常用邏輯用語(yǔ)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及同步練習(xí)

1、選修2-1 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1.1 命題及其關(guān)系1. 定義：一般地，我們用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句，叫做命題；其中判斷為正確的命題，為真命題；判斷為不正確的命題，為假命題。2. 辨析：能夠分辨哪一個(gè)是命題及其真假。判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題，關(guān)鍵在于能否判斷其真假。語(yǔ)句可分為疑問(wèn)句、祈使句、感嘆句與陳述句。一般的，只有陳述句能分辨真假，其他類(lèi)型的句子無(wú)所謂真假，我們把每個(gè)能分辨真假的陳述句作為一個(gè)命題。對(duì)于一個(gè)句子，有時(shí)我們可能無(wú)法判斷其真假，但對(duì)這個(gè)句子卻是有真假的，如：“太陽(yáng)系外存在外星人”，對(duì)于這個(gè)句子所描述的情形，目前確定其真假，但從事物的本質(zhì)而言，句子本身是可以

2、判斷其真假的。這類(lèi)語(yǔ)句也稱(chēng)為命題。語(yǔ)句是不是命題，關(guān)鍵在于能不能判斷其真假，也就是判斷其是否成立。不判斷真假的語(yǔ)句，就不能叫命題?！癤2”。3.原命題與逆命題即在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的條件（或題設(shè)）是第二個(gè)命題的結(jié)論，且第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題；如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)叫做原命題的逆命題.4. 否命題與逆否命題即在兩個(gè)命題中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，這樣的兩個(gè)命題就叫做互否命題，若把其中一個(gè)命題叫做原命題，則另一個(gè)就叫做原命題的否命題.5. 原命題與逆否命題即在兩個(gè)命題中，一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別

3、是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，這樣的兩個(gè)命題就叫做互為逆否命題，若把其中一個(gè)命題叫做原命題，則另一個(gè)就叫做原命題的否命題.6.四種命題的形式一般到，我們用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用p 和q分別表示p和q的否定，于是四種命題的形式就是：原命題：若p則q；逆命題：若q則p；否命題：若p則q；逆否命題：若q則p.7. 四種命題的相互關(guān)系一般的，四種命題的真假性，有且僅有以下四種情況：（四種命題的真假性之間的關(guān)系）原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真假假假假假兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系.8. 反證法欲證“若p則

4、q”為真命題，從否定其結(jié)論即“非q”出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的邏輯推理導(dǎo)出矛盾，從而“非q”為假，即原命題為真，這樣的證明方法稱(chēng)為反證法其反證法的步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；(2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，通過(guò)推理論證，得出矛盾；(3)由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定命題的結(jié)論正確1.2 充分條件與必要條件1. 充分條件的定義 如果p成立時(shí)，q必然成立，即pq，我們就說(shuō)，p是q成立的充分條件（即為使q成立，只需條件p就夠了）2. 必要條件的定義 如果B成立時(shí)，A必然成立，即qp，我們就說(shuō)，q是p成立的必要條件（即為使q成立，就必須條件p成立）3. (1)若pq，且qp，則稱(chēng)p是q的充分必

5、要條件，簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件。P q說(shuō)明：充要條件是互為的； “p是q的充要條件”也說(shuō)成“p與q等價(jià)” 、 p當(dāng)且僅當(dāng)q”等.pq，且qp，則p是q的充要條件；pq，但qp，則p是q的充分而不必要條件；qp，但pq，則p是q的必要而不充分條件；pq，且qp，則p是q的既不充分也不必要條件.1.3 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞1. “或”與日常生活中的用語(yǔ)“或”的意義不同，在日常生活用語(yǔ)中的“或”帶有不可兼有的意思，而邏輯用語(yǔ)中的“或”可以同時(shí)兼有。對(duì)于邏輯用語(yǔ)“或”的理解我們可以借助于集合中的并集的概念：在或中的“或”是指 “”與“”中至少有一個(gè)成立，可以是“且”，也可以是“且”，也可以是“且”，邏輯用語(yǔ)中的“或

