工程問題數(shù)學(xué)建模實(shí)訓(xùn)報(bào)告

1、 工程問題數(shù)學(xué)建模實(shí)訓(xùn)報(bào)告目錄 TOC o 1-5 h z 一摘要 2二基本假設(shè) 2三設(shè)計(jì)變量的確定 2四整體求解思路 4五目標(biāo)函數(shù)的確定 4六約束條件的確定 5七 MATLAB 7 HYPERLINK l bookmark24 o Current Document 八總結(jié) 10 HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 九參考文獻(xiàn) 11 題目:機(jī)床主軸自重最輕優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)床主軸是機(jī)床中重要零件之一，一般為多支承空心階梯軸。為了便于使用 材料力學(xué)公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，常將階梯軸簡化成以當(dāng)量直徑表示的等截面軸。在設(shè)計(jì)時(shí)有兩個(gè)重要因素需要考慮，即主軸的自重和伸出

2、端C點(diǎn)的撓度。圖1所示的為一根簡化的機(jī)床主軸。要求以主軸的自重為目標(biāo)，對(duì)該主軸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì) 已知條件：主軸材料為45#,內(nèi)徑d=30mm外力F=15000N許用撓度y0=0.05mm 材料的彈性模量E=210GPa許用應(yīng)力(T =180MPa,材料的密度為3$=7800kg/m。300 I 650， 60 D 110， 90 a 150。I、D、a 的量綱均為毫米。試建立機(jī)床主軸以主軸自重最輕為目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型。其中，C點(diǎn)的撓度：2Fa la4,y; ID d 。3EI64題圖如下E-EI一摘要本文利用了材料力學(xué)對(duì)機(jī)床主軸進(jìn)行了受力與形變分析，利用機(jī) 械優(yōu)化設(shè)計(jì)對(duì)機(jī)床主軸參數(shù)優(yōu)化建立了數(shù)

3、學(xué)模型，最后通過MATLAB實(shí)現(xiàn)了對(duì)參數(shù)最優(yōu)解的求解。機(jī)床主軸是機(jī)床中重要零件之一， 一般為多支承空心階梯軸。為 了便于使用材料力學(xué)公式進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，常將階梯軸簡化成以當(dāng)量直 徑表示的等截面軸。在設(shè)計(jì)這根主軸時(shí)，有 3個(gè)重要因素需要考慮。 一是主軸的自重；一是主軸伸出端的撓度；還有則是此軸強(qiáng)度應(yīng)滿足 要求。對(duì)于普通機(jī)床，并不追求過高的加工精度，對(duì)機(jī)床主軸的優(yōu)化 設(shè)計(jì)，以選取主軸的自重最輕為目標(biāo)，外伸端的撓度與許用應(yīng)力是約 束條件。關(guān)鍵詞：材料力學(xué)撓度許用應(yīng)力自重優(yōu)化二基本假設(shè)（1）主軸在實(shí)際工作時(shí)處于理想狀態(tài)不受振動(dòng)等題目外因素干擾。（2）將階梯軸簡化成以當(dāng)量直徑表示的等截面軸。三設(shè)計(jì)變量說明

4、當(dāng)主軸的材料選定時(shí)，其設(shè)計(jì)方案由3個(gè)設(shè)計(jì)變量決定?？招妮S的長I，外徑D,伸出的軸長a分別為XI, X2, X3。故設(shè)計(jì)變量取為x=x1 x2 x3T=I DaT變量及系數(shù)表Xi空心軸長1X2空心軸外徑DX3伸出軸長ad空心軸內(nèi)徑F外力p材料密度E彈性模量I慣性矩M彎矩W截面抗彎矩c 許用應(yīng)力aa = dD四整體求解思路根據(jù)題意找到變量建立目標(biāo)函數(shù)與約束方程，帶入MATLAB進(jìn)行求目標(biāo)函數(shù)/ MATLAB最優(yōu)解約束方程五目標(biāo)函數(shù)的確定機(jī)床主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)則為f(x) JY(Xi X3)(X22-d2)即主軸自重4式中，-材料的密度。帶入數(shù)值，=7800kg/ m3 , d=30mm推出 f

5、 =6126.10567(% x3)(x22 -0.0009)六約束條件的確定（1）應(yīng)力圖（2）彎矩圖上圖為機(jī)床主軸的受力分析圖（1）為軸應(yīng)力圖表示機(jī)床主軸各個(gè)位置所受的切應(yīng)力圖（2）為軸彎矩圖表示機(jī)床主軸各個(gè)為之所受的彎矩由圖可知機(jī)床主軸在B點(diǎn)有應(yīng)力突變此處承受的彎矩最大Mmax由題意知機(jī)床主軸應(yīng)滿足兩個(gè)條件，一是端點(diǎn)c處的擾度最大值 應(yīng)小于0.05mm二是此軸的應(yīng)力應(yīng)小于 宙。(1)主軸剛度主軸剛度是一個(gè)重要性能指標(biāo)，其外伸端的撓度y不得超過規(guī)定值y0，據(jù)此建立性能約束g(x)=y-y0 0在外力F給定的情況下，y是設(shè)計(jì)變量x的函數(shù)，其值按下式計(jì)算Fa2(1 a)3EI式中 I(D4 -d

