(4y,x)eq f(x,y)42eq r(f(4y,x)f(x,y)8，當(dāng)且僅當(dāng)eq f(4y,x)eq f(x,y)時(shí)等號(hào)成立故選D.)A2 B4 C6 D8若點(diǎn)A(2，1)在直線mxny10上，其中mn0，則eq

22、 f(1,m)eq f(2,n)的最小值為 8 解析：因?yàn)辄c(diǎn)A(2，1)在直線mxny10上，所以2mn1，所以eq f(1,m)eq f(2,n)eq f(2mn,m)eq f(2（2mn）,n)4eq blc(rc)(avs4alco1(f(n,m)f(4m,n)8._若x，yR，且2x8yxy0，則xy的最小值為( 答案：D；)A12 B14 C16 D18有一批材料可以建成200 m的圍墻,如果用此材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地,中間用同樣的材料隔成面積相等的矩形,如圖所示,則圍成的矩形場(chǎng)地的最大面積為_ 【答案】2500【解析】設(shè)矩形場(chǎng)地的寬為x m,則矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為(200-4x)m,則矩形場(chǎng)地的面積S=x(200-4x)=-4(x-25)2+2500(0 x2)在