6、”與并集中的“或”的含義是一樣的；2. 對(duì)“且”的理解，可以聯(lián)想到集合中的交集的概念：在且的“且”是指“”、“”都要滿(mǎn)足的意思，即既要屬于集合A，又要屬于集合B；3. 對(duì)“非”的理解，可以聯(lián)想到集合中的補(bǔ)集的概念：“非”有否定的意思，一個(gè)命題經(jīng)過(guò)使用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題“非”，當(dāng)為真時(shí)，非為假，當(dāng)為假時(shí)，非為真。若將命題對(duì)應(yīng)集合，則命題非就對(duì)應(yīng)著集合在全集U中的補(bǔ)集；對(duì)于非的理解，還可以從字意上來(lái)理解，“非”本身就具有否定的意思，如“0.5是非整數(shù)”是對(duì)命題“0.5是整數(shù)”進(jìn)行否定而得出的新命題。一般地，寫(xiě)一個(gè)命題的否定，往往需要對(duì)正面敘述的詞語(yǔ)進(jìn)行否定。4. 構(gòu)造復(fù)合命題的方式：

7、簡(jiǎn)單命題+邏輯連結(jié)詞（或、且、非）+簡(jiǎn)單命題。5. 復(fù)合命題的真假判斷：pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假注意：“命題的否定”與“否命題”是兩個(gè)不同的概念：前者只否定結(jié)論，后者結(jié)論與條件共同否定。1.4 全稱(chēng)量詞與存在量詞1. 全稱(chēng)量詞、全稱(chēng)命題定義：短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱(chēng)量詞，并用符號(hào)“ ”表示。（常見(jiàn)的全稱(chēng)量詞還有“一切” “每一個(gè)” “任給” “所有的”等 。 ）含有全稱(chēng)量詞的命題，叫做全稱(chēng)命題。如：全稱(chēng)命題“對(duì)M中任意一個(gè)x，有p(x)成立 ”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為讀作“對(duì)任意x屬于M，有p(x)成立”。2. 存在量詞、特稱(chēng)命題定義：短

8、語(yǔ)“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“ ”表示。(常見(jiàn)的存在量詞還有“有些”“有一個(gè)”“對(duì)某個(gè)”“有的”等 。) 含有存在量詞的命題，叫做特稱(chēng)命題。特稱(chēng)命題“存在M中的一個(gè)x0，使p(x0)成立 ”可用符號(hào)簡(jiǎn)記為：讀作“存在一個(gè)x0屬于M，使p(x0)成立”。3. 同一全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題，由于自然語(yǔ)言的不同，可能有不同的表述方法：4. 全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題（含有全稱(chēng)量詞的命題叫全稱(chēng)命題，含有存在量詞的命題叫特稱(chēng)命題）（1）關(guān)系：全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題。（2）全稱(chēng)量詞與存在量詞的否定。關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞關(guān)鍵詞否定詞都是不都是至

9、少一個(gè)一個(gè)都沒(méi)有至多一個(gè)至少兩個(gè)屬于不屬于等于不等于大于不大于小于不小于不是不都是任意的某個(gè)任意兩個(gè)某兩個(gè)所有的某些能不能基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題1 下列語(yǔ)句中是命題的是（ ）A 周期函數(shù)的和是周期函數(shù)嗎？ B C D 梯形是不是平面圖形呢？2 在命題“若拋物線(xiàn)的開(kāi)口向下，則”的逆命題、否命題、逆否命題中結(jié)論成立的是（ ）A 都真 B 都假 C 否命題真 D 逆否命題真3 有下述說(shuō)法：是的充要條件 是的充要條件 是的充要條件 則其中正確的說(shuō)法有（ ）A 個(gè)B 個(gè)C 個(gè)D 個(gè)4 下列說(shuō)法中正確的是（ ）A 一個(gè)命題的逆命題為真，則它的逆否命題一定為真 B “”與“ ”不等價(jià) C “,則全為”的逆否