6、4)64264FX3 (X1 X3)則 g(x)k 4- -y03兀E(x2 -d )%33(為X3)4E=210GPa F=15000N y0 = 0.05mm推出十3 13103.0830 x2 -0.00000081主軸強(qiáng)度對(duì)于強(qiáng)度條件:其中max =Fa十M max r k 1芮小(：4)32； =180MPaX3進(jìn)行簡化得(3)-1178.0972 0X2 -0.000027邊界約束條件為設(shè)計(jì)變量的取值范圍，即maxDmin W D Dmaxmax七 MATLAB編寫目標(biāo)函數(shù)m文件并以文件名fun保存在MATLAEB錄下的文件夾中編寫非線性約束函數(shù)m文件并以文件名mycon保存在 M

7、ATLAB目錄下的文件夾中。最后在M文件命令窗口里編寫主程序fx KO=(Or 03:0, 03:0, 031:辰【.b=n：J .beqr 1:lb=q. 3；a. O0：g 陽 1 ；ub=Q. 65.0. IL ;D. 16:【鬲 fval, ex1 ifl 92 】=fMin? on ur, x d* A, b, beL lb, ub, *KTCOn) xflz0L 03 ;D. 03:0. 03&；2:Aep:bg;1WO.3;O. D6:Q.Q9ub= D. 66:0. 1L: 0. 15;(3jCKtiflasI=fnunGonf猷5, kO, & b* Arq, bcq. Lb

8、,訕,local minimm found that MatiwfieM the canTtraintz,Optimzation confpleted because the objective funrt ion is nnn-decreasine infudsihLu dirurti口ns, to Tiihin the default vluc of the furtEtimn tmLuraii,and tojnatrsints tte satisfied to wiihin the efiult value of the 3*汛 油 iwt t ole rar.-鮎tappuiE cri

9、tgria dgtailmo. saoo0.0600a o&ou fTHl =e. 450S ntiflag =通過程序的運(yùn)算最后得出在滿足約束條件下軸長 l=300mm外徑D=60mm外伸軸長a=90mm寸主軸自重最輕為 6.4508 Kg八總結(jié)上述主軸優(yōu)化設(shè)計(jì)中是把階梯軸簡化成當(dāng)量直徑的等截面軸進(jìn)行結(jié)構(gòu)析的， 這只是一種近似分析方法，而其近似程度往往不能令人滿意。尤其是對(duì)一些受力、 形狀和支承都比較復(fù)雜的軸，不可能做出那樣的簡化，況且機(jī)床主軸的設(shè)計(jì)還對(duì) 其動(dòng)力學(xué)性能提出一定的要求。因此，將主軸簡化后用材料力學(xué)公式進(jìn)行分析的 方法也不能滿足工程設(shè)計(jì)的需要。圖所示的機(jī)床主軸為三支承系統(tǒng)，受有力

10、和力矩的作用。對(duì)其進(jìn)行重量最輕 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，不僅對(duì)伸出端點(diǎn)的撓度有要求，而且對(duì)主軸系統(tǒng)的第一階段自 振頻率也有要求。對(duì)于這樣復(fù)雜的系統(tǒng)，材料力學(xué)分析方法已顯得無能為力了。 這時(shí)常使用有限元法來計(jì)算系統(tǒng)的應(yīng)力、變形、自振頻率等。研究怎樣以盡可能 少的有限元分析次數(shù)而獲得優(yōu)化結(jié)果，是結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)研究中的一個(gè)重要課題。為期三周的工程數(shù)學(xué)問題建模，給我們留下了很深刻的印象，知識(shí)不僅要會(huì)， 還要會(huì)運(yùn)用。開始覺得這種建模問題沒有接觸過， 或許會(huì)很難，但是當(dāng)實(shí)際操作 時(shí)發(fā)現(xiàn)其實(shí)沒有想象當(dāng)中的那么難。這一過程也鍛煉了我們解決問題、分析問題 的能力，受益匪淺。通過小組成員的合理分工，我們組有了優(yōu)化設(shè)計(jì)的初步概念， 并進(jìn)行了嘗試，掌握了建立數(shù)學(xué)模型的方法，并能根據(jù)不同的數(shù)學(xué)模型合理選擇 優(yōu)化方法，最終能找到最優(yōu)