10、命題是“若全不為, 則” D 一個(gè)命題的否命題為真，則它的逆命題一定為真5 若, 的二次方程的一個(gè)根大于零,另一根小于零,則是的（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件6 已知條件，條件，則是的（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件二、填空題1 命題：“若不為零，則都不為零”的逆否命題是 2 是方程的兩實(shí)數(shù)根；,則是的 條件 3 用“充分、必要、充要”填空： 為真命題是為真命題的_條件； 為假命題是為真命題的_條件； , , 則是的_條件 4 命題“不成立”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_ 5 “”是“有且僅有

11、整數(shù)解”的_條件 三、解答題1 對(duì)于下述命題，寫(xiě)出“”形式的命題，并判斷“”與“”的真假：（其中全集，） 有一個(gè)素?cái)?shù)是偶數(shù)； 任意正整數(shù)都是質(zhì)數(shù)或合數(shù)；三角形有且僅有一個(gè)外接圓 2 已知命題若非是的充分不必要條件，求的取值范圍 3 若，求證：不可能都是奇數(shù) 4 求證：關(guān)于的一元二次不等式對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立的充要條件是綜合訓(xùn)練B組一、選擇題1 若命題“”為假，且“”為假，則（ ）A 或?yàn)榧貰 假C 真 D 不能判斷的真假2 下列命題中的真命題是（ ）A 是有理數(shù) B 是實(shí)數(shù) C 是有理數(shù) D 3 有下列四個(gè)命題： “若 , 則互為相反數(shù)”的逆命題； “全等三角形的面積相等”的否命題； “若 ,則

12、有實(shí)根”的逆否命題； “不等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等”逆命題； 其中真命題為（ ）A B C D 4 設(shè)，則是 的（ ）A 充分但不必要條件 B 必要但不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件5 命題：“若，則”的逆否命題是（ ）若，則若，則若，則若，則6 若,使成立的一個(gè)充分不必要條件是( )A B C D 二、填空題1 有下列四個(gè)命題： 、命題“若，則，互為倒數(shù)”的逆命題； 、命題“面積相等的三角形全等”的否命題； 、命題“若，則有實(shí)根”的逆否命題； 、命題“若，則”的逆否命題 其中是真命題的是 （填上你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)） 2 已知都是的必要條件，是的充分條件,是的充分條件， 則

13、是的 _條件，是的 條件，是的 條件 3 “中,若,則都是銳角”的否命題為 ；4 已知、是不同的兩個(gè)平面，直線(xiàn)，命題無(wú)公共點(diǎn)；命題， 則的 條件 5 若“或”是假命題，則的范圍是_ 三、解答題1 判斷下列命題的真假：（1）已知若（2）（3）若則方程無(wú)實(shí)數(shù)根 （4）存在一個(gè)三角形沒(méi)有外接圓 2 已知命題且“”與“非”同時(shí)為假命題，求的值 3 已知方程,求使方程有兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)根的充要條件 4 已知下列三個(gè)方程：至少有一個(gè)方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍 提高練習(xí)C組一、選擇題1 有下列命題：年月日是國(guó)慶節(jié)，又是中秋節(jié)；的倍數(shù)一定是的倍數(shù)； 梯形不是矩形；方程的解 其中使用邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題有（ ）A

14、 個(gè) B 個(gè) C 個(gè) D 個(gè)2 設(shè)原命題：若，則 中至少有一個(gè)不小于，則原命題與其逆命題的真假情況是（ ）A 原命題真，逆命題假B 原命題假，逆命題真C 原命題與逆命題均為真命題D 原命題與逆命題均為假命題3 在中，“”是“”的（ ）A 充分不必要條件 B 必要不充分條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件4 一次函數(shù)的圖象同時(shí)經(jīng)過(guò)第一、三、四象限的必要但不充分條件是（ ）A B C D 5 設(shè)集合,那么“,或”是“”的（ A 必要不充分條件B 充分不必要條件C 充要條件 D 既不充分也不必要條件6 命題若，則是的充分而不必要條件；命題函數(shù)的定義域是，則（ ）A “或”為假 B “且”為真

15、C 真假 D 假真二、填空題1 命題“若不是等腰三角形，則它的任何兩個(gè)內(nèi)角不相等”的逆否命題 ；2 用充分、必要條件填空：是的 是的 3 下列四個(gè)命題中“”是“函數(shù)的最小正周期為”的充要條件；“”是“直線(xiàn)與直線(xiàn)相互垂直”的充要條件； 函數(shù)的最小值為其中假命題的為 （將你認(rèn)為是假命題的序號(hào)都填上）4 已知，則是的_條件 5 若關(guān)于的方程 有一正一負(fù)兩實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范_ 三、解答題1 寫(xiě)出下列命題的“”命題：（1）正方形的四邊相等 （2）平方和為的兩個(gè)實(shí)數(shù)都為 （3）若是銳角三角形， 則的任何一個(gè)內(nèi)角是銳角 （4）若，則中至少有一個(gè)為 （5）若 2 已知； 若是的必要非充分條件，求實(shí)數(shù)的取值

16、范圍 3 設(shè)，求證：不同時(shí)大于 4 命題方程有兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)根，命題方程無(wú)實(shí)數(shù)根 若“或”為真命題，求的取值范圍 （數(shù)學(xué)選修2-1）第一章 常用邏輯用語(yǔ)參考答案 基礎(chǔ)訓(xùn)練A組一、選擇題1 B 可以判斷真假的陳述句2 D 原命題是真命題，所以逆否命題也為真命題3 A ，僅僅是充分條件 ，僅僅是充分條件；，僅僅是充分條件4 D 否命題和逆命題是互為逆否命題，有著一致的真假性5 A ，充分，反之不行6 A ， ，充分不必要條件二、填空題1 若至少有一個(gè)為零，則為零2 充分條件 3 必要條件；充分條件；充分條件，4 恒成立，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)， 得；5 必要條件 左到右來(lái)看：“過(guò)不去”，但是“回得來(lái)”

17、三、解答題1 解：（1） ；真，假； （2） 每一個(gè)素?cái)?shù)都不是偶數(shù)；真，假；（3） 存在一個(gè)正整數(shù)不是質(zhì)數(shù)且不是合數(shù)；假，真；（4） 存在一個(gè)三角形有兩個(gè)以上的外接圓或沒(méi)有外接圓 2 解： 而，即 3 證明：假設(shè)都是奇數(shù)，則都是奇數(shù)得為偶數(shù)，而為奇數(shù)，即，與矛盾所以假設(shè)不成立，原命題成立4 證明：恒成立 （數(shù)學(xué)選修2-1）第一章 常用邏輯用語(yǔ)參考答案 綜合訓(xùn)練B組一、選擇題1 B “”為假，則為真，而（且）為假，得為假2 B 屬于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，結(jié)果是個(gè)實(shí)數(shù)；和都是無(wú)理數(shù)；3 C 若 , 則互為相反數(shù)，為真命題，則逆否命題也為真；“全等三角形的面積相等”的否命題為“不全等三角形的面積不相等相等”

18、 為假命題；若 即,則有實(shí)根，為真命題4 A ，“過(guò)得去”；但是“回不來(lái)”，即充分條件5 D 的否定為至少有一個(gè)不為6 D 當(dāng)時(shí)，都滿(mǎn)足選項(xiàng)，但是不能得出 當(dāng)時(shí)，都滿(mǎn)足選項(xiàng)，但是不能得出二、填空題1 = 1 * GB3 ， = 2 * GB3 ， = 3 * GB3 ，應(yīng)該得出2 充要，充要，必要 3 若,則不都是銳角 條件和結(jié)論都否定4 必要 從到，過(guò)不去，回得來(lái)5 和都是假命題，則三、解答題1 解：（1）為假命題，反例： （2）為假命題，反例：不成立 （3）為真命題，因?yàn)闊o(wú)實(shí)數(shù)根 （4）為假命題，因?yàn)槊總€(gè)三角形都有唯一的外接圓 2 解：非為假命題，則為真命題；為假命題，則為假命題，即 ，得 3 解：令，方程有兩個(gè)大于的實(shí)數(shù)根即所以其充要條件為4 解：假設(shè)三個(gè)方程：都沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則 ，即 ，得 提高練習(xí)C組1 C 中有